ivlev-gdz-11-2001 (Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 - 11 класса - Ивлев)

А.А. Сапожников, Ф.Ф. Тихонинк учебному пособию «Б.М. Ивлев, С.М. Саакян,С.И. Шварцбурд. Дидактические материалыпо алгебре и началам анализа для 11 класса.— 5-е изд.— М.: Просвещение, 2001 г.»САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТАВариант 1С–11. а) F '(x)=(x3–2x+1)'=3x2–2=f(x), для всех х∈(–∞;∞), так что F(x) является Первообразной для f(x) на промежутке (–∞;∞);б) F '(x)=(2sin2x–2)'=2cos2x⋅(2x)'=4cos2x=f(x), для всех x ∈(–∞;∞), такчто F(x) является первообразной для f(x) на промежутке (–∞;∞).62. а) f(x)=x5, F(x)= x 6 – Первообразной для f(x) на R;б) ϕ(x)=–3,5, F(x)=–3,5x – Первообразной для ϕ(x) на R.С–21. Для f(x)=х2 все первообразные имеют3вид F(x)= x 3 +С, а так как точкаМ(–1;2) принадлежит графику F(x), то2=( −1)3 +С, то есть С=2+ 1 = 7 .3333Значит F(x)= x 3 + 7 3 .2.

Для f(x)=sinx все первообразные имеют вид F(x)=–cosx+C, так чтодве различные, например, F1(x)=–cosx и F2(x)=1–cosx. График F1(x):С–3a) Для f(x)=2sinx+3cosx первообразные имеют вид F(x)=3sinx–2cosx+C;б) Для f(x)=3+x2xпри х∈(0;+∞) Первообразной имеет вид3F(x)=6 x + x 3 +C.C–41. Заштрихованная фигура – прямоугольный треугольник с катетами хи 2х, так что S(x)= 1 2 ⋅x⋅2x=x2. Далее S'(x)=(x2)=2x=f(x), что и требовалось доказать.2.Первообразной для y=sinx является, например,F(x)=–cosx.

Тогда по формуле S=F(b)–F(a) искомаяS=–cos 2π 3 –(–cos0)= 1 2 +1= 3 2 .функцияплощадьC–55a) ∫ 4dx =F(5)–F(2), где F(x) – Первообразной для f(x)=4, то есть25F(x)=4x, например. Так, что ∫ 4dx = 4 ⋅ 5 − 4 ⋅ 2 = 12 ;22π2⎛π⎞⎝ ⎠б) ∫ sin dx = F ⎜ ⎟ − F ( 0 ) , где F(x) – одна из первообразных для20π2π2f(x)=sinx, например, F(x)=–cosx. Так что ∫ sin dx =– cos +cos0=1.0C–6а) Первообразной для y=x2, при x∈(1;3) является, например, F(x)=Тогда S=x3.333 13 262− ==8 ;3 333⎛ π π⎞⎝⎠б) Первообразной для y=2cosx, при x∈ ⎜ − ; ⎟ является, например,2 2⎛π⎞⎝ ⎠⎛ π⎞⎝⎠F(x)=2sinx.

Тогда S= 2 ⋅ sin ⎜ ⎟ − 2sin ⎜ − ⎟ =4.22C–7Обозначим S(t) – путь. Тогда S'(t)=V(t)=10–0,2t, так чтоS(x)=–0,1t2+10t+C. За время от 3 до 10 с точка пройдет путьS=S(10)–S(3)=–0,1⋅100+100+C+0,1⋅9–10⋅3–C=60,9 (м).C–81()⎛⎝21⎞⎠021а) S= ∫ 2 x − 2 x 2 dx = ⎜ x 2 − x3 ⎟ = 1 − = ;33 30π4π20π4ππб) S= ∫ sin xdx + ∫ cos xdx = ( − cos x ) 04 + smx π2 3 −422+1+1−= 2 − 2.22C–911. a) ∫ ( x + 1)5( x + 1)6dx =602πx⎛⎝x⎞б) ∫ cos dx = ⎜ 6sin ⎟66π1=026 1− = 10,5 ;6 62π⎠π= 6sinππ− 6sin = 3 3 − 3362. Площадь поперечного сечения S(x)=π⋅(3x+1)2.

