Дифференциальные уравнения высших порядков, страница 3

Частное решение: Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения Решение, Найдем сначала общее решение соотвехогвук)шсго сапородного уравнения ус~) у О Характеристическое. уравнение й~ — 1 = 0 имеет корни йдг = х1 )ока = — Таким образам, получаем ФСР: ус=с. уг = е-, уз =- соэх., уэ = япх. и общее решение уравнения (7.8) нмсст вид уоо — — Ссе + Сге +Сэс:овх- С4эспг, Правой части Дх) = 8хе соответствугот а = — 1, )З = О, т.е. число о+ с)4 =' — 1 является'корнем характеристического уравнения кратности 1, поэтому с = 1, п = т = а = 1.

Частное решение неоднородного сравнения шлем в виде у„, = х(А,х,+Ао)е '' --. (Лсхг+ Аох)е '. Ихсосгс у =( — Аэх — Аох+2Аэх+Ао)с *, У'„',„= (Асхо'+ Аох — 4Апг — 2Ао+ 2Аг)е *, У'„",, = ( — Асхг — Аох+ 6Асх+ ЗАо — 6Лз)е ', Угс' = (Агхг + Аох - 8А1х — 4Ао -' 12Л1)е '. После подс гэновкн у,„,(х). у'„,(х), у,",,(х), у'„",(т), уй(х) в уравнение (7.8), деления на с э и приведения подобных членов получим равенство — 8Асх — 4Ао+ 12А1 = 8х. Приравнивая коэффидиенты при одинаковых степенях х в правой и левой частях равенства, получаем систему алгебраических уравнений -8А1 = 8, — 4Ао+12Ас = О, решением которой является Ао = — 3, Ас = -1.

Следовательно, частное рсшснпс неоднородного уравнения имеет вид у„„= ( — хг — Зх)е ',. Ответ. Оошее решение: уаа = Ссе" +Сге '+ Сзсоэх+ Счвшх — (хг+ Зх)е "'. Пример. Указать вид общего решения дифференциального уравлснля (нс вычисляя коэффициентов) У(э) „„.

8У(г) .г + 3 гя 1 с -гэ +х с*соя(х73х)+е'в)п(ъ'Зх), Зсов(2х). (7.9) Решение. Найдеьс сначала общее решение соответствусошсго од- породного уравнения (э), 8„1г) Характеристическое уравнение йэ + 8йг = О имеет корни й) г = О кратности г аким образом, получаем ФСР 1)1 — -- 1, в(з)гЗх), уэ =' е* яп (ч Зх), и общее решение уравнения (7.10) пыеет вил у„, =- С1 + Сох + Сае " + Сое' соа (ъ'Зх) + Сое" а1п (ъУЗх). Находим частное решение у,,„, уравнения у~о~ + 8у(2) х4 Правой части (1(х) = х' -ь 1 соответствуют а1 -— — О, д1 = О, т.е.

чвсло а ~ +31( = 0 является корнем характеристического уравнения кратности 2, поэтому го = 2, п1 = т .= а, = 4. Частное решение неоднородного о равнения ищем в видо у, = Х (Аох — Азх' + А2Х + Агх+ АО). Находим частное решение у„„, уравнения у(о1 + Зу(21 = хаег'. Правой части ог(х) = хое соответствуют ая = 2,,'32 — — О.

т.е. число аг - дг( = 2 не является корнем характеристического уравнения. поэтому гг — — О,, пг =- тг =- аг = 3. Частное решение несдноролного уравнения ищем в виде у„,, = ег" (Ваха ч-Вгхг+ В,х+ Во). Находим частное решение у „, уравнения у(51 8 (2) е-22 Правой части Ях) = е 2Я соответствучот аэ — — — 2, Дэ = О, т.е. число ао + 321 = -2 является корнем характеристического уравнения кратности 1, гюэтому га = 1, иа = тя = за = О.

Частное решение неодно- родного уравнения ищем в виде ,-2* у,.з = Вахе Находим частное решение у , уравнения убн + 8у(21 = хг е* соа (ъ'Зх) + е* ьш (ъуЗх) . правой части 7о(т) = хге* соа (ъ'зх) + е" еш (~/зх) соответствуют а4 = = 1, до = Л, т.е. число а4 + Щ = 1 + ~/3 является корнем характеристического уравнения кратности 1, поэтому гя -- 1, по —— 2, тч = О, ая = гпак(0,2) = 2. Частное рещение неодноролного уравнения ищем в аиде учм = хе ( (Пгх~ + Ю1 2 + Во) соя (ъзх)+ -(Вги + БГХ ЕО) а1П(Ъ'оХ))о Находим частное решение уч„, уравнения ,(')+Зу(г) = Зсоя(2х).

