ivlev-gdz-11-2001 (Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 - 11 класса - Ивлев), страница 7

Так что3⎛ z3⎞V = ∫ S ( z ) dz = ∫ π z + 4 dz = ⎜ + 4 z ⎟ ⋅ π = (9+12+9+12)π=42π.⎜ 3⎟−3−3⎝⎠ −332.3Какив()2вариантеc⎛c−h⎝p=7:∫ g ⎜ bx +( a − b )( x − c + h ) ⎞dx =⎟⎠h12 ⎛−4 ( x − 6 ) x ⎞⎛ 2 32⎞= g ∫ ⎜ 8x +⎟ dx = g ⎜ − x + 6 x ⎟ = 312 g . ( H ).6⎝ 9⎠66⎝⎠12C–10(1. Верно, т.к. 7 − 4 3 > 0 и 7 − 4 362. а)5 55 ⋅ 5−2 = 577⎛⎜⎝б) ⎜ 53 +3. а)376⋅5542⋅5−272> 49 − 56 3 + 16 ⋅ 3 = 97 − 56 3 .= 50 = 1;31 ⎞ ⎛1 ⎞ 5 + 1 5 + 1 12651=:=⋅=4 .⎟ : ⎜⎜ 5 +⎟⎟3 ⎟565555555 ⎠ ⎝⎠27,31 ≈ 3,0114; б) 4 7 + 3 7 ≈ 3,5395.74.1)13 >13 = 133114= 13342= ( 2197 )142 ,а32 =216= 128142 ,такчто2.C–111.5566b ≤ b равносильно b≤|b| и верно при всех b.552.a)41+x +1t2–3t=0; t=0 и t=3;32= 1;x +34464x = −2 и2t −16(1 − 2 )2+(1 + 2 )2x = −6 и6x = 3;= 1− 2 + 1+ 2 == 2 − 1 + 1 + 2 = 2 2;(a+ b)2− 4 ab =(a− b)2=a− b.⎧( x − 1)2 = 2 x 2 − 3 x − 5, ⎧ x > 1,; ⎨ 2;⎨⎩x − x − 6 = 0⎩x −1 > 0{xx >= 1,−2 иб)С–121.

x − 1 = 2 x 2 − 3 x − 5;3⎧3⎧32. ⎨ x + y = 3; ⎨ 3 x = a ;+=xy9⎩⎩ y =b⎧⎪a + b = 3⎧a + b = 3⎨( a + b ) a 2 − ab + b 2 = 9 ; ⎨a 2 − ab + b 2 = 3;⎩⎪⎩()x = 3.⎧a = 3 − b;22⎨⎩(3 − b) − b(3 − b) + b = 3⎧ x = 8,⎧a = 1,⎧a = 2, ⎧ x = 1,⎧a = 3 − b,⎨b 2 − 3b + 2 = 0 ; ⎨b1 = 2 и ⎨b2 = 1 ; ⎨ y1 = 8 и ⎨ y2 = 1 .⎩⎩ 1⎩ 2⎩1⎩ 2C–1321 3⎛ −1 − 4⎞⎛ − 2 −1 − 4 −8⎞ 1 31. a) ⎜12 3 ·18 3 ·63,5 ⎟ − 3 4 ·9 8 = ⎜ 2 3 ·3 3 ·2 3 ·3 3 ·23,5 ·33,5 ⎟ − 3 4 ·3 4 =⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠(= 21,5 ·30,5(б) a 3 3 a)215)(()− 31 = 23 ·31 − 31 = 3 23 − 1 = 21;a2 3 a)1735115= a ·a ·a271·a 21105= a105 = a = 3 при а=3.12. а) (a 7 )7 = − a верно только при а=0;( )б) a 616= a равносильно |a|=a и верно при а≥0.111 ⎞⎛ 1⎛⎜ x2 − y2x− yx2 + y2 ⎟ x − y ⎜3. ⎜ 1+ 1⋅=+11 ⎟⎜ xy x + y2xy⎜ xy 2 − x 2 y xy 2 − x 2 y ⎟⎝⎝⎠(56= 1;x = 1; x=1.x = t ; t +3t–18=0; t1=–6; t2=3;3− 2 2 + 3+ 2 2 =3. a)t + 1 + 2t − 212+= 1;t −1 t +1x + 2 = t;26x = 3 x = 18;б)x=36=729.4)⎞⎟⋅x− y ⎟⎠x+ yxy()(⋅=x− y)(x+ y2 xy)= () +( x + y) ⋅(xy ⋅ ( x + y )( x − y )x− y22x− y)(x+ y2 xy)=2x + 2 y x + y.=2 xyxyС–141.

