ivlev-gdz-11-2001 (Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 - 11 класса - Ивлев), страница 21

Найдем точки пересечения: –x2 – 2x + 3 = 0; x2 + 2x – 3 = 0;⎛ x3⎞(x + 3)(x – 1) = 0; S = –20 + ∫ (– x − 2 x + 8) dx = −20 + ⎜⎜ − − x 2 + 8 x ⎟⎟−3⎝ 3⎠142⎛ 1⎞= −20 + ⎜ − − 1 + 8 − (9 − 9 − 24) ⎟ = −20 + 32 − = 10 .33⎝ 3⎠17412=−3( x − 2)(2 x + 5) − ( x − 2) = 0 ;4.( x − 2)()2 x + 5 − x − 2 = 0 ; x = 2;2x + 5 = x – 2; x = –7; т.к. x – 2 < 0 при x = –1. Ответ: x = 2.5. y′ = 3e3x = 3 при x = 0. Ответ: в точке с абсциссой x = 0.6. d2+h2=l2, где d — диаметр основания, h2 — высота, l — диагональd275 − h 2⋅h;d2=l2–h2=75–h2;V= πh=44π3ππ23(25–h2); при h = 5 V′ = 0, тогда= (75h − h ) ; V′= (75–3h )=44450125πVmax = π ⋅ ⋅5=.42осевогоV= πсечения.Вариант 131. 2tgx+3=tg(1,5π + x) = –ctgx; 2tgx + 3 +⎛⎝1= 0; tgx = t; 2t2 + 3t + 1 = 0;tgxπ1⎞1(t + 1) ⎜ t + ⎟ = 0; t = tgx; x = − + πn ; x = −arctg + πk , n, k ∈ Z; 0,75π224⎠является корнем этого уравнения.2.

log 4 59 − 10 x − 1 = log 4 2( x − 4) ;()⎛59 − 10 x − 1 = 2( x − 4) ;8⎞34x2–18x–10=0; (x – 5) ⎜ x − ⎟ = 0, т.к. x = не лежит в ОДЗ (4 – 4) < 0.4⎠4⎝Ответ: x = 5.3. Найдем точки пересечения линий: 5 – x2 = x + 3; x2 + x – 2 = 0;11−2−2(x – 1)(x + 2) = 0; x = 1 и x = –2. S = ∫ (5 − x 2 )dx − ∫ ( x + 3)dx =1⎛⎝11⎞⎠1= ∫ (2 − x − x 2 )dx = ⎜ 2 x − x 2 − x3 ⎟23−2−21 1⎞ ⎛8⎞⎛= ⎜ 2 − − ⎟ − ⎜ −4 − 2 + ⎟ = 4,5 .2 3⎠ ⎝3⎠⎝4 − 2x; f′(4) = –1; y = f′(x0)(x – x0) + f(x0) = –1(x – 4) = 4 – x —4. f′(x) =4уравнение касательной tgα = –1.5. См.график.6.

S = 2r2 + 4rh = 6 дм2, r — сторона основания, h — высота.V = r2h; V(r) =r 3 − 3r3r 2 − 3; V′(r) =;22V′(r) = 0 при r = 1, тогда наибольшийобъем лежит среди V(1), V(0,5), V 3 ,из этого следует, что Vmax = V(1) = 1 дм3.( )175Вариант 141. ln(2x – 3) < (ln(x + 1);3⎧⎧⎪ 2 x − 3 < x + 1 ⎪ x > 2⎛3 ⎞⎨ 2 x − 3 > 0 ; ⎨ x > −1 ; x ∈ ⎜ ; 4 ⎟ .⎝2 ⎠⎪⎩ x + 1 > 0⎪x < 4⎩2. Найдем точки пересечения линий: –x2 + 2x + 3 = 3 – x; x2 – 3x = 0;x = 0 и x = 3;3⎛3x3 ⎞27= 4,5 .S = ∫ (− x + 2 x + 3) dx − ∫ (3 − x)dx = ∫ (3x − x )dx = ⎜⎜ x 2 − ⎟⎟ =236000⎝⎠332320333. (1 – sin(x))(1 + sinx)= − sinx; 1 – sin2x= − sinx; 2sin2x – 3sinx – 2 = 0;221⎞7π⎛n +1 π(sinx – 2) ⎜ sin x + ⎟ = 0; |sinx| ≤ 1; x = (−1)является+ πn , n ∈ Z;2⎠66⎝корнем этого уравнения.6 + 3x= 2 + x ; f′(2)=4; y= f′(x0)(x – x0)+ f(x0)=4(x – 2) + 6 = 4x – 23— уравнение касательной tgα = 4.5.