Правой части (2(х) =- 3 соя (2х) соответствуют ао = О. Зо = 2, т.е. числа ао + Вог = 22 не являются кернями карактеристического уравнения, поэтому го = О, по = то — ао = О, Частное регпение иеалиородного чравнсния ищем в вале уч„, = К~соя(2х)+гйа(п(2х), Следовательно, общее решение неоднородного уравнения (7.9) имеет впл уоп — С~ т Сгх+ Сае т +Соек соя(ъ Зх)+ Сое зш (ъ Зх)+ ' х'(А„х' ' Аах' -ь Агх + Агх+ Ао)+ +егк(Ваха + В,х'+ Вгх + Во) + В4хе "+ +хеи ~(Вгх + Вгх + Юо) соа (ч Зх) + +(Вгхг + В2х -(- Ео)а1п (ъ(3х)~ -ь Г2 сов (2х) + Рг а(п (2х).

Ответ. Общее решение: у„= Со+ Сгх ' Сзе" '+ +Сче' соя (ъУЗх) + Сое* а1п (м Зх) т +х (Аех +Аях + А2У. + А12+ АО)+ +еге(Ваха+ Вгхг т В1х+ Во) + Вохе ""г +хе' ((Вгхг+ Вгх-г Во) соя(ъ'32)+ + (Ггх'+ Егх+ Ео) 2(п(ъ'Зх)) + Г1 сов(2х) + Рг еш(2х). народного уравнения: р" + 2р'+ р = О. (8.5) р = С»е я + С»хе (8.б) р- =- С»(х)с ' + Сз(х)хе ', (8 3) 21 20 8. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью произвольного вида В случае, когда правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения п-го порядка с постоянными коэффициентами р~ ~+а„|р1" О+...

+ а~р'+ аоу = »(»), ~(х) ф О, (81) не допуекаст подбора частного решения, используется метод вариация постоянных. 1'ассмотрип соответствующее однороднос уравнение р~ч~ -~- а„, 1р'" 1+... + а,р' -т аор = О. Составив характеристическое уравнение й" + а„ 15" 1 + ...-- а1к + аор = О, найдем его корни, фундаментальную систему решений р1(т), р,(х)...,. р„(х) и общее решение однородного уравнения: рос = С» р»(х) + С2 рт(х) + Са ро (х) Часгное решение неоднородного дифференциального уравнения (8.1) п»цом в виде р„, .= С,(:с) р»(х) + Сз(х)ря(х) + ... + С„(х) р„(х), (8.2) глг С~(х).

Сз(х), ..., С„(х) †- неизвестные функпии. Функции Со(х), Сг(х), ..., С„(х) определяем из системы и линейных алгсбрапческпх уравнений относительно их производных: С»(х)р1(х) + Сз(х)ра(х) + ... + С„'(х)р,(х) = О, С,(х)р',(х) + Ся(х)ра(х) + ... + С„(х)р„(т) = О, С»(х)р»я 1(х).+.С'(х)ра1~ »1(х).1,, + С'(х)р'"-»~(х) — О С1(х)р," ' (х) + С,'(х)рв1 '~(х) + ... + С„'(.

)р~' О (х) = »( ), Эта система имеет единотвенное решение: С»(х) "г1(х) С2(х) ма(х) С (х) Р (х). Интегрируя равенства,(8.3), находим функции С1(х) = о»~(х) бх+ С», Ся(х) = ря(х) о1х+ Са, . ..., С„(х) =. р (х) бх + С„ и, подставляя пх в соотношение (8.2). никонам общее решение неолно- родного уравнения. Пример. Найти общее решение дифференциального кравнения е" р" + 2р' -~ р = (8А) М+ х' Решение. Найдем сначала обп»ее решение соответствующего од- Характеристи»еское уравнение й~ + 2й -~- 1 = О имеет корни й»д = — 1 кратности г = 2. Таким образом, получаем ФСР ' р, = е *, ря = хе ~, н общее решение уравнения (8,5) имеет вид Общее решение неоднородного уравнения (8.4) ищем в вила где С,'(:г), С,'(х) - — неизвестные функции. Функции С1(х), Сз(х) определяем нз системы линейных алгебраических уравнений; С,'( ) .-'+ С,'( .) х.-' = О, С;(х)(-е ') + Со(х)(е *+ х( — е ')) = ч»1+ х~ Решением системы является С,'( ) =- —, С,(.) = —.

»г1+ х' х»1+ и' Интегрируя равенства (8.7), находим функции Г х»1х С» (х) = - / — — + С» = - »г'1 + хз + С», / л+' Св(х) = ~ +Ст=1п~х+»(1+х»~ +Сг, у Л+ххр кения: ! 2( у — — + — =О. т хз (9.14) ссскпх уравнении =О, С((х) .= — 2хе *, Сз(х) = 2ез*, (9.11) ум, = Сз(х)х+ Сз(х)х1п х, ('9.15) уравнения: ческих уравнений: ея ез* С( — + Сзе* ' —.

