ivlev-gdz-11-2001 (Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 - 11 класса - Ивлев), страница 2

Тогда S(t)=3t+0,1t2+Cи путь, пройденный от 1 до 7 с, равен S=S(7)–S(1)=3⋅7+0,1⋅49+C–3⋅1––0,1⋅1–C=22,8 (м).C–82()223482а) S= ∫ x − 0,5 x 2 dx = ( x 2 − x 6 ) = − = ;2 6 300π4ππ4π4б) S= ∫ ( cos x − sin x ) dx = ( sin x + cos x ) 04 = sin − sin 0 + cos − cos 0 =02 −1.C–935⎛ (1 − x )5 ⎞⎟ = 2 − 1 = 6,2 ;1. a) ∫ (1 − x ) dx = ⎜ −⎜5 ⎟⎠5 52⎝234π⎛x⎝π⎞⎛⎠⎝π ⎞⎞⎛x⎝πб) ∫ sin ⎜ − ⎟ dx = ⎜ −2cos ⎜ − ⎟ ⎟2 62 6π3⎠⎠ π= −2cos3π1+ 2cos 0 = −2 ⋅ + 2 = 1 .322. Площадь поперечного сечения равна S(x)=π⋅(2x+1)2. Тогда22⎛ (2 x + 1)3 ⎞⎛ 3⎞⎟ = π ⋅ ⎜ 5 − 1 ⎟ = 62π .V = ∫ π ⋅ (2 x + 1)2 dx = π ⋅ ⎜⎜ 6 6⎟⎜⎟630⎝⎠⎝⎠0C–101.

Верно, так как 11 –3>0 и2. а)3. а)4.1056( −7 )66= 76 = 7 ; б)29, 4 ≈ 5, 4222; б)7∨102 1033(11 − 3)2= 11 − 2 ⋅ 11 ⋅ 3 + 9 = 20 − 6 11 .339 ⋅ 375 = 32 ⋅ 3 ⋅ 53 = 153 = 15 .33 ≈ 3, 2075 .7 ; 49 > 10 47. То есть57 > 10 47.C–111. b 5 = − ( −b ) 5 = −3( −b ) 2 ⋅ 5 = −35b2, где b<0.32. а) x +24=0, x =–24, x= −24 ;б)( x)66ний;6− 36 x = 4 ;626x = t ; t –3t–4=0; t1=4, t2=–1;x = −1 – нет реше-6x = 4 , x=4 =4096.

Ответ: х=4096.65 − 7 ⋅3. a)б)265 + 7 =(65 − 7)()65 + 7 = 65 − 49 = 16 = 4 ;6a − a = a − a = − a − a = −2a , где а<0.C–127 − x +1 = 2 ; 7 − x +1 = 4 ;1.⎧ 3 x − 3 y = 3,;3⎩ x + y =52. ⎨ 3C–131. а) 27−23(3⋅ − 2=3x + 1 = 3 ; x+1=9; x=8.{⎧2 3 x = 8, ⎧ 3 x = 4, x = 64,; ⎨3;⎨ 3y = 1.⎩2 y = 2 ⎩ y = 13) = 3−2 = 1 ; б)9в) 3 12 − 80 ⋅ (12 + 800,5 )1( 16 ) 9 2 = 23= ((12 − 80)(12 + 80))36564 8, так что 32. 5 8 =>=138 ⋅ 13 8 ⋅ 33.8v + 124v 3 − 2 3 v + 1(2 v )3=34 ⋅933+124v 3 − 2 3 v + 1=(2358>3)(8133162= 2 = 64 ;3= (144 − 80 ) 3 = 64 3 =4.1, так как 3>1.2) = 2 v + 1 = 2 ⋅ v +1.v + 1 4 v − 23 v + 1314 v2 − 2 3 v + 1313C–141.11() : ( 1 )2 3 = 3(33 −1 22.

