ivlev-gdz-11-2001 (Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 - 11 класса - Ивлев), страница 20

–2x2 – 5 < 0 для всех x, то 2cosx + 1 ≥ 0; cosx ≥ − ;x ∈ [− 2π + 2πn; 2π + 2πn] .33166ПРИМЕРНЫЕ ВАРИАНТЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ РАБОТВариант 11. 1) 5 – 5sinx = 2(1 – sin2x); 3 – 5sinx + 2sin2x = 0;⎛π3⎞(sinx – 1) ⎜ sin x − ⎟ = 0 ; n ∈ Z, x = + 2πn ;2⎠2⎝2) промежутку [π; 5π] принадлежат3π 9π,.222. log2(1 – x) + log2(–5x – 2) = log24 + log23; (1 – x)(–5x – 2) = 12;5x2 + 2x – 5x – 2 = 12; 5x2 – 3x – 14 = 0; (x – 2) x + 7 5 = 0, т.к. 1 – 2 < 0.()Ответ: x = − 7 5 .3.7 − x2≤ 0 ; x ∈ (–3; − 7 ] ∪ [ 7 ; +∞).x+3[–3+––− 7724.

Найдем точки пересечения 5x — 5 = 0, x = ±1;⎛x3 ⎞S = S1 – S2 = ∫ (5 – 2 x )dx − ∫ 3 x dx = ∫ (5 – 5 x )dx = 5 ⎜⎜ x − ⎟⎟3⎠−1−1−1⎝1⎛{12121 ⎞⎞1 ⎛1210=−12= 5 ⎜1 − − ⎜ −1 + ⎟ ⎟ = 10 − = 6 .3 ⎠⎠33⎝ 3 ⎝2⎧(−3; 3); n ∈ Z; x ∈ [0; 3).5. ⎨9 − x > 0 ; xx ∈∈ [2πn; π + 2πn]sinx>0⎩x ⎛ x − 3 ⎞ 1 x22( x 2 − 3x) + x 23x2 − 6 xx2 − 2 x; y′ = 0 при===6. y′ = ⎜⎟+2⎝ 3 ⎠ 3 412124x=0 и x=2, на x∈(2; 6], f(x) — возрастает, следовательно: fmax= f(6)=10.Вариант 21. (sinx – cosx)2 = 1+sinx; sin2x – sin2x + cos2x = 1 + sinx; sin2x + sinx = 0;sinx(cosx + 1) = 0; x = πn; x = ±2π+ 2πk , n, k ∈ Z.3−2π⎛π ⎞− cos ⎜ x ⎟ ; y′(1) = –2; уравнение касательной имеет вид:3 − 2x 2⎝2 ⎠2. y′ =y = y′(x0)(x – x0) + y(x0); y = –2(x – 1) + (–1) = –2x + 1.23.x −5≥ 0 ; x ∈ (–∞; − 5 ] ∪ [ 5 ; 3)3− x1⎛⎝2⎞⎠− 5531224824.

S = ∫ (2 − 2 x 2 )dx = ⎜ 2 x − x3 ⎟ = 2 − + 2 − = 4 − = = 2 .3333 33−1−11675.y′ = −6.2x ⎛ x + 3 ⎞⎜⎟;3 ⎝ 2 ⎠y′ = −2⎛ x( x + 3) x 2 ⎞2x ⎛ x + 3 ⎞ 3 x−⋅=−+ ⎟=⎜⎜⎜⎟3 ⎝ 2 ⎠ 2 322 ⎟⎠⎝⎛ 3x2 + 6 x ⎞6⎟⎟ ; y′ = 0 при x = 0 и x = − ; ymin = y(3) = 0.105⎝⎠= − ⎜⎜Вариант 31. 3sin2x – 2cos2x=2; sinx cosx – 2(2cos2x – 1) = 2; –4cos2x + 6sinx cosx = 0;cosx(6sinx – 4cosx) = 0; cosx = 0; 6sinx – 4cosx = 0; x =π2+ πn ; tgx = ;23n ∈ Z; x = arctg 2 3 + πn, n ∈ Z.2.

4(2 + 3 )–1 + (2 + 3 )n = 15; 4 + (2 + 3 )3 = 15(2 + 3 );4 + 8 + 3 ⋅ 4 3 + 3 ⋅ 3 ⋅ 2 + 3 3 = 30 + 15 3 ; 15 3 + 30 = 30 + 15 3 .Да, является.1⎧⎪4 x − y = 23. ⎨;1⎪92 x ⋅ 32 y =81⎩1⎧⎪ y = 4x − 2⎨ 2 x 8 x −1 1 ;⎪9 ⋅ 3=81⎩1⎧⎪ y = 4x − 213⎨ 12 x 1 ; 12x = –3; x = − ; y = − .42⎪3 =27⎩4. (x + 2) 9 − x 2 ≤ 0 ; x ∈ [–3; –2] ∪ [3].[–2+–2–3]325. Найдем точки пересечения: –0,5x +x+1,5=0,5x+0,5; 0,5x –0,5x–1 = 0;x2 – x – 2 = 0; (x + 1)(x – 2) = 0.222−1−1S = ∫ ( −0,5 x 2 + x + 1,5)dx − ∫ (0,5 x + 0,5)dx = ∫ (−0,5 x 2 + 0,5 x + 1)dx =−1⎛ x3 x 2⎞= ⎜− ++ x⎟⎜ 6⎟4⎝⎠2−186 17 91⎛1 1 ⎞= − + 1 + 2 − ⎜ + − 1⎟ = 4 − − = 4 − = = 2 .66444444⎝⎠6.

Пусть одно x, тогда второе 2x, 3–е y. S=x2+4x2+y; 3x+y=28; y=28–3x;S = 5x2 + (28 – 3x)2; S′ = 10x + 2(28 – 3x) ⋅ (–3) = 10x + (56 – 6x) ⋅ (–3) == 28x – 56 ⋅ 3 = 0; x = 6, тогда y = 10.Ответ: 6, 12, 10.168Вариант 41. 2cos2x = 1 – sinx; 2(1 – sin2x) = 1 – sinx; 2 – 2sin2x = 1 – sinx;⎛⎝1⎞2sin2x – sinx – 1 = 0; (sinx – 1) ⎜ sin x + