ivlev-gdz-11-2001 (Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 - 11 класса - Ивлев), страница 22

а) S = ∫ xdx − 3 = x 2 − 3 = 23 − 1 − 3 = − 3 = = 1 ;3333311б) Найдем точку пересечения: x2 – x + 2 = 0; (x + 1)(x – 2) = 0. Рассмотрим графики: y = –x2 + 4 и y = –x + 2 (наши графики мы подняли на 2),2тогда площадь между ними не изменится, но: S = ∫ (− x 2 + 4)dx −−1⎛ x3 x 2⎞2∫ (2 − x)dx = ∫ (− x +x +2)dx = ⎜⎜ − 3 + 2 +2 x ⎟⎟−1−1⎝⎠2281⎛1 1⎞= − +2+4 − ⎜ + − 2 ⎟ =11−132⎝3 2⎠2Карточка 21. Пусть P(x) и F(x) первообразные функции f(x) тогда и только тогда,когда P(x) = F(x) + C.181Доказательство: P′(x)=F(x) = f(x) в одну сторону.

В другую P′(x) = f(x),F′(x)= f(x). Пусть P(x) ≠ F(x) + C, тогда P′(x) ≠ F′(x), но P′ = F′ противоречие.x2. F(x) = –2cos2x –sin + x + C.2221 ⎞1⎞11⎛⎛3. а) S = 8 ∫ x dx = ⎜ 8 − x 4 ⎟ = 8 − ⎜ 4 − ⎟ = 4 + = 4 ;4 ⎠2⎠44⎝⎝1312π2π32π32π3б) S = ∫ 3sin xdx − ∫ (− sin x)dx = 4 ∫ sin xdx = 4(− cos x)0003=6.0Карточка 31. Правило 1. F — первообразная для f; G — для g, тогда (F + G) —первообразная для f + g. Док-во: (F + G)′ = F′ + G′ = f + g.Правило 2.

F — первообрахная для f, тогда kF — для kf, k — константа. Док-во: (RF)′ = R(F′) = kf.Правило 3. F(x) — первообразная для f(x), k и b — константы, тогда1— первообразная( F (kx + b))k′⎞⎛1⎜ ( F (kx + b) ) ⎟ = f (kx + b) .⎝k⎠92. а) ∫1396xdx = 6∫ xdx = 4 x 2x1ππ91для(kxπ2x=−ππ−21− cos 2 x2π−π2=π2b).Док-во:= 4(27 − 1) = 4 ⋅ 26 = 104 .πб) ∫ (sin x + cos x)2 dx = ∫ (1 + 2sin x cos x)dx = ∫ dx +−+−π212π∫ sin 2 xd (2 x) =−π23π−1 .2111⎛2 3 1 ⎞ 1 13. а) S = ∫ xdx − ∫ x 2 dx = ∫ ( x − x 2 )dx = ⎜ x 2 − x3 ⎟ = ;⎜32 ⎟⎠ 0 6000⎝1⎞⎛1 2 1 3⎞ ⎟1⎛⎜б) S = 2 ∫ (2 − x − x )dx = 2 ⎜ ⎜ 2 x − x − x ⎟ ⎟ = 2 .233⎠ ⎟0⎜⎝0⎠⎝12Карточка 41.

Смысл этой записи в том, что площадь этой трапеции равна:a∫ f ( x)dx .b1824418 1 92.а) ∫ ( x − 2) 2 dx = ( x − 2)3 = + = = 3 ;33 3 311π6π64dx = 2tg2 x = 2 3 .б) ∫00 cos 2 x2221⎛ 1⎞3. а) ∫ ( x + 3 − x − 1)dx = ∫ (− x + x + 2)dx = ⎜ − x3 + x 2 + 2 x ⎟ =2⎝ 3⎠−1−122−181⎛1 1⎞= − + 2 + 4 − ⎜ + − 2⎟ = 2 ;3322⎝⎠πππ2x ⎞⎛б) ∫ ⎜ 2cos + 1⎟ dx = ∫ ( cos x + 2 ) dx =(sin x + 2 x) = 2π .2⎠00⎝0Карточка 5a1. Смысл в том, что S = ∫ f ( x) dx = F (a) − F (b) — по теореме НьютонаbЛейбница.2. F′(x) = f(x).π2π2003. а) S = 2 ∫ cos xdx = 2sin x = 2 ;⎛ x3⎞S = ∫ (( − x + 9) − (2 x + 6))dx = ∫ (− x − 2 x + 3) dx = ⎜ − − x 2 + 3 x ⎟⎜ 3⎟−3−3⎝⎠1б)1212=−31 ⎞2⎛= ⎜ 3 − − 1⎟ − (9 − 9 − 9) = 10 .3 ⎠3⎝Карточка 6a1.

∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) . Смысл в том, что так можно считать опредеbленные интегралы.3333 3⎛ π⎞2. F ( x) = − cos 4 x + C ; F ⎜ − ⎟ = − + C = 0 ; C = ; F ( x) = − cos 4 x .4424 2⎝ 3⎠3.а)33352⎛1⎞22∫ (– x +2 x +3)dx = (− x 3 +x +3x) −1 = ( −9 + 9 + 9 ) − ⎜ 3 + 1 − 3 ⎟ = 9 + 3 = 10 3⎝⎠−13π2б) ∫0⎛⎞2 x⎜ 2sin + 2 ⎟ dx =2⎝⎠3π23π29π∫ ( 3 − cos x ) dx = (3x − sin x) = 2 + 1 .00183Зачет № 2Карточка 11. Число y называется корнем n-ой степени из x, если yn = x. Обозначается n x , 2 — корень 3-й степени из 8.() +(−12. 3 − 2 2)22 −1 =(1)+ 3− 2 2 =(3 − 2 2 )1 + 9 − 12 2 + 8=6.3− 2 21255; x= ;3. а) x3 =82(1+ 3 − 2 2(3 − 2 2 ))2==(3x − 1)(4 x + 3) − (3x − 1) = 0 ;б)⎧⎪4 x + 3 = 3 x − 1;⎨x ≥ 1⎪⎩33x − 1()4 x + 3 − 3x − 1 = 0 ; x = 1 ;3⎧⎪ x = −41⎨ x ≥ 1 0.

Ответ: x = .3⎪⎩32224cos x + 1 = 2sin x ; 4cos + 1 = 4sin x = 4(1 – cos x) = 4 – 4cos x;π4cos2x + 4cosx – 3 = 0; cos x + 3 2 cos x − 1 2 = 0 ; x = ± + 2πn , n ∈ Z.3в)(⎧3 y = z⎪4. ⎨ x = m ;⎪z − m = 7⎩ z ⋅ m = 18( x)n1. а)б)n)(⎧z = 3 y⎪m = x;⎨⎪z = 7 + m⎩(m − 2)(m + 9) = 0)⎧m = 2⎪z = 9⎨ x = 4 . Ответ: x = 4, y = 729.⎪ y = 729⎩Карточка 2n= x по определению;xy = n x n y . Док-во:(nxy)n= xy =( x) ( y) = (nnnnnxny)nприn = 2k x, y ≥ 0.⎛1− 2 ⎞11− 20,2 ⎜⎜ −0,3 ⎟⎟ =− 2 1− 2 =2 −12 −1⎝ 2⎠(2.=1+ 2()2 −12 −12=(1+ 22 −1()2 −1 =) = −3 + 31+ 2 2 − 2 2 +12 −1)2=3.2 −13.

а) x2 = 64; x = ±8;б)4− x=8− x = 2− x ;2+ xt= x;184x = t ; 8 – t2 = 2 – t; t2 – t – 6 = 0; (t+2)(t–3)=0;x = 3 ; x = 9. Ответ: x = 9.3sin x + 1,5 = 2cos x ; 3sinx + 3 = 4cos2x = 4(1 – sin2x);2в))(()5= 0; 8sin2x + 6sinx – 5 = 0; sin x − 1 2 sin x + 20 16 = 0 ;2π|sinx| ≤ 1; x = (–1)n 6 + πn, n ∈ Z.4sin2x+3sinx –1⎧ 1+=1 ⎧ x = 2⎪; ⎨; x = 4, y = 4.y⎪ x+ y =4 ⎩ y =2⎩4. ⎨ xКарточка 31. Это уравнение, где присутствуют радикалы.

