ivlev-gdz-11-2001 (Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 - 11 класса - Ивлев), страница 11

а) y′ = (3x3 + 2x 2 – 1)′ = 9x2 + 2 2 xб) y′ = (xex)′ = ex + xex = ex(1 + x);f(x) = lg(x – 1); D(x) = (1; +∞);E(y) = (–∞; +∞); f(x) возрастаетвсюду на D(x); экстремумов нет.2 −1 ;87′7⎛ 3 x − 1 ⎞ 3( x + 2) − (3 x − 1).в) y′ = ⎜=⎟ =22(+2)(+2) 2x+xx⎝⎠2. f′(x) = ((x2 – 1)102)′ = 102 ⋅ 2x(x2 – 1)101 = 204x(x2 – 1)101.3. f′(x) = (2sin2x + 3cos2x)′ = 4cos2x – 6sin2x; f′′(x) = (4cos2x – 6sin2x)′ == –8sin2x – 12cos2x = –4(2sin2x + 3cos2x) = –4f(x), значит данная функция удовлетворяет дифференциальному уравнению y′′ = –4y.ПС–111. а) x2 + x – 6 > 0; (x – 2)(x + 3) > 0;–++xx ∈ (–∞; –3) ∪ (2; +∞);–32б)( x − 3)( x + 1) 2≤0;x−2+–+–12+3xx ∈ {–1} ∪ (2; 3];x2 − 5x + 4( x − 4)( x − 1)–+++в) 2>0;> 0;x − 6x + 8( x − 4)( x − 2)x124x ∈ (–∞; 1) ∪ (2; 4) ∪ (4; +∞).2. yкас = f(x0) + f′(x0)(x – x0); f′(x0) = (x3 – 3x + 5)′ = 3x2 – 3, значит,yкас = 23 – 3 ⋅ 2 + 5 + (3 ⋅ 22 – 3)(x – 2) = 8 – 6 + 5 + 9x – 18 = 9x – 11.(3.

Скорость V(t) = (x(t))′ = 3t 3 − 9 tчто V(3) = (9 ⋅ 32 + 923′) = 9t2+ 9t2, при t = 3 получаем,)м/с= (81 + 1)м/с = 82 м/с.ПС–121. f′(x) = (x2 – x)′ = 2x – 1; g′(x) = (ln x)′ = 1 x ; 2x – 1 > 1 x ;––++2x2 − x − 1( x + 0,5)( x − 1)> 0;> 0;x–0,510xxx ∈ (–0,5; 0) ∪ (1; ∞), однако, функция g(x) = ln xимеет D(x) = (0; +∞), следовательно, x ∈ (1; ∞).2. f(x) = x3 – 12x + 2; f′(x) = 3x2 – 12; f′(x) = 0 приx2 = 4; x = ±2;xf′(x)f(x)88(–∞; –2)+–2018max(–2; 2)–20–14min(2; ∞)+ПС–131.f′(x)=(x3 – 3x + 7)′=3x2 – 3; f′(x)=0 при x2=1; x=±1; f(–3)= –27+9+7=–11;f(–1) = –1 + 3 + 7 = 9; f(1) = 1 – 3 + 7 = 5, значит, min f = f ( −3) = −11 ;[ −3;1]max f = f (−1) = 9 .[ −3;1]1πH(l2 – H2), где l — образующая, H — высота3′1⎛1⎞ 1воронки, V′(H) = ⎜ πH l 2 − H 2 ⎟ = π l 2 − H 2 − 2 H 2 = π l 2 − 3H 2 ;3⎝3⎠ 32.

Объем воронки V =(V′(H) = 0 при l2 = 3H2; H = ±)l3(), но H > 0, значит, H =(l3=)153см.ПС–141. а)б)∫2. а)x3− 3 cos x + C ;31⎛ 1⎞f ( x) dx = ∫ ⎜− cos(3 x − 1) ⎟dx = tg − sin(3 x − 1) + C .23⎝ cos x⎠∫ f ( x)dx = ∫ ( x 2 + 3sin x)dx =11−2−2∫ (4 x3 + 6 x)dx = ( x 4 + 3x 2 )π4= 1 + 3 – (16 + 12) = –24;π411⎛π⎞ 1б) ∫ sin 2 x = − cos 2 x = − ⎜ cos − cos 0 ⎟ = .222⎝⎠ 2003⎛ x3⎞27+ 2 x 2 ⎟⎟ = –+ 2 ⋅ 9 = –9 + 18 = 9.3. S = ∫ ( − x 2 + 4 x )dx = ⎜⎜ −3⎝ 3⎠030ПС–15112⋅ log 5 12log 5 122+ 7 2 log 7 2 = 5 2+ 7log 7 2 = 12 + 4 = 16.1. 25 22. а) log2(2x – 3) = log2(3x – 5); 2x – 3 = 3x – 5; x = 2;( )б) 32x–4 = 1 32− x; 32x–4 = 3–(2–x); 2x – 4 = –2 + x; x = 2.6 x +10 − x 26 x +10 − x 2327 ⎛ 3 ⎞⎛3⎞⎛3⎞;⎜ ⎟3. ⎜ ⎟<<⎜ ⎟ ;64 ⎝ 4 ⎠⎝4⎠⎝ 4⎠6x+10 – x2 > 3; x2 – 6x – 7 < 0; (x + 1)(x – 7) < 0;–+–1+7xx ∈ (–1; 7).89ПС–161.