а) 3⎛( 2)⎝б) ⎜66⎞⎟⎠=( 2)6⋅ 6( ) ( )x3 −1)2=2⋅ 321 ⋅623= 33− 23 +1+ 2 34= 3 = 81 ;3= 2 = 8.x3. f(x)=1– 1 2 , 1 2 >0, так что f(x)<1. Ответ: (–∞;1).C–151. а) 0,82х–3=1; 2x–3=0; x=1,5;( )б) 2 92 x +3= 4,5x−2( ); 292 x +3( 9)= 22− x; 2x+3=2–x; 3x=–1; x= − 1 3 .2. a) 22 x− 9 < 1 ; 2x–9<0; x<4,5; б) 0,9 x ≥ 119 81 ; 0,9 x ≥ 0,92 ; x≤–2.C–161.

a) 3x+2+3x=30; 9⋅3x+3x=30; 10⋅3x=30; 3x=3; x=1;б) 4x–14⋅2x–32=0; 2x=t; t2–14t–32=0; t1=16, t2=–2; 2x=16 и 2x=–2; x=4;( )( 3 ) − 27 ≤ 0; ( 13 ) = t; t –6t–27≤0; –3≤t≤9; –3≤ ( 13 )так как ( 1 3 ) > 0 , то ( 1 3 ) ≤9; ( 1 3 ) ≤ ( 1 3 ) ; x≥–2.2. 1 32x−6 1xxxxC–171.(2−2x) = log 16 + log a + log33b = 4 + 6log a + log b ;25 22. a) log4984–log4912=log49 84 12 = log 2 7 = 1 2 log 7 7 = 1 2 ;765log 16 ⋅ a ⋅ b234б)562226lg81 + lg 64 lg 3 + lg 24lg 3 + 6lg 2=== 2.2lg 3 + 3lg 2 2lg 3 + 3lg 2 2lg 3 + 3lg 23. log1,42,8=ln 2,8≈ 3,0600 .ln1, 4C–181. log 3 5 = − log 1 5 = log 1 1 5 > log 1 1 4 ,333так как 1 5 < 1 4 и 1 3 < 1 , так чтоlog 5 > log 1 .31432.

y = log5 ( 2 x − 1) ; 2x–1>0; x> 1 2 .3. см. график.12x≤9;C–191. а) log 1 ( x 2 − 4 x − 1) =–2; x2–4x–1=4; x2–4x–5=0; x1=–1, x2=5.2⎧⎪4 x − 6 = 2 x − 4, ⎧⎪ x = 1,; ⎨ x > 1,5, — решений нет.⎪⎩ x > 2⎪⎩2 x − 4 > 0,б) log7(4x–6)=log7(2x–4); ⎨4 x − 6 > 0,⎧⎪1 − x > 3 − 2 x,2. a) log3(1–x)>log3(3–2x); ⎨1 − x > 0,;⎪⎩3 − 2 x > 0,б) log 1 ( 2 x + 5 ) > −3;2⎧⎪ x > 2⎨ x < 1 — решений нет;⎪⎩ x < 1,5{22xx ++ 55 <> 8,0, ; {xx <> 1,5−2,5 ; x∈(–2,5;1,5).C–201. a) log 21 x − log 1 x = 6 ; log 1 x = t ; t2–t–6=0; t1=–2, t2=3; log 1 x = −2 и2log222x = 3 ; x1=4, x2= 1 ;182123−t12= 3 ; 3t2–t=0; t1=0,+= 3 ; lgx=t+2;+=3;23 − lg x lg x − 11− t 1+ t1− t11t2= ; lgx=2 и lgx=2 ; x1=100, x2= 3 10000000 .33б)2.

а) lg2x+5lgx+9>0; lgx=t; t2+5t+9>0; t – любое; x∈(0;∞);б) (3x–1)(3x–2)≤0; 1≤3x≤2; 0≤x≤log32.C–21⎧ x = 6 − y,⎧ x + y = 6,⎧ x = 6 − y,a)⎨log ( ( 6 − y ) ⋅ y ) = log 8 ;⎨log x + log y = 3 ;⎨ y2 − 6 y + 8 = 0 ;⎩2⎩ 22⎩ 2⎧ x = 2,⎧ x = 4,⎧ x = 6 − y,⎨ y = 2, y = 4 ; ⎨ y1 = 2 и ⎨ y2 = 4 ;2⎩ 1⎩ 1⎩ 2⎧ x ⎛ 1 ⎞yx2 = a,⎪2 + ⎜ ⎟ = 5,⎪y3⎝ ⎠;;б) ⎨⎛1⎞2y=b1⎛⎞⎜⎟⎪22 x +⎝ 3⎠⎜ ⎟ = 13⎪⎩⎝ 3⎠⎧a = 3, a = 2,⎧a = 5 − b,⎨b 2 − 5b + 6 = 0 ; ⎨b1 = 2, b 2 = 3 ;⎩2⎩1⎧2 x = 3,⎧2 x = 2,⎧ x1 = log 2 3,⎪⎪⎪yи ⎨⎛ 1 ⎞ y; ⎨ y = log 2 ,⎨⎛ 1 ⎞1123==⎪⎩⎪⎜ 3 ⎟⎪⎜ 3 ⎟3⎩⎝ ⎠⎩⎝ ⎠⎧a + b = 5,⎨a 2 + b 2 = 13 ;⎩⎧ a = 5 − b,;22⎨⎩( 5 − b ) + b = 13⎧ x2 = 1,⎨ y = −1.⎩ 213C–221. a) f(x)=3–4x; g(x)=3− x– обратная. D(g)=E(g)=R;4б) f(x)= x 2 − 4 ; g(x)= x 2 + 4 – обратная.