Например,уравнение, имеющее решение,x = −2 — не имеющее решения.⎛⎞⎛⎞ ⎛⎜ 3 3− 0,5 ⎟⎜ 3 3+ 0,5 ⎟ = ⎜ 3 3⎜⎟⎜⎟ ⎜⎝⎠⎝⎠ ⎝511= 9 − 4 = − 36 .8133. а) 16x4 – 81 = 0; x4 = ; x = ± ;162( )2.2−3( )2−3x =2 —( )−43⎞ ⎛ 1⎞− 0, 25 ⎟ = ⎜ 3− 0, 25 ⎟ =⎟ ⎝ 81 ⋅ 9⎠⎠б) 3 x 2 − 11x + 10 = 8 − 2 x ; 3x2 – 11x+10=64 – 32x + 4x2; x2 – 21x + 54 = 0;(x – 3)(x – 18) = 0; x = 3 и x = 18 лежат в ОДЗ.

Ответ: x = 3 и x = 18.в) sin2x + sinxcosx = 2sin2x; –sin2x + sinxcosx = 0; sinx(–sinx+ cosx) = 0;πx = πn; x = + πk, n, k ∈ Z.4⎧ x + y = 8 ⎧ 2 x = 10⎧ x − y = 164. ⎨; ⎨; ⎨; xy == 25.9⎩ x − y = 2 ⎩ x − y = 2 ⎩ y = 2− y{Карточка 41. Два уравнения называются рациональными, если имеют одни и теже решения. Этот метод состоит в переходе к решению равносильныхуравнений.(2 + 4 x )2 − (2 − 4 x ) 2 4 − x 8 4 x8⋅==.2.14 34 3x2xx4− x(3. а) x4 < 5; x ∈ − 4 5;б)44)5 ;22x + 1 = t ; t ≥ 0; t + 20 = t ; t – t – 20 = 0; (t + 4)(t – 5) = 0; t ≥ 0;t = 4 x + 1 = 5 ; x = 624.

Ответ: x = 624.в) 3| x | + 3 = x2 – 25 = | x |2 – 25; | x | = z; 3z + 3 = z2 – 25; z2 – 3z – 28 = 0;(z – 7)(z + 4) = 0; z ≥ 0; z = 7; x = ±7.Ответ: x = ±7.185⎧( x + y ) 2 = 36;⎨2⎩( x − y ) = 42⎧ 24. ⎨ x + y = 20 ;⎩ xy = 8⎧⎪ x + y = ±6 x = 4x = −4⎨ x − y = ±2 ; y = 2 и y = −2 .⎪⎩ xy > 0Карточка 5mn1. x = n x m .

а)( 2) ( 2)2. 1−3+ 1m lx n xr−2=mr + l nx nrm⋅ 1 = 8 + 4 = 76 .999() (3. а) x6 > 16; x3 > 4 и x3 < –4; x ∈ −∞; − 3 4 ∪x 2 − x − 20 =б)m l+rl. Док-во: x n x r = x n3=xmr + l nnr.)4; +∞ ;6( x + 2)= 6 ; x ≠ –2; x2 – x – 20 = 36; x2 – x – 56 = 0;x+2(x – 8)(x + 7) = 0. Ответ: x = 8; x = –7.в) 5 − x + x − 3 = 2 ; 5 ≥ x ≥ 3; 5 − x + 2 5 − x x − 3 + x − 3 = 4 ;5 − x x − 3 = 1 ; (5 – x)(x – 3) = 1; –x2 + 5x + 3x – 15 = 1; x2–8x+16 = 0;(x – 4)2 = 0; x = 4.{{{{⎡ x+ y=5⎡ x=32⎧ 2⎧ 2⎢ x − y =1⎢ y=2; ⎢.4. ⎨ x 2 + xy = 10 ; ⎨ y − x 2 = 5 ; (xx++yy=)(±x 5− y ) = 5 ; ⎢xyx = −3+=−5+=+=yxy15(xy)25⎩⎩⎢ x − y = −1 ⎢ y = −2⎣⎣Ответ: x = ±3; y = ±2.Зачет № 3Карточка 11. Функция logax = f(x) определена при a > 0, a ≠ 1 для x > 0, гдеf(b)= logab, где a log a b = b .

logab + logac = logabc.2. f(x) = log3t (–0,5x2 + 4,5) ≥ 0; x2 ≤ 9; x ∈ (–3; 3).{3.3log 4 + log 0,5771 − log 147=1log 162 = − 7 = − log 16 = −4 .21log 2log77 2log 43 ⋅7{{⎧ 2 y −1 = 40,5 x⎧ y −1 = xx = y −1y=24. ⎨log(7 x + y ) = 2 ; ⎨⎩log 3 (7 y − 7 + y ) = 2 ; 3 y − 7 = 9 ; x = 1 .⎩ 3Ответ: y = 2, x = 1.5. log2(cosx+1)< 0, т.к.