4x – 16 > 6 ⋅ 2 x; 2x = t; t2 – 6t – 16 > 0; (t – 8)(t + 12) > 0, т.к. 2x > 0 для4. f′(x)=всех x, то t + 2 > 0, тогда неравенство примет вид: 2x > 8; x > 3.6. V = r2h = 8 дм3; r — длина стороны основания, h — высота.S = 4rh + 2r2; h =8 дм3r2;S=32 дм332 дм3+ 4r ; S′ = 0 при+ 2r 2 ; S′ = −rr2r = 2, тогда наше значение лежит между S(1), S(4), S(2), из чегоSmin = S(2) = 24 дм2.Вариант 15⎛ 1 ⎞−3⎜1+ x ⎟⎝ 2 ⎠1.

32 ⋅ 3−2 x>3⎛⎝1 ⎞2 ⎠32; 2 − 3 ⎜1 + x ⎟ > −4 x ; 2 − 3 − x > −4 x ;52x >1; x > .25cos(π − 2α )2sin(π − α )sin 2α2sin α2+= 2=+2πsinααcos2sin αsin( − 2α ) sin( π + α) +sin(−α )2α−cos2cos αcos α2.2=33sin 2απвыражение равно −=− 3.= 3tg2α ; при α = −cos 2α123a0−2a3. ∫ − x3d = ∫ − x3dx ; −44 аx4−2=−4 0x4а;4 аx4−2=a = 8; a = ± 8 , т.к. –2 < a < 0, то a = − 8 .176444 0x4а;a4a4 a4;−4=−=4;4424. f′(x)=2x + 4 − x(2 x)2( x + 4)2; f′(x)= 0; –x2 + 4 = 0; x = ±2; убывает на (–∞; –2] ∪∪ [2; +∞); возрастает на [–2; 2].⎧ x + 2 y = 13⎪x25.

⎨;= log 2log44⎪⎩2y −1⎧ x = 13 − 2 y⎪ 2⎨ x =2 ;⎪⎩ 2 y − 1⎧2 y = 13 − x⎪ 2;⎨ x=2⎩⎪12 − x13 − x⎧⎪y = 2⎪; т.к.⎨⎪( x + 6)( x − 4) = 0⎪⎩x < 0 не лежит в ОДЗ, тогда ответ x = 4, y = 4,5.6. l — длина бокового ребра, r — длина стороны основания, h — высота, d — половина диагонали основания; l2=h2+d2; r2=2d2l r2=2(L2–h2);1323V = r 2 h = (l 2 − h 2 )h =22(108 см2h–h3); V′ = (108 см2h–h3)=2(36–h2);33V′ = 0 при h = 6, тогда Vmax = 288 см3.Вариант 16222cos α2cos 2 α − 2sin α + 2sin 2 α⎛ 3π⎞ 2cos α+ 2cos ⎜ − α ⎟ =− 2sin α ==1.1 − sin α1 − sin α⎝ 2⎠ 1 − sin α2(1 − sin α)= 2 . Выражение не имеет смысла при sinα = 1, тогда, на1 − sin απпример при a = ; 2,5π .2=2.