D(g)=[0;∞), E(g)= [2;∞).2. f(g(–1))=–1; g(–1)=1; f(g(1))=1; g(1)=–1,5. D(g)=[–3;2]; E(g)=[–3;3]:C–231. а) f(x)=e–0,3x, f'(x)=(e –0,3x)'=e –0,3x⋅(–0,3x)'=–0,3⋅e–0,3x;б) f(x)=x⋅3x, f'(x)=(x)'⋅3x+x⋅(3x)'=3x+x⋅3x⋅ln3=3x(1+xln3).2. f(x)=ex, x0=–1. Уравнение касательной: y–f(x0)=f'(x0)⋅(x–x0); y–e–1==e–1⋅(x+1); y= x e + 2 e .3. f(x) = x⋅e–3x; f'(x)= e–3x–3x e–3x= e–3x(1–3x); f'(x)=0 при x= 1 3 , f'(x)>0 приx< 1 3 и f'(x)<0 при x> 1 3 , так что f(x) – возрастает на (–∞; 1 3 ] и убывает на [ 1 3 ;∞).(44. ∫ e− x dx = −e − x2)42= −e−4 + e −2 = e−2 − e −4 .C–241.

а) f(x)=ln(3x–4), f'(x)=(ln(3x–4))'=( 3x − 4 ) ' =3x − 43;3x − 4б) f(x)= log 1 (3x2–2x+5), f'(x)=( log 1 (3x2–2x+5))'=2=( 3x6x − 222)− 2 x + 5 ln 1()3x2 − 2 x + 5 '1=⋅3x2 − 2 x + 5ln 12.24412. S = ∫ dx = ( ln x ) 2 = ln 4 − ln 2 = ln 2 .2x3. f(x)=x3lnx; f'(x)=3x2lnx+x2=x2(3lnx+1), f'(x)=0 при x = e=e–1ln e−13= − 1 3e , f'(x)>0 при x> e−13и f'(x)<0 при 0<x< ef(x) достигает своего минимума в точке x0 = e14−1−133−1, f( e3: f(x0)= − 1 3e .−13)=, так чтоC–251. f(x)= x 2 +x −2;f ' ( x ) = ( x ) +(x2 /2.4 16,08− 2 /) = 2x2 −1− 2x− 2 −1=2( x2 −1−x− 2 −1).≈ 2,0025 .13.

∫ x 5 dx = ( 15 +10x5 +11) = 105 +1= 5 −1.4C–261. y=5e–3x, y'=(5e–3x)'=5⋅e–3x⋅(–3x)'=–15e–3x=–3y, что и требовалось доказать.2. f'(x)=4f(x), значит f(x)=c⋅e4x, но f(0)=5, 5=c⋅e4⋅0, т.е. с=5, f(x)=5e4x.3. x(t)=0,7cos(0,5t+ π 8 ), x'(t)=(0,7cos(0,5t+ π 8 ))'=–0,5⋅0,7sin(0,5t+ π 8 ),x''(t)=( –0,35sin(0,5t+ π 8 ))'=–0,35⋅0,5cos(0,5t+ π 8 )=–0,25x(t), то естьx''=–0,25x – искомое уравнение.Вариант 3С–11. а) F '(x)= ⎛⎜ 3⎝/+ 1⎞⎟ = − 6 3 = f ( x ) , для всех х∈(–∞;0), так что F(x)xx⎠2является первообразной для f(x) на промежутке (–∞;0).() (/)/б) F '(x)= 6 x −1,5 ⋅ x = 6 ⋅ x −1 = − 6 x −2 = − 6x2=f ( x ) , для всех x∈(0;∞),так что F(x) является первообразной для f(x) на промежутке (0;∞).1= f ( x ) , для всех2.