См. график.( 17 )2. а)7= 7 − 7 , а 7 −2,45 < 7 − 7 , т.к. –( )72,75< − 7 , т.е. 1 7⎛⎜⎝б)⎛⎜⎝( )( )5555⎞⎟⎠5=> 7 −2,75 ;( 5)52,5= 5 , такчто5⎞⎟⎠2,5=5 .3. y = 3 − ( 1 3 ) x ; так как ( 1 3 ) x > 0 и y≥0, то 0≤y< 3, то есть E(y)=[0;3).( )Далее 3 − 1 3x( 3)≥ 0; 1x≤ 3, x≥–1, то есть D(y)=[–1;∞).C–151.a) 0,23–2x+3⋅0,042–x=8; 5⋅0,24–2x+3⋅0,24–2x=8; 0,24–2x=1; 4–2x=0; x=2;б) 36 x −3x4= 2712. a) 27 3 xб)(25)+22 x −1;36 x −3x( 81)> 1−12=31; 3x6 x −34+6;6x − 3 6x − 31=; (6x–3)(x–4)=0; x = и x2=4.1x422> 3 ; 1 + 6 > 2; 1 > −4; x < − 1 и x>0;xx4( 5)22 x +1 + 25 x + 0,5 ≥ 7 ⋅ 10 x ; 2⋅22x+5⋅52x≥7⋅2x⋅5x;x( )2= t ; 2t –7t+5≥0; t≤1 и t ≥ 5 ; 225x2⋅ 2( 5)≤1 и 2x2x( 5) ;x+5≥ 7⋅ 2≥ 5 ; x≥0 и x≤–1.2C–161.a) 4⋅91,5x–1–27x–1=33; 4⋅33x–2–33x–3=33; 12⋅33x–3–33x–2=33; 33x–3=3; 3x–3=1;x=4 ;322б) 2sin x +5 ⋅ 2cos x =7; 2sint=2 и t=5; 2sin2x2=2иx+ 5 ⋅ 21−sin2sin2x2x= 7; 2sin2x= t; t +10= 7; t2–7t+10=0;t= 5; sin 2 x = 1 и sin 2 x = log 5; sinx=±1;2x = π + πn, n ∈ Ζ.2572.

7,3x 2 + 2 x −15x−4( x − 3)( x + 5 ) > 0; x∈(–5;3)∪(4;∞).x 2 + 2 x − 15> 0;x−4x−4> 1;C–170,04 b b b1. log 53(a a )37854602. log 60 27 = 3 ⋅ log 603.а) log= log 5−2 ⋅ b22 ⋅5(⋅ a −1 = −2 + 7 log b − log a .58 5)= 3 log 60 − 2log 2 − log 5 = 3 (1 − 2a − b ) .60606015426254 − log 96 = 2log 54 − ⋅ 6log 9 = log 3 = log= log 4 =2;42222 92229б) log 3 2log 113log 2= log 11 ⋅ log 2 = log 113333, так что 2log3 11log3 2− 11= 0.С–1833> 1, а 2 > 1;2 22 20, 27б) log 2 3 + log 2 0,09 = log 2+ log 0,09 = log 0, 27 − log 0,09 + log 0,09 =22220,09= log 0, 27 < 0, так как 2>1, a 0,27<1.1. а) log23 − 3 = log2> 0, так как2⎧⎪ x + 2 > 0, ⎪⎧ x > −2,2.