32x + 3x – 6 > 0; 3x = t; t2 + t – 6 > 0; (t – 2)(t+3) > 0, т.к. t > 0, то 3x > 2,x > log32.x = −1 ; 0 или3. log 32 (2 − x ) = 1 ; log 3 (2 − x ) = 1 ; 2 − x = 3 ;log (2 − x ) = −1 ; 2 − x =31;3x=52525; x=. Ответ: x =.3994. Найдем точки пересечения: –0,5x2+2 = 2 – x;2⎛222⎞x⎛ 1⎞S = ∫ ⎜⎜ − + 2 ⎟⎟ dx − ∫ ( 2 − x ) dx = ∫ ⎜ − x 2 + x ⎟ dx =22⎝⎠0⎝00⎠1 2x – x = 0; x = 0; x = 2;22⎛ 1 3 1 2⎞⎜− x + x ⎟ =2 ⎠⎝ 608 4 12 8 4 2=− + = − = = .6 2 6 6 6 31e⎛⎝5. y′ = 2lnx + 2; y′ = 0 при x = 1 ; при x ∈ ⎜ 0;1⎤1 y убывает, приe ⎦⎥1⎡1⎞x ∈ ⎢ ; +∞ ⎟ y возрастает, тогда x = — точка минимума.e⎣e⎠17713166. V = hr 2 ; h2 + d2 = 48 см2; d2 = 2r2; V = (48 см 2 h − h3 ) ;1612V′ = (48 см 2 − 3h 2 ) = (16 − h 2 ) ; V′=0 при h=4 см; Vmax=V(4) = 211см3.3Вариант 17cos2α1.=2sin 2α2sin 2αsin 2 2α+= cos 2α += cos 2α +=cos α sin αcos 2αctgα − tgα−sin α cos αcos 2 2α + sin 2 2α1π=, при α = выражение равноcos 2αcos 2α82.2.

x 2 − 9 = 0 ; x = ±3 или log20,5x = 0; x = 2; т.к. при x = –3; 2 0,5x < 0.Ответ: x = 3 и x = 2.3. f′(x) = 4e–x – 4xe–x = 4e–x(1 – x); f′(x) = 0 при x = 1; возрастает приx ∈ (–∞; 1], убывает x ∈ [1; +∞), x = 1 — максимум.4. Найдем точки пересечения: x2 + 2x + 5 = 5 – 2x; x(x + 4) = 0;=S⎛ x3⎞− ∫ (5 − 2 x)dx + ∫ ( x + 2 x + 5)dx = − ∫ (− x − 4 x)dx = ⎜ + 2 x 2 ⎟⎜ 3⎟000⎝⎠−4−4−42−42=064 32= 32 − =;33⎧2 x − y = 19⎧2 x − 1 = 18 + y ⎧ y 2 − 3 y − 54 = 0 ⎧( y − 9)( y + 6) = 0,⎪⎪⎪⎪; ⎨ 19 + y; ⎨ 19 + y5.

⎨log 2 x − 1 = log 1 ; ⎨18 + y = 1x=,=x2299⎪⎩⎪⎩⎪⎩3 ⎪⎩ y3y22т.к. y = –6 не лежит в ОДЗ (y > 0), то y = 9, x = 14. Ответ: (14; 9).6. r — половина радиуса описанной окружности.S = 3 3r 2 ; V = 3r 2 h ; r2 + h2 = 36 дм2; V(h) = 3(36 дм 2 h − h3 ) ;V′ = 3 3(12 − h2 ) ; V′ = 0 при h = 12 дм; h — точка максимума V(h);V( 12 ) дм = 3 ( 72)3 − 24 3 дм3 = 144 дм3. Ответ: 144 дм3.Вариант 18221. 3 cos x–0,5sin2x=0; 3 cos x–1⋅2⋅cosx⋅sinx=0; cosx( 3 cosx–sinx)=0;21) cosx = 0; x = π 2 + πk, k ∈ Z;2)3 cosx – sinx = 0;3 cosx = sinx; tgx = 3 ; x = π 3 + πk, k ∈ Z.Ответ: π 2 + πk, π 3 + πk, k ∈ Z; положительный корень: π 2 ;отрицательный корень: − π 2 .17813 − x 2 + 1 = x 2 ;2.13 − x 2 = x 2 − 1 ; 13 – x2 ≥ 0, т.е.