х 2х Ответ. Общее решение; (9.16) х у' — ху —; у .=- бх1пт., (9.12) у(1) = 1. у'(1) = 1, 2;1 '-о о где С(, Ся — произвольные постоянные. Для отыскания общего ре- шення неоднородного дифференциального уравнения используем метод варпацнн постоянных. Обшее решение неоднородного дифференциального уравнения (9.8) ищем в виде У,„ = С((х) — + Сз(х)еЯ, (9.10) где С((.г). Ся(т) — неизвестные функции. Функции с",(х),Сз(х) опрелсляелс нз системы линейных алгебраи- Сз(х) — - Сз(х)с ' С'(х) — С (х) Я е'(х — Ц Зта система имеет единственное решение; Интегрируя равенства (9.11), находим функции С,(т) = — 2 хсмбт = — хе'*+-еиг+См 2 Ся(х) = 2 е с1х = с' Ся. где С(, Сз . произвольные постоянные.

1!одставляя функции С((:г), Сз(т) в соотношение (9.10). находим обшсс решение неоднородного у.. — (- "* ~ -..'* + с ) — ° (г*+ а ( *' = е' езя уса —— Сс — т Сзс ' +— ан Пример. 11айти решение дифференциального уравнения удс влетворяющее начальным условиям если известно частное решение'уз — — х соответствующего однородного дифференциального уравнения. ' я Решение.

Разделим обе части уравнения на х-с у' у 6!пх у + (9.13) х хе= х Пайдем сначала общее решение соотвсзствуюшего однородного урав- Для отыскадия линесшо независииюго с уг(х) решения уя(х) однородного дифференциачьного уравнения (9.14) воспользуемся формулой (9.4) с-з (-Ф) уз(т) = хз / - с(х=х ( — ' = т!пт. хя :г Таким образом, у„=. С(х+ Сях1пх, где С,. Сз — произвольные поссоянные. Для отыскания обшего рс- щения неоднородного дифференциального уравнения используем метод вариации постояниьсх.

Общее решение неоднородного дифференциаль- ного уравнения (9,13) ищем в вили где С((х), Сз(х) — неизвестные функции. Функции СЯх), С,'(х) определяем из системы линейных алгебраи- С,(х)х + Ся(х)х 1п х — О., 61пх С,'(х) + Ся(х)(1пх+ 1) =' —. х Эта система имеет елииственное решение: 61п~х, 6!пт С,'(х) = — —, С,'(х) = —. я х Интегрируя равенства (9.16), находим функции С((х) = — 6 1и'т(1(1пт) = — 21с(~х С(, Сз(х) мб 1цха()их) = 3)и~х+ Ся, у„„= х+х(п' х 3 пения гс у1 = е уг = сс". уравнения Г(х, у, р', у" ) = О., а < т < 5, (10, Ц ищем в виде (10.2) дгр'(5)+Аа(5) =А Следовательно, у„, = С~см+ Сгэе '+с ', гле С~., Сг — произвольные постоянные. Подставляя функции С1(,г), Сг(,г) в соотношение (9.15), находим общее решснне неоднородного уравнения: у = ( — 2!и~в+С!)х+ (3!и х+ Сг)х!их = = Сз + Сгх !и х + х!пз х.

Тогда у,'„. (х) = С1 + Сг(!и х + Ц -~- 1п" х э- 3 1пг т., и, полставляя полученньге взяраэкення в начальные условия, имеем спс тсиу ацгебранчсскях уравнений: С,— ! Сг + Сг = 1, роением которой являстся С| = 1, Сг = О. Следовательно, реп|ение задачи К~цап (9.12), (9.13) имеет впд р„„= х+ т 1п' гь Ответ. Частное решение; 10.

Краевыс задачи для дифференциальных уравнений второго порядка Определение, Задача отыскания решения днффсренппального удовлетворяющего условиям агу (а)+осу(а) = у, Называется краевой задачей, Б отличае от задачи Коши краевая задача не всегда однозначно разрешима.

Для отыскания решения краевой задачи (10.Ц, (10.2) нахолим общее решение уравнения (10.Ц, зависящее от произвольных постоянных См Сг .Палее, подставляя это решенис в краевые условия (10.2), раз- решаем полученную систему алгебраических уравнений относительно Сы Сг, Пример. Найти решение краевой задачи хву" — 3хгу'+ 4ху = 9, (10.3) 2у'(Ц вЂ” у(Ц = — 2, (10.4) еу (е) + у(е) = -е . Рецгение. Разделим обе части уравнения на ял ,т" у" — 3ху' + 4у = (10.5) х Уравнение (10,5) является уравнением Эйлера. Для отыскания его общего решения лапаем замену независимой переменной 1 =- 1п х. Тогда Оу бр ! 6гу йгу ! 6р ! бх Ог х йхг 61г хг 61 тг н функции у(1) удовлетворяет уравнению с постоянными коэффиппентами — — 4 — + 4у = Ое '.