–x2–4 < 0; cosx+1 < 1; cosx < 0; x ∈ (–π+2πn; 2πn).Карточка 21. Если a > 1, то ведем x от 0 до +∞, а y от –∞ через(1; 0) до +∞ с выпуклостью вверх; если a < 1 тоже, но симметрично относительно OX.⎧4 − x 2 ≥ 0 ⎧ x ≠ 12. y = 4 − x 2 ⋅ lg( x − 1) 2 ; ⎨; ⎨; x ∈ [–2; 1) ∪ (1; 2].⎩ x ∈ [− 2; 2]⎩x − 1 ≠ 0186log 2 51log 3 2log3 5log 23log 3lg 5=3=5= 5 2 , 10 > lg11 , то 33. Т.к. 324. lоg3(x –3)+ lоg32=lоg3(6x – 10); 2x2 – 6x + 4 = 0;x2 – 3x + 2; (x – 1)(x – 2) = 0; x = 1 не подходит,т.к. x2 – 3 < 0.

Ответ: x = 2.5. См. график.2lg 3+ 10 > 52+ lg11 .Карточка 31. монотонна, проходит через ноль в x = 1.2. См. график.133. log 5 x = 4log 5 3 − log 2 27 ; log 5 x = log 5x=4.34;334= 33 = 27 .3⎧sin x = t⎪log 0,5 y = z;⎨⎪2t − 3 z = 5⎩3t + z = −3,5⎧⎪2sin x − 3log 0,5 y = 5⎨3sin x + log y = −3,5 ;0,5⎩⎪⎧sin x = t⎪log 1 y = z⎪2;⎨ z = −2⎪1⎪t = −2⎩⎧⎪n +1 π+ πn .x = ( −1)⎨6⎪⎩ y = 45.

lg2x – 2lgx – 3 > 0; (lgx + 1)(lgx – 3) > 0; lgx ∈ (–∞; –1) ∪ (3; +∞);x ∈ (0; 110) ∪ (1000; +∞).Карточка 41. lnab = lna + lnb; elnab = elna+lnb; ab = a ⋅ b=ab.⎧ x > −443 x < 16 ; ⎪4 ; x ∈ ⎛⎜ −4; ⎞⎟ .2. log2(4–3x) < 4; 44 −− 3x > 0 ⎨ x <3⎠⎝{3. x0,5lgx = 0,01x2;⎪⎩1lg xx231= 10−2 x 2 ; 10 2lg 2 x= 10−4 lg x ;1 2lg x + 4lg x = 0 ;2lgx(lgx + 8) = 0; x = 1, x = 10–8. Ответ: x = 1; x = 10–8.⎧1 + log 2 ( x + y ) = 3 ⎧ x + y = 1⎧⎪ 1+ log 2 ( x + y )⎪⎪=84. ⎨2; ⎨ 3x − 1 = 8 ;⎨ 3x − 1 = 8log(31)log3xy−−=⎪⎩ 2⎪⎩ y⎪⎩ y2x =4− y; x = 4 − y ; y = 1, x = 3.{3(4− y ) − 1 = 8 y {11y = 111875.

log0,2x + log0,2 (x –3)+1≥ log0,2 0,8; log0,2x(x – 3) ⋅ 0,2 ≥ log0,20,8;x(x – 3) ⋅ 0,2 ≤ 0,8, но x (x – 3) ≥ 0; x ∈ (–∞; 0) ∪ (3; +∞); x(x – 3) ≤ 4;x2 – 3x – 4 ≤ 0; (x + 1)(x – 4) ≤ 0; x ∈ [–1; 4], тогда x ∈ [–1; 0] ∪ [3; 4].Карточка 5a1. а) lnlnaa= ln a − ln b ; e b = = eln a − ln b ;bb( )bб) lnab = blna; eln a = a b ; eb ln a = eln ab= ab .2. см. график.3.