D(g): ⎨ x + 2 ≠ 1, ⎨ x ≠ −1, D(g)=(–2;–1)∪(–1;3].⎪⎩3 − x ≥ 0; ⎪⎩ x ≤ 3;C–191. a) 3⋅2x+1–6⋅2x–1=12; 12⋅2x–1–6⋅2x–1=12; 2x–1=2; x–1=1; x=2;б) xlgx=1000x2; lgxlgx=lg1000x2; lg2x=3+2lgx; lgx=t; t2–2t–3=0; t1=3, t2=–1;lgx=3 и lgx=–1; x1=1000 и x2=0,1.2. a) 24x<81 +1x 9;2б) log 3 ( x + 1) < log 1⎧⎪ x + 1 > 0,⎨ 2 x + 5 > 0,⎪⎩ x + 1 < 2 x + 5;43x<23 +1x 3; 4 < 3 + 1 ; 1 < 1 ; x<0 и x>3;33xxx21−b ± b − 4ac; log ( x + 1) < log ( 2 x + 5 );332a2x + 5⎧⎪ x > −1,⎨ x > −2,5 x>–1.⎪⎩ x > −4;C–201. a) lg2x2+lgx2=6; lgx2=t; t2+t–6=0; t1=–3 и t2=2; lgx2=–3 и lgx2=2;x2=0,001 и x2=100; x=± 0,001 и x=±10;б)5 − 2lg x = 3 lg x ;lg x = t ; 2t2+3t–5=0;lg x = − 5 ; lgx=1; x=10;258t1=1t2=– 5 2 ;lg x = 1и2. a) log3(x2+5)>log3(x+7);⎧ x + 7 > 0,⎧ x > −7,x > −7,⎨ x 2 + 5 > x + 7 ; ⎨ x 2 − x − 2 > 0 ; x < −1 и x > 2 ; x∈(–7;–1)∪(2;∞);⎩⎩{б) 9x–8⋅3x+15<0; 3x=t; t2–8t+15<0; 3<t<5; 3<3x<5; 1<x<log35.C–21⎧⎪log x + log y = 2 + log 2 5, ⎧⎪log 2 xy = log 2 20, xy = 20, x = 1 + y ,a) ⎨log 2 ( x − y2) = 0; ⎨log( x − y ) = 0 ; x − y = 1; (1 + y ) y = 20 ;⎩⎪ 0,5⎩⎪ 0,5{{⎧ x = 5, ⎧ x = −4,⎧ x = 1 + y,⎨ y 2 + y − 20 = 0 ; ⎨ y1 = 4 и ⎨ y2 = −5 – не подходит, так как x>0 и y>0;⎩⎩ 2⎩ 1так что x=5, y=4;xy52⎪⎧3 ⋅ 2 = 972,⎧ x y⎧ x x −3б) ⎨log ( x − y ) = 2 ; ⎨3 ⋅ 2 = 972, ; ⎨3 ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 , ; xy == 5,2.33x−y=yx=−⎩⎩3⎩⎪{С–221.

a) f(x)=1–8x3; x =f(x). D(g)=E(g)=R;f ( x) =б)(2+ x2)−31311 − f ( x ) , так что g ( x ) = 3 1 − x – обратная к22, x ≤ 0;−12 + x2 = f ( x ) 3 ; x = − f ( x )−32− 2, так что⎛ 1 ⎞− 2 – обратная к f(x). D( y ) = ⎜ 0;⎟ , E(y)=(–∞;0].8⎠⎝x2. f(g(–2))=–2, f(g(–1))=–1, f(g(3))=3, так чтоg ( x) =132g(–2) не определено, g(–1)=1– 3 ; g(3)=–1,5.D(g)=E(f)=[–3;–2,5]∪(–2;4],E(g)=D(f)=[–2;1)∪[2;3].C–231. a) f'(x)=(e4–7x)'=e4–7x(4–7x)'=–7e4–7x;б) f'(x)=(42–3x)' =42–3x⋅ln4⋅(2–3x)'=–3⋅42–3x⋅ln4.2. Уравнение касательной в точке x0: f(x)–f(x0)=f'(x0)(x–x0), а так как касательная – горизонтальная, то f'(x )=0, то есть (e x + e− x ) ′=0x=e 0 −e−x00x = x00= 0, так что x0=0 и f(x0)=e +e =2; и y=2 – искомое уравнение.3.