Тогда объём111⎛ ( 3 x + 1)3 ⎞⎛ 43 1 ⎞2⎟ = π ⋅ ⎜ − ⎟ = 7π.V = ∫ S ( x ) dx = π ⋅ ∫ ( 3 x + 1) dx = π ⋅ ⎜⎜ 9 9⎟⎜⎟900⎝⎠⎝⎠03C–109 − 4 5 ≥ 0.1. Не верно, так как 2– 5 <0, а2. а)46443= 11 = 11 ; б)383,7 ≈ 9,1488; б)3. а)4.( −11)425 ⋅ 135 = 3 52 ⋅ 5 ⋅ 27 = 3 53 ⋅ 33 = 3 153 = 15 .21 ≈ 2,7589 .80 < 6 81 = 6 92 = 3 9. Так что680 < 3 9.C–111. a 2 = − ( − a ) 2 = −( − a )2 ⋅ 2 = −2a 2 , где а<0.2.

а) x3+18=0, x3=–18, x= 3 −18 = − 3 18 ;( x)4б)24шения;4+ 44 x − 5 = 0 ,x = t , t2+4t–5=0, t=–5 и t=1:x = −5 – нет ре-x = 1 , x=1. Ответ: х=1.( 4 − 7 )( 4 + 7 ) =4− 7 ⋅ 4+ 7 =3. a)442 −( 7)2= 9 =3;б) а+ 4 a 4 = a + a = 2a , где а>0.C–125 + x −1 = 3 ; 5 + x −1 = 9 ;1.⎧3333x − 1 = 4 ; x–1=16; x=17.⎧⎪2 x = 4 ⎪ x = 2 ⎧ x = 8,; ⎨; ⎨⎪⎩ x + y = 3 ⎪⎩2 3 y = 2 ⎪⎩ 3 y = 1 ⎩ y = 1.⎪ x − y =12. ⎨⎧33; ⎨C–1353⋅1.

а) 8 3 = 2(в) 9 + 73= ⎛⎜ 92 −⎝(1353= 25 = 32 ; б)) (⋅ 9 − 73)113( 9)3922 9⋅2= 33) (()(= 33 = 27 ;= 9 + 73 9 − 731))13=13⋅2 373 ⎞⎟ = 8 3 = 2 3 = 2 .⎠626 2> , то 213 > 2 7 , поскольку 2>1.13 7333u + 2 ⋅ ⎛⎜u + 23u +8⎝==2. Так как3.2u 3 − 23 u + 41= 3 u + 2 = u3 + 2 .4( )( u) − 2⋅32(3u + 22) ( u ) − 2⋅ u + 2( u) − 2⋅ u + 233223322⎞⎟⎠=C–141. См. график.2. а) 2() : 222 +1 23+ 2 2 − 2 2⎛( 6)⎝=2(2+ 2) : 222 +12=3=2 =8;2б) ⎜22⎞⎟⎠2( 6)=2⋅ 2=( 6)2= 6.3. f(x)=3x–2. 3x>0, так что f(x)>–2.Ответ: (–2;∞).C–151.

а) 3х–4=1; x–4=0; x=4;⎛1⎞⎝ ⎠б) 27 −3 x = ⎜ ⎟2x−4; 27 − 3 x = 24 − x ; 7–3x=4–x; 2x=3; x=1,5.x2. a) 54 x− 7 > 1 ; 4x–7>0; x>1,75; б) 0,7 x < 2−22 ⎛7⎞ ⎛7⎞; ⎜ ⎟ < ⎜ ⎟ ; x>–2.49 ⎝ 10 ⎠ ⎝ 10 ⎠C–161. a) 2x+2+2x=5; 4⋅2x+2x=5; 2x=1; x=0;б) 9x–6⋅3x–27=0; 3x=t; t2–6⋅t–27=0; t1=–3, t2=9; 3x=–3, 3x=9; x=2.⎛1⎞x⎛1⎞x⎛1⎞x⎛1⎞x2. ⎜ ⎟ − 3 ⎜ ⎟ + 2 > 0; ⎜ ⎟ = t ; t 2 − 3t + 2 > 0; t<1 и t>2; ⎜ ⎟ < 1 и⎝2⎠⎝2⎠⎝4⎠⎝2⎠x⎛1⎞⎜ ⎟ > 2; x>0 и x<–1; x∈(–∞;–1)∪(0;∞).⎝2⎠C–17()231. lg 7 a 3 ⋅ 3 b 2 = lg 7 + lg a3 + lg 3 b 2 = lg 7 + 3lg a + lg b .2.