а) 32x+1 – 10 ⋅ 3x + 3=0; 3x = t, тогда: 3t2 – 10t + 3 = 0; D = 100 – 36 = 82;10 ± 81; t1 = 3; 3x = 3; x = 1, или: t2 = ; 3x =; 3x = 3–1; x = –1.t1,2 =63Ответ: ±1.б) x + 13 − x + 1 = 2 ; x + 13 = 2 + x + 1 ;⎧ x + 13 ≥ 0⎪;⎨x + 1 ≥ 0⎪⎩ x + 13 = 4 + 4 x + 1 + x + 12. lg(x2 + x + 8) < 1;⎧⎪ x ≥ −1⎧ x ≥ −1; ⎨; x = 3.⎨⎪⎩2 = x + 1 ⎩4 = x + 1⎧ x 2 + x + 8 > 0,т.к. x2 + x + 8 > 0 при лю⎨2⎩lg( x + x + 8) < lg10;–+–2+1xбом x, то x2 + x + 8 < 10; x2 + x – 2 < 0; (x – 1)(x + 2) < 0; x ∈ (–2; 1).⎧ x3 + y 3 = 9;3.

⎨⎩log 2 x + log 2 y = 1⎧ x3 + y 3 = 9⎪⎪log 2 ( xy ) = log 2 2;⎨⎪x > 0⎪y > 0⎩⎧y = 2⎪ 3 x⎪x + 8 3 − 9 = 0;⎨x⎪x > 0⎩⎪ y > 0⎧y = 2⎪⎪ 6 x 3⎨x − 9x + 8 = 0 ;⎪x > 0⎪⎩ y > 0x3 = t; t2 – 9t + 8 = 0; D = 81 – 32 = 72; t1,2 =9±7; t1 = 8 или t2 = 1;2⎧ x3 = 8⎧ x3 = 1⎧x = 1⎧x = 2⎪⎪.или ⎨или⎨⎨22; ⎨y=1⎩y = 2⎩⎪y =⎪y =xx⎩⎩Ответ: (2; 1); (1; 2).ПС–17′2 x −1 ⎞2 x −1⎛⎛1⎞⎟ = 3e3 x − 2 ln 1 ⋅ ⎛⎜ 1 ⎞⎟1. y′ = ⎜ e3 x − ⎜ ⎟.⎜⎟2⎠2 ⎝2⎠⎝⎝⎠2.∫ f ( x)dx = ∫ (e2 x − 3x )dx = 2 e2 x − ln 3 3x + C .113. f′(x) = (2x–3)′ = ln2 ⋅ 2x–3; yкас = f(x0) + f′(x0)(x – x0) = 2 + 2ln2(x – 4).ПС–1831.

а) y′ = (ln(3x – 1))′ =;3x − 190(б) y′ = ( x + 1) x32. а) ∫ f ( x)dx = ∫)′ = x3+ 3 ( x + 1) x3 −1 .1111dx = ∫ ⋅d (3 x + 1) = ln 3 x + 1 + C ;3x + 13 (3 x + 1)31 (2 x + 7) 5 +1+C .25 +112б) ∫ f ( x)dx = ∫ (2 x + 7) 5 dx = ∫ ⋅ (2 x + 7) 5 d (2 x + 7) = ⋅3. f′(x) = (2x)′ = 2x ln2 = f(x) ln2, значит, функция f(x) = 2x является решением дифференциального уравнения y′ = y ln2.Вариант 2ПС–19−4 51.9+4 5+9+4 59−4 5(9 − 4 5 ) + (9 + 4 5 )(9 + 4 5 )(9 − 4 5 )2=2=81 − 72 5 + 80 + 81 + 72 5 + 80= 322 .81 − 802.