f ' ( x ) = (e x4−2 x23) = (4 x − 4 x)(e4x −2 x2), f'(x)=0 при x=±1 и x=0, f'(x)>0при x∈(–1;0)∪(1;∞), f'(x)<0 при x∈ (–∞;–1) ∪ (0;1). Так что xmin=±1,xmax=0.592(()4. S = ∫ −e2 x + ( e + 1) e x +1 − e3 dx = − 1 2 e 2 x + ( e + 1) e x +1 − e3 ⋅ x1)21= −e42+432+ ( e + 1) e3 − 2e3 + 1 2 e2 − ( e + 1) e2 + e3 = e − 2e − e 2 .C–24( (1. a) f ' ( x ) = ln x − 3 x + x43′))(x=4− 3 x3 + x43′)=4 x3 − 9 x 2 − 1x − 3x + xx 4 − 3 x3 + x′11⋅⋅ 4 4 − 0,1x =б) f ' ( x ) = log 4 4 − 0,1x =43ln 3 4 − 0,1x1111.= − ⋅ 0,1 ⋅ 2 ⋅⋅=4ln 3 4 − 0,1x ( 2 x − 80 ) ln 3(;)551 x52. x2–6x+5=0 при x=1 и x=5. Так что S = ∫ dx = 5ln x 1 = 5ln 5.3. f ' ( x ) =(log 42 x)′ − (2log 22 x)′ =4log 32 x ⋅11− 4log x ⋅2x ln 2x ln 2=4log x2(log 2 x − 1) , f'(x)=0 при x=1, x=2, x = 1 .

f'(x)>0 при x>2 и22x ln 21 < x < 1 , f'(x)<0 при x < 1 и 1<x<2. Т.о. x = 1 и xmin=2, xmax=1.min222C–251. f ′( x)=( x − 1)′ x 2 +( x − 1)( x 2 )′ = xf'(x)=0 при x =5+ 2( x − 1) x2 −1=x2 −1( x + 2 x − 2) ,222. f'(x)>0 при x >и f'(x)<0 при x <, так2 +12 +12 +1что f(x) убывает на [0;2.222] и возрастает на [;∞).2 +12 +132,15 − 5 31,75 ≈ 0,005.3. F ( x ) =x 3 +1x1− 3++C .3 +1 1− 3C–261. Нет, так как f'(x)=(e–3x)'=e–3x(–3x)'=–3e–3x=–3f(x).2. Общее решение f'(x)=ln9f(x) : f(x)=C⋅9x, а так как f(3)=9, то 9=C⋅93 иС=9–2 и f(x)=9x–2– искомое решение.3.