x2 ≤ 13, т.е.2− 13 ≤ x ≤ 13 ; x – 1 ≥ 0, т.е. x2 ≥ 1, те. x ≥ 1 и x ≤ –1, тогда 13 – x2 ==x4 – 2x2 + 1; x4 – x2 – 12 = 0; D=b2–4ac=1–4 ⋅ 1 ⋅ (–12) = 1 + 48 = 49 = 72;x2 =−b ± D 1 ± 7;=2a21) x2 = 4; 2) x2 = –3 — уравнение не имеет корней, т.к. − 13 ≤ x ≤ –1 и1 ≤ x ≤ 13 , то x = ±2 является корнем уравнения. Ответ: x = 2; x = –2.3. y = –0,5x2 + 2x; y = 0,5x. Найдем точки пересечения двух линий:1 2 31x − x = 0 ; x( x − 3) = 0 ;2220,5x = –0,5x2 + 2x;1) x = 0; y = 0; 2)x = 3; y =33; точки пересечения линий: (0; 0); (3; 3 2 ) .23311 1 ⎞⎛ 1 1S = ∫ (−0,5 x + 2 x)dx − ∫ 0,5 xdx = ⎜ − ⋅ x3 + 2 x 2 − ⋅ x 2 ⎟ =2322 2 ⎠⎝00203= (− 1 6 x3 + 3 4 x 2 ) = − 9 2 + 27 4 = 9 4 .04.

ОДЗ: x + 2y > 0.⎧31+ log3 ( x + 2 y ) = 6 x ⎧ log3 ( x + 2 y )⎪⎪= 3 ⋅ 2 x ⎧ x + 2 y = 2 x ⎧2 y = x1; ⎨3x⋅23− 2 y; ⎨ 2; ⎨ 2;⎨ 2xxx −2 y⎩x − 2 y = x ⎩x − x − 2 y = 02332=⋅⎪⎩=9⎩⎪34y2 – 2y – 2y = 0, тогда 4y(y – 1) = 0, т.е. y = 0 и y = 1, а x = 0 и x = 2 соответственно. Т.к. x+2y > 0, то решением системы является: x=2; y = 1.Ответ: x = 2; y = 1.5.

log2(x – 1) + log2(x – 3) < 3; ОДЗ: x – 1 > 0, т.е. x > 1; x – 3 > 0, т.е.log ( x −1) + log ( x − 3)2x > 3; 2 2< 23 ; (x–1)(x–3) < 8; x2–4x+3–8 < 0; x2 – 4x – 5 < 0;(x+1)(x – 5) < 0, т.е. –1 < x < 5. Учитывая ОДЗ, получим ответ 3 < x< 5.Ответ: 3 < x < 5.6. Объем правильной четырехугольной призмы: V = a2 ⋅ H = 144 м3, от-сюда H =144a2м. Площадь основания: Sосн = a2 м2. Площадь боковойчасти призмы Sбок = 4a ⋅ H м2.

Стоимость облицовки:A=15 ⋅ 4 ⋅ a ⋅144a2+ 20 ⋅ a2, тогда a3=216 м3= 63 м3, т.е. a = 6 м, а H = 4 м.Вариант 192π32π3001. S = ∫ sin xdx = − cos x=13+1 = .221792cos α − sin 2α2cos α (1 − sin α )== 2cos α . Выражение равно – 1221 − sin αsin α − sin α + cos α2πпри α =+ 2πk , k ∈ Z.3⎛ 1⎞3. ln2x – lnx2 = 2; lnx = t; 4t2 – 2t – 2 = 0; (t – 1) ⎜ t + ⎟ = 0; x = e;⎝ 2⎠2.121.e14. f(x)= − x3 + x 2 ; f′(x)= –x2+2x; f′(x) = 0 при x = 0, x = 2, тогда (–∞; 0] ∪3∪ [2; +∞) функция убывает, на [0; 2] возрастает, тогда xmin = 0; xmax = 2.x =e−=5. Пусть x1 абсцисса точки касания 0,5x2 и искомой касательной, x2 со12ответственно –0,5x2 – 1. Тогда y = ax + b касательная и ax1 + b = x12 ,12ax2 + b = − x22 − 1 , a = x1; a = –x2 (т.к.