a) log3684–log3614=log36б)(1184= log 62 6 = log 6 6 = ;1422)32lg 27 + lg12 lg 3 + lg 2 ⋅ 33lg 3 + 2lg 2 + lg 3 2 ( lg 2 + 2lg 3)==== 2.lg 2 + 2lg 3lg 2 + 2lg 3lg 2 + 2lg 3lg 2 + 2lg 33. log1,32,6=ln 2,6≈ 3,6419 .ln1,3C–181. log 2 3 = − log 1 3 = log 121< log 1 , так как 1 > 1 , но 1 < 1 . Так15235232что log 2 3 < log 1 1 5 .252. y = log 1 (3 x + 4 ) ; 3x+4>0; x>–131.33.C–191. а) log2(x2–3x+10)=3; x2–3x+10=8; x2–3x+2=0; x1=1, x2=2;⎧2 x = 2⎧3x − 5 = x − 3 ⎪2⎪⎪; ⎨ x > 1 , решений нет.б) log3(3x–5)=log3(x–3); ⎨3x − 5 > 03⎪x − 3 > 0⎪⎩⎪⎩ x > 3⎧2 x + 3 > x − 1 ⎧ x > −4⎪⎪; ⎨ x > −1,5 ; x>1;⎪x −1 > 0⎪x > 1⎩⎩2. a) log5(2x+3)>log5(x–1); ⎨2 x + 3 > 0⎧2 x − 5 > 4 ⎧ x > 4,5;⎨; x>4,5.⎩2 x − 5 > 0 ⎩ x > 2,5б) log 1 (2 x − 5) < −2; log 1 (2 x − 5) < log 1 4; ⎨222C–201.

a) log23x–log3x=2; log3x=t; t2–t–2=0; t1=–1, t2=2; log3x=–1 и log3x=2;13x1= , x2=9;(в ответе задачника опечатка);б)6t − 42424+= 1 ; lgx=t+1;+=1; 2= 1 ; 6t=t2; t1=0,lg x − 3 lg x + 1t−2 t+2t −4t2=6; lgx=1 и lgx=7; x1=10, x2=10000000.2. а) lg2x+3lgx<4; lgx=t; t2+3t–4<0; –4<t<1; –4<lgx<1; 0,0001<x<10;б) 4x–1>7; x–1>log47; x>log47+1; x>log428.C–21⎧⎪ x = 8 − y,⎧ x + y = 8,⎧ x = 8 − y,a) ⎨;; ⎨;⎨2⎩log12 x + log12 y = 1 ⎩log12 ((8 − y ) y ) = 1 ⎪⎩8 y − y = 126⎧⎪ x = 8 − y,⎧ x = 6, ⎧ x2 = 2,; ⎨ 1и ⎨⎨ 2⎪⎩ y − 8 y + 12 = 0 ⎩ y1 = 2⎩ y 2 = 6.⎧⎛ 1 ⎞ x⎪⎜ ⎟ + 3 y = 7,⎪⎝ 2 ⎠;б) ⎨2x⎪⎛ 1 ⎞2y⎪⎜ 2 ⎟ + 3 = 25⎩⎝ ⎠⎧⎪a = 7 − b,;⎨ 2⎪⎩b − 7b + 12 = 0⎧a1 = 4,⎨⎩b1 = 3⎧⎛ 1 ⎞ x⎧⎪a = 7 − b,⎪a + b = 7,⎪=a;⎧;;⎨⎜⎝ 2 ⎟⎠⎨⎨ 2⎪⎩a + b 2 = 25 ⎪⎩(7 − b )2 + b 2 = 25⎪3 y = b⎩⎧иx⎧a2 = 3; ⎪⎛⎜ 1 ⎞⎟ = 4,; ⎨⎝ 2 ⎠⎨⎩b2 = 4 ⎪ y⎩3 = 3и⎧⎛ 1 ⎞ x⎪⎜ ⎟ = 3,;⎨⎝ 2 ⎠⎪ y⎩3 = 4⎧ x1 = −2, ⎧ x2 = − log 2 3,и ⎨ y = log 4.⎨3⎩ 2⎩ y1 = 1C–221.

a) f(x)=4–3x; g(x)=4− x– обратная. D(g)=E(g)=R;3б) f(x)= 1 − x 2 , x≥0; g(x)= 1 − x 2 – обратная.D(g)=E(g)=[0;1].2. f(g(–1))=–1; g(–1)=–1; f(g(2))=2;2g(2)= ; f(g(3))=3; g(3)=1.34D(g)=[–2;4]; E(g)=[–2; ]:3C–231. а) f(x)=e–5x, f'(x)=(e –5x)'=e –5x⋅(–5x)'=–5e–5x;б) f(x)=x⋅2x, f'(x)=(x)'⋅2x+(2x)'⋅x=2x+2x⋅ln2⋅x=2x(1+xln2).2. f(x)=e–x, x0=1. Уравнение касательной: y–f(x0)=f'(x0)⋅(x–x0);(y–e–1)=–e–1(x–1); y= 2 e − x e3. f(x) = x⋅e2x; f'(x)=e2x+2xe2x=e2x(1+2x), f'(x)=0 при x=–0,5.f'(x)>0 при x>–0,5 и f'(x)<0 при x<–0,5, так что f(x) – возрастает приx≥–0,5 и f(x) – убывает при x≤–0,5.334. ∫ e x dx = e x = e3 − e .11C–241. а) f(x)=ln(2x+1), f'(x)=(ln(2x+1))'=(2 x + 1)' =2x + 12;2x + 17f(x)=log3(2x2–3x+1),б)=4x − 3(f'(x)=(log3(2x2–3x+1))'=()22 x − 3x + 1 '1⋅=ln 3 2 x 2 − 3x + 1)ln 3 2 x 2 − 3 x + 13132.