Общее решение y''=–4y : y=acos2x+bsin2x. Так как y(0)=1, то a=1, атак как y'(0)=–2 3 , то b=– 3 и y = cos 2 x − 3 sin 2 x = 2cos(2 x + π 3 );A=2; ω=2; ϕ= π 3 .60Вариант 9С–11. Если x>0, то F'(x)=(x2)'=2x=f(x); если x<0, то F'(x)=(–x2)'=–2x=f(x).При x=0: F ′ ( 0 ) = limF ( x ) − F (0)xx= limxx→0xx →0= lim x = 0 = f ( 0 ) . Так чтоx →0F(x) – первообразная для f(x) на (–∞;∞).14 x 62. a) Да, так как F '( x) = ( 4 x 7 − 1 + 5) / =4 x7 − 1= f ( x) на (3;4);б) Нет, так как F(x) и f(x) определены не для всех x∈(1; 2).C–21. Общий вид первообразной: F ( x ) = x 2 − 1 + C , а так как М( 2 ;2)принадлежитграфикуF(x),то2= 2 − 1 + C и С=1 и F ( x ) = 1 + x − 1 .22.а) f ( x ) = cos 2 x =1 + cos 2 x;2x sin 2 x++ C;241x; F ( x) = −+C .б) f ( x ) = 22( x 2 + 1)( x + 1)2F ( x) =С–3a) G(x)=2tg(x–1)–cos(4–3x)+x+C;б)Таккак(xcosx)'=cosx–xsinx,G ( x ) = − x cos x + sin x + 1 ( 2 x − 1) 2 x − 1.3то(xcosx–sinx)'=–xsinx.C–402⎛x2 ⎞2a) S = ∫ 2cos xdx + ∫ ( 2 − x ) dx = 2sin x π + ⎜⎜ 2 x − ⎟⎟ = 2 + 4 − 2 = 4;−2 ⎠π0⎝2−00201−40⎛2⎝30116 2⎞⎛2⎞+⎜ x x⎟ = + =6.⎠ −4 ⎝ 3⎠0 3 3б) S = ∫ − xdx + ∫ xdx = ⎜ x − x ⎟С–5π3⎛ππ31 ⎛2π ⎞ 332πππ ⎞а) ∫ ⎜ cos ⎜ x + ⎞⎟ − sin 2 ⎛⎜ x + ⎞⎟ ⎟ dx = ∫ cos ⎛⎜ 2 x + ⎞⎟ dx = sin ⎜ 2 x + ⎟ =2 ⎝3 ⎠π 43 ⎠⎝ 3⎠⎝ 3 ⎠⎠⎝π⎝π62⎛66614⎛б) ∫ ⎜1 +−1 ⎝A∫2.1dxx28x⎞⎟ dx =2⎠2⎛⎜1 +9⎝x⎞⎟2⎠9 4=−12 ⋅ 3922⎛1 ⎞−= ⎜ 39 − 9 ⎟ .99 ⋅ 29 9 ⎝2 ⎠A1111⎛ 1⎞−1 = ⎜ − ⎟ −1 = − +1−1 = − ==;AAAA⎝ x ⎠1|A|>10; A<–10 и A>10; но A>1, так что A>10;1< 0,1Aпри1< 0,001 при |A|>1000;AA<–1000 и A>1000; но A>1, так что A>1000.C–622⎛ 4 x2⎞13⎛ 4⎞1.

S = ∫ ⎜ 2 − x + 1⎟dx = ⎜⎜ − − + x ⎟⎟ = −2 − 2 + 2 + 4 + − 1 = .x222⎠1⎝ x⎝⎠12()2. ∫ 3 + 4 − x 2 dx – площадь фигуры, огра−2ниченной линиями y=0, y = 3 + 4 − x 2 и x=–2и x=2: Эта фигура – прямоугольник состоронами 3 и 4 и полукруг радиуса 2. Так чтоπ ⋅ 22S = 3⋅ 4 += 2π + 12 .2С–765По формуле Ньютона F(t)=m⋅a(t), так что a ( t ) = F ( t ) : 5 = t −25t3.

Так3 2 1V ( t ) = t + 2 + C , а так как V(1)=3, то55t3 113 2 113 = + + C , то есть С = 2 и V ( t ) = t + 2 + 2 . S'(t)=V(t). Поэтому555 555tкакa(t)=V'(t),S ( 5) − S ( 2 ) =то5∫ V ( t ) dt2511⎞⎛3= ∫ ⎜ t 2 + 2 + 2 ⎟ dt55⎠5t⎝2⎛1⎝5= ⎜ t3 −51 11 ⎞+ t⎟ =5t 5 ⎠ 218 1 22= 25 − + 11 − + −= 30,06 (м) .255 10 5C–81. Найдем точки пересеченияx4+ x 2 = 8 , x4+4x2–32=0, x2=4, x±2. y=2.4Площадь над параболой равна сумме площадей сектора, ограниченного622y2+x2=8, y=x и y=–x y≥0, фигуры, ограниченной у=x и y = x 2 и фигуры,ограниченной у=–x и y =2220 ⎛8π 2 ⎛x ⎞x ⎞x2. Т.е.: S1 = + ∫ ⎜⎜ x − ⎟⎟ dx + ∫ ⎜⎜ − x − ⎟⎟ dx =24 0⎝2 ⎠2 ⎠−2 ⎝0⎛ x 2 x3 ⎞8π ⎛ x 2 x3 ⎞8π88 8π 44=+ ⎜ − ⎟ + ⎜− − ⎟ =+2− +2− =+ = 2π + .⎜⎟⎜⎟4 ⎝ 26⎠6⎠466 4 33⎝ 2−20Площадь под параболой S2 равна пощади круга без площади над пара⎛ 8πболой.