а) Является, так как F '(x)=(2x+tgx)'= 2 +cos 2 ( x )()x∈ − π 2 ; π 2 .б) Не является, так как F(x)= 10 х и f(x)= −10x2определены не для всехx∈(–3;3).С–21. Для f(x) =1xвсе первообразные имеют вид F(x)= 2 x +С, так чтодве различные первообразные, например:F1(x) = 2 x и F1(x) = 2 x +1.2. Для f(x)=sinx все первообразные имеют вид F(x)=–cosx+C, а т.к. точка А( π 2 ;–1) принадлежит графику F(x), то –1=–cos( π 2 )+C, то естьС=–1 и F(x)=–cosx–1.15С–31.

Для f(x)=2x–2 все первообразные имеют вид F(x)=x2–2x+C, а так какточка А(2;–1) принадлежит графику F(x), то 1=22–2⋅2+С, то есть С=1 иF(x)=(x–1)2:2. Для f(x)=(2x + 1)−1− sin x4общий вид первообразных на (–0,5;∞):F(x)= 2 x + 1 + 4cos х 4 + C .C–41. Заштрихованная фигура – трапеция с основаниями 4 и (3х+1) и высотой(x–1).ТакчтоS(x)=4 + 3x + 12⋅ ( x − 1) = 1,5 x + x − 2,5 ⋅и2S'(x)=⋅3x+1=f(x).2.

Площадь этой фигуры равна площади фигуры, ограниченной линиями y=–2cosx, y=0, π 2 ≤x≤ 3π 2 . Первообразной для f(x)=–2cosx является, например, функция F(x)=–2sinx. Так что по формуле3π ⎛π⎞S=F(b)–F(a) искомая площадь равна S= −2sin − ⎜ −2sin ⎟ = 2 + 2 = 4 .2 ⎝2⎠C–545 x5 xdx =F(4)–F(1), где F(x) – первообразная для f(x)=, то есть,xx1a) ∫45 xdx = 10 4 − 10 1 = 10.1 xнапример F(x)=10 x и ∫1642∫ ( x − 6 x + 9)dx = F (4) − F (1) , где F(x) – первообразная дляб)1f(x)=x2–6x+9, то есть, например, F(x)=3x3− 3x 2 + 9 x , и32∫ ( x − 6 x + 9 ) dx =41= 4 3 − 3 ⋅ 4 + 9 ⋅ 4 − ( 1 3 − 3 + 9) = 3 .π266в) ∫−π=6cos 2 2 x( 6 ) − F ( − π 6 ) , где F(x) – первообразная для f(x) =dx = F ππ62cos 2x, то есть, например, F(x) = 3tg2x и6∫−π66cos 2 2 xdx == 3tg(2 ⋅ π 6 ) − 3tg(2 ⋅ (− π 6 )) = 3 3 − (−3 3) = 6 3.C–61() ()1а) S= ∫ − x 2 + 2 − x 2 = ∫ 2 − 2 x 2 dx = F (1) − F (−1) , где F(x) – первооб−1разная−1f(x)=2–2x2,для(тоесть,например,)F(x)=2x– 2 3 x3иS=2– 2 3 − −2 + 2 3 = 2 2 3 ;0(2)б) S= ∫ 2cos xdx + ∫ ( 2 − x ) dx = F1 ( 0 ) − F1 − π 2 + F2 ( 0 ) .π0−2Где F1 – первообразная для f1(x)=2cosx, а F2– первообразная для2f2(x)=2–x.ТоестьF1(x)=2sinx,иF2(x)=2x − x,и222S=2sin0–2sin − π 2 +2⋅2– = 4.2()C–7а) S=1+ 2⋅1=1,5;21 11 1 12 1+ ⋅ + ⋅ + ...10 10 10 10 1019 11145...