S = ∫ dx = ln x 1 = ln 3 − ln 1 = ln 3 .1x3. f(x)=x2lnx, f'(x)=2x⋅lnx+x=x(2lnx+1), f'(x)=0 при x = eточке x01−=e 2(= 3 x2.3.33 −13 125,151∫x03− x−+ x−12, так что вфункция f(x) достигает своего минимума f(x0)= −C–251.f(x)= x−3(f '( x ) = x,3 −1)3−x− 3)=/3x3 −1+ 3x− 3 −11.2e=≈ 5,002 .⎛ 1dx = ⎜⎜x⎝ 3 +13 +1 ⎞⎟113 −1⎟ = 3 +1 = 2 .⎠0C–261. y=3e–2x, y'=3⋅(e–2x)'=3⋅e–2x(–2x)'=–2⋅3e–2x=–2y, что и требовалось доказать.2. f'(x)=3f(x), значит f(x)=c⋅e3x, но так как f(0)=3, то 3=c⋅e3⋅0, то есть с=3и f(x)=3e3x.3. x(t)=3cos(2t–π), x'(t)=–6sin(2t–ππ)=–4x(t).

То444есть искомое уравнение x''=–4x.Вариант 2С–11. а) F '(x)=(x4–3x2+7)'=4x3–6x=f(x), для всех х∈(–∞;∞), так что F(x) является Первообразной для f(x) на промежутке (–∞;∞);б) F '(x) = (cos(2x – 4))' = –sin(2x – 4)⋅(2x – 4)' = –2sin(2x – 4), для всехx ∈(–∞;∞), так что F(x) является Первообразной для f(x) на промежутке (–∞;∞).2. а) f(x)=–x4, F(x)=), x''(t)=–12cos(2t–− x5– первообразной для f(x) на R;5б) f(x)=6,4, F(x)=6,4x – первообразной для f(x) на R.8С–241. Для f(x)=х3 все первообразные имеют вид F(x)= x 4 +С, а так какточка М(1;–1) принадлежит графику5F(x), то –1= 1 4 +С, то есть С= − и41x4–1 .442. Для f(x)=cosx все первообразныеимеют вид F(x)=sinx+C, так что дверазличные первообразные, например,F1(x)=sinx и F2(x)=sinx+1.График F1(x):С–3a) Для f(x)=3sinx–2cosx Первообразной имеет вид:F(x)=–3cosx–2sinx+C;–x при х∈(0;∞) Первообразной имеет вид:б) Для f(x)= 4F(x)=x2F(x)=8 x – x 2 + C.C–41.

Заштрихованная фигура – прямоугольный треугольник с катетами хи 3х, так что S(x)= 1 2 ⋅x⋅3x= 3 2 x2. Далее, S'(x)=( 3 2 x2)'=3x, что и тре-бовалось доказать.2.Первообразной для y=cosx является, например, F(x)=sinx. Тогда поформуле S=F(b)–F(a) искомая площадь S=sin π 2 –sin − π 6 =()=1–(– 1 2 )=1,5.C–53a)∫ 2dx =F(3)–F(1),где F(x) – одна из первообразных для f(x)=2, на-13пример, F(x)=2x. Тогда ∫ 2dx =2⋅3–2⋅1=4;1π2( )б) ∫ cos xdx = F π 2 − F ( 0 ) , где F(x) – одна из первообразных для0π2f(x)=cosx, например, F(x)=sinx.

Так что ∫ cos dx = sin π 2 – sin0=1.09C–6а) Первообразной для y=x3, при x∈[1;3] является, например, F(x)=3тогда S= ∫ x3dx =14x431=4x4,443 1− = 20.4 4( ) ( )S=2S = 2 ⋅ ( 2sin π 2 − 2sin 0 ) =4,б) Первообразной для y=2cosx, при x∈ 0; π 2 и x∈ π 2 ; π является, например, F(x)=2sinx. Тогда1где S1 —фигура, ограниченная линиями y=2cosx, y=0, 0≤x≤ π 2 .C–7Пусть S(t) – путь точки. Тогда S'(t)=V(t)=3+0,2t.