Пусть рабочий изготовил x деталей, тогда по плану он должен былизготовить 0,6x деталей, следовательно, рабочий перевыполнил планx − 0,6 x22на⋅ 100% = ⋅ 100% = 66 % .0,6 x33=ПС–21. Пусть путь равен S км, тогда поезд тратил S 75 ч на этот путь доувеличения скорости, а стал тратить S 80 ч после увеличения скорости, следовательно, время затрачиваемое поездом на один и тот жеSпуть уменьшилось на75S−S7580 ⋅ 100% = 5 ⋅ 100% = 6, 25%802. Уравнение прямой имеет вид y = kx + b, у параллельных прямых коэффициент k при x совпадают, значит, искомая прямая имеет видy = b – 0,5x.

Подставим точку M(–1; 3) в это уравнение: 3=b+0,5; b=2,5,следовательно, искомая прямая y = 2,5 – 0,5x.ПС–3a 4 − b4a3 − a 2b + ab 2 − b31.=:224a − 2a + b − b2a − b( a − b)(a + b)(a 2 + b 2 )2a − b=⋅ 2=(2a − b)(2a + b) − (2a − b) a (a − b) + b 2 ( a − b)=a+b( a − b)(a + b)(a 2 + b 2 )(2a − b).=( 2a − b)(2a + b − 1)(a 2 + b 2 )(a − b) 2a + b − 1912.xx518518+=;++= 0;3 − x x + 3 x 2 − 9 3 − x x + 3 (3 − x)(3 + x)8 ± 14;2x1 = 11 или x2 = –3, но при x2 = –3 знаменатель исходного уравненияобращается в ноль, значит, x = 11.

Ответ: 11.ПС–41. Найдем точки пересечения данной параболы y = 3x2 + 2x + 1 с осьюабсцисс, для этого решим уравнение 3x2 + 2x + 1 = 0; D=4 – 12=–8 < 0,значит, данная парабола не имеет точек пересечения с осью абсцисс.Поскольку коэффициент при x2 в уравнении данной параболы равен3 > 0, то ветви параболы направлены вверх и y > 0 при всех действительных x, y ≤ 0 при x ∈φ.−9 ± 32. x2 + 9x + 18 = 0; D = 81 – 72 = 32; x1,2 =; x1 = –3 или x2 = –6,22значит, x + 9x + 18 = (x + 3)(x + 6).3.

x + 1 3 ( x + 3) = 0 ; x2 + 1 3 x + 3x + 1 = 0; 3x2 + 10x + 3 = 0.5(x+3) + x(3 – x) + 18=0; x2 – 8x – 33=0; D = 64 + 132 = 142; x1,2 =()ПС–51. an=a1+(n–1)d = 5,7 + (n – 1) ⋅ 0,8 = 4,9 + 0,8n; S20 ==2a + (20 − 1)d12⋅ 20 =11, 4 + 16 − 0,8⋅ 20 = 266.2b1−4,54== −2 .1 − q 1 + 0,7573. Пусть x=14,(54), тогда 100x=1454,(54)⇒100x–x=1454,(54) – 14,(54);x 14401440599x = 1440; x =, искомая дробь 1,4(54)===1 .99010 990112. S =ПС–62 sin(π − α) + sin 2α2 sin α + 2 sin α cos α==αα2 cos α + 1 + 1222 cos α + 1 + cos+ sin221. а)=5π25π2 sin α(1 + cos α)=;= sin α ; при α = −, sin α = sin4422(cos α + 1)⎛ 3π⎞+ α ⎟ sin(π − α)tg⎜ctgα ⋅ sin α2⎠== −ctgα .б) − ⎝π3⎛⎞− sin α− α⎟cos⎜⎝ 2⎠92sin 2α + tg 2α sin 2α=+ 1 = cos 2α + 1 = 2cos2α – 1 + 1 = 2cos2α;tg 2αtg 2αcos αcos αcos α − cos α ⋅ sin α + cos α + cos α ⋅ sin α+==б)1 + sin α 1 − sin α(1 + sin α)(1 − sin α)2 cos α2 cos α2.===1 − sin 2 α cos 2 α cos αПС–77 x − 3x7 x + 3x1.

а) sin7x = sin3x; sin7x – sin3x = 0; 2 sincos= 0;22sin2x cos5x = 0; sin2x = 0; 2x = πn; x = πn 2 , n ∈ Z или cos5x = 0; 5x2. а)= π 2 + πk; x = π 10 + πk 5 , k ∈ Z. Ответ: πn 2 ; π 10 + πk 5 , n ∈ Z.б) tgx + 3ctgx=4; tgx=t, тогда t + 3 t – 4 = 0; t2 – 4t + 3=0; D=16 – 12=22;4±2; t1 = 3, tgx = 3; x = arctg3 + πn, n ∈ Z или t2 = 1, tgx = 1;2x = π 4 + πk, k ∈ Z. Ответ: arctg 3 + πn; π 4 + πn, n ∈ Z.1ππππ2. а) cos2x > ; − + 2πn < 2x < + 2πn; − + πn < x < + πn;23366x ∈ (− π 6 + πn; π 6 + πn) , n ∈ Z;t1,2 =π⎞1ππ π5ππ⎛б)tg ⎜ x + ⎟ ≤; − + πk < x + ≤ + πk ; −+ πk < x ≤ − + πk ;3236663⎝⎠x ∈ (− 5π 6 + πk ; − π 6 + πk ) , k ∈ Z.ПС–8⎧3 − x ≥ 0 ⎧ x ≤ 31.а) функция y = 3 − x + log0,5x определена при: ⎨; ⎨, т.е.⎩x > 0⎩x > 0при x ∈ (0; 3]; б) функция y = cos x определена при cosx ≥ 0, т.е.

при:x ∈ [− π + 2πn; π + 2πn] , n ∈ Z.222. а) f(–x) = 3(–x)7 – (–x)3 = –3x7 + x3 = –f(x) — нечетная;б) f(–x) = –xctg(–x) + x4 = xctgx + x4 = f(x) — четная;в) f(–x) = ctg(–x – 2) = –ctg(x + 2) ≠ ±f(x) — ни четная, ни нечетная.3.93ПС–9а) f(x) = − 2 x ;D(x) = (–∞; 0) ∪ (0; +∞);E(y) = (–∞; 0) ∪ (0; +∞); функция возрастает всюду на D(x), экстремумы отсутствуют;б) f(x) = 9 – x2;D(x) = (–∞; +∞); E(y) = (–∞; 9];f(x) возрастает при x ∈ (–∞; 0], убываетпри x ∈ [0; +∞), максимум x = 0; y(0) = 9;в)г)в) f(x) = 2sinx – 1; D(x) = (–∞; +∞); E(y) = [–3; 1]; f(x) убывает приx ∈ π 2 + 2πn; 3π 2 + 2πn , k ∈ Z; f(x) возрастает при x ∈ − π 2 + 2πk ;()(π⎛ π⎞π⎞+ 2πk ⎟ , k ∈ Z; минимумы x = − + 2πn, n ∈ Z; f ⎜ − + 2πn ⎟ = −3 ,22⎠⎝ 2⎠π⎛π⎞+ 2πk, k ∈ Z; f ⎜ + 2πk ⎟ = 1 ;22⎝⎠г) f(x) = ln(x + 1); D(x) = (–1; + ∞); E(y) = (–∞; + ∞); f(x) возрастает всюду на D(x); экстремумов нет.максимумы x =94ПС–10+ 12)′ = 8x3 – 3 3 x 3 −1 ;1б) y′ = (xlnx)′ = lnx + x ⋅ = lnx + 1;x′7⎛ 3 x + 1 ⎞ 3( x − 2) − 3 x − 1.=−в) y′ = ⎜⎟ =( x − 2) 2( x − 2) 2⎝ x−2 ⎠2.

f′(x)=((x3+1,5x2)68)′ = 68(3x2 + 3x)(x3 + 1,5x2)67 = 204(x2 + x)(x3+1,5x2)67.3. f′(x)=(3cos3x – 2sin3x)′= –9sin3x – 6cos3x; f′′(x)=(–9sin3x – 6cos3x)′== –27cos3x + 18sin3x = –9f(x), значит, данная функция удовлетворяетдифференциальному уравнению y′′ = –9y.–++ПС–11x–531. а) x2 + 2x – 15 < 0; (x – 3)(x + 5) < 0;x ∈ (–5; 3);–+++( x + 1)( x − 3) 2x≥0б)–4–13x+4x ∈ (–∞; –4) ∪ [–1; +∞);++–+( x + 1)( x + 4)x2 + 5x + 4x≤ 0;≤8;в) 2–4–2–1( x + 2)( x + 4)x + 6x + 8x ∈ (–2; –1].′2. f′(x)= x3 − 1 3 x − 1 =3x2– 1 3 ; yкас = f(x0) + f′(x0)(x – x0) = 27 – 1 – 1 +1.