+ ⋅ == 1, 45 ;(10 + 11 + ... + 19 ) = =10 10 100100б)S≈S10=1⋅∆=|S–S10|=0,05;17n +1 1n+2 12n − 1 1= 1 2 (n+(n+1)+(n+2)+...⋅+⋅+ ... +⋅nnnnnnnn+2n−1⋅n()= 1,5 − 1 ; lim S = 1,5 .... +(2n–1))= 1 2 ⋅2n n →∞ nn2в)Sn= 1 ⋅ 1 n +C–82π2π332πа) S= ∫ ( 3sin x + 2sin x ) dx = 5 ⋅ ∫ sin xdx = 5 ⋅ ( − cos x ) 000233()= 5 1 + 1 = 7,5 ;222б)S= ∫ (− x 2 + 2 + x)dx = (− x + 2 x + x ) = − 8 3 + 4 + 2 − 1 3 + 2 − 1 2 =4,5.32 −1−1C–900⎛ (1 − 2 x )5 ⎞1 243⎟ =− += 24, 2;−10 ⎟10 10⎝⎠ −11.

a) ∫ (1 − 2 x ) dx = ⎜⎜−14πб) ∫0cos2(( (3dx = 6tg x − π23x −π23)2. Площадь сечения S(x)=π⋅2(( x)2))π=06 3+ 6 3 = 8 3.32–π⋅12=π(x–1). Тогда V = ∫ π ( x − 1) dx =1)2= ⎜⎛ π ⎜⎛ x 2 − x ⎟⎞ ⎟⎞ = π 2 − 2 − 1 2 + 1 = π 2 .⎠⎠ 1⎝ ⎝C–10(1. a) 4 2 − 7)4− 7 = 2 − 7 − 7 = 7 − 2 − 7 = −2;б) 4 a 4 + 3 a 3 = a + a = − a + a = 0, если а<0.2. а) x4–1=0, x4=1, x1,2=±1;б)125х3+1=0, 125х3=–1, х3=– − 1125 , x = − 1 5 .C–111. 5 10 + 2 17 · 5 10 − 2 17 = 5 (10 + 2 17)(10 − 2 17 ) = 5 100 − 4 ⋅ 17 = 5 32 =2()23− 33− 39 − 6 3 + 3 12 − 6 3==== 2− 3.2.9−363+ 33+ 3 3− 3()()3. x4 > 16, x4 > 22, |x| > 2, x ∈(–∞;–2) ∪ (2;∞).C–121.1822 x − 3x + 2 = 4 − x .⎧4 − x ≥ 0,⎪ 2;⎨2 x − 3 x + 2 ≥ 0,⎪⎩2 x 2 − 3 x + 2 = 16 − 8 x + x 2{⎧ x ≤ 4,x ≤ 4,⎨ x 2 + 5 x − 14 = 0 ; x = −7 и x = 2 ;⎩x1= –7, x2=2.⎧ x + y = 5,;⎩ x + y + 4 xy = 372.

⎨⎧ a = 5 − b,⎨ 5 − b 2 + b 2 + 4 5 − b b = 37 ;)()⎩(⎧a + b = 5,⎨a 2 + b 2 + 4ab = 37 ;⎩x = a,;y =b⎧a = 5 − b,⎨b 2 − 5b + 6 = 0 ;⎩⎧a1 = 2,⎨b = 3 ;⎩1⎧a2 = 3,⎨b = 2 ;⎩ 2⎧ x1 = 4, ⎧ x2 = 9,⎨ y = 9 ; ⎨ y = 4.⎩ 1⎩ 2C–131.2.327 =3814333 = 3 = 4 9 > 4 4 . То есть+ ( 0, 25 )−2=34⋅3 4( − 2 ) ⋅( − 2 )+2⎛⎜ x2 + y 2x+ y3. ⎜ 1− 131⎜ xy 2 + x 2 y 2 + x 2⎝=(y− x)(y+ xx+ y327 > 4 4 .= 33 + 24 = 27 + 16 = 43⎞2⎛ 2⎞y ( y − x)⎟ −1 ⎜ x + y − x ( x + y ) ⎟ xx⋅ =⋅ =⎟ xy = ⎜⎟y x x+ y yx x+ y⎟⎝⎠⎠)=()()y− x.C–14а)Область значений: y > –1, − 1 2 <y < 3при –1<x<4.19б)При x∈[–2;4]: yнаим.=0, yнаиб.=15.C–151. а) 9–х=27; 3–2x=33; –2x=3; x=–1,5;б)1 x−1−1,25; 2 −3 ⋅ 22 =48(2. a) cos π 3б) 40,5 x2−3)x− 0,5x−12( 2)> 2; 1> 8 ; 2x=22−6−2,5x− 0,5; 2x− 72( 2)> 1−=212−52; x–7=–5; x=2.; x − 0,5 < − 1 2 ; x<0;> 23 ; x2–6>3; x2>9; |x|>3; x∈(–∞;–3)∪(3;+∞).C–161.