(0,5x2)′ = (ax + b)2 и (–0,5x2 – 1)′ == (ax + b)′), тогда составим систему уравнений и решим ее:⎧ax + b = 0,5 x 2⎧a 2 + b = 1 a 21⎪ 122⎧a = 1⎪ax + b = −0,5 x − 1 ⎪ 22; ⎨−a + b = − 1 2 a 2 − 1 ; ⎨b = − 1 , тогда y = x – 1 2 .⎨ 22⎩⎪ x1 = a⎪ x = a, x = − a2⎪⎩ x2 = − a⎩ 16. V =V=3 2l h , l — сторона основания, h — высота: h2 + l2 = 48 дм2;433(48 дм 2 h − h3 ) ; V′ =(48 дм 2 − h) ; V′ = 0 при h = 4 дм, тогда44V = 32 3 дм3.()Вариант 2011. f ( x) = ln 1 3 x 2 − 2 x + 8 − x ; 13 x 2 − 2 x > 0 , т.е.

x( x − 6) > 0 , тогда3x ∈ (–∞; 0) ∪ (6; +∞); 8 – x ≥ 0, т.е. x ≤ 8,тогда x ∈ (–∞; 8].Ответ: x ∈ (–∞; 0) ∪ (6; 8].2. См. график.1π⎞π⎞⎛⎛3. 2sin ⎜ 2 x − ⎟ + 1 ≥ 0; sin ⎜ 2 x − ⎟ ≥ − ;3⎠3⎠2⎝⎝ππ 7π− + 2πk ≤ 2 x − ≤+ 2πk , k ∈ Z;63 6180π + 2πk ≤ 2 x ≤ 3π + 2πk , k ∈ Z; π + πk ≤ x ≤ 3π + πk , k ∈ Z.62124Ответ: ⎡⎣ π 12 + πk ; 3π 4 + πk ⎤⎦ , k ∈ Z.34. f(x) = 2x + ; F(x) = x2 + 3ln| x | + C; ОДЗ x ≠ 0.xОтвет: x2 + 3lnx + C1, если x > 0, x2 + 3ln(–x) + C2, если x < 0.15. log4(3x – 4) – log4(5 – x2) =21log (3 x − 4) − log (5 − x )3x − 44; 4 4= 42 ;= 2 , т.е.225− x()3x – 4 = 10 – 2x2, т.е.

2x2 + 3x – 14 = 0; (x – 2) x + 7 2 = 0;()⎛4⎞ОДЗ: 1) 3x – 4 > 0, т.е. x ∈ ⎜ ; +∞ ⎟ ; 2) 5 – x2 > 0, т.е. x ∈ − 5; 5 .3⎝⎠Учитывая ОДЗ, решением уравнения является x = 2. Ответ: x = 2.3 23a h ; 12a + 6h = 36 см2; h = 6 см– 2a; V(a) =(3a 2 − a 3 ) ;6. V =423V′ =(6a − 3a 2 ) ; V′ = 0 при a = 0 см и a = 2 см; при a = 0 минимум2V: V = 0, тогда при a = 2 см максимум. Ответ: a = 2 см.КАРТОЧКИ–ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ЗАЧЕТОВЗачет № 1Карточка 11. Первообразная функции — такая функция, производная которойравна искомой функции.⎛π⎞2. F(x)= –cosx+2sinx+C; F ⎜ ⎟ = 2 + e = 0; C = –2; F(x) = 2sinx – cosx – 2⎝2⎠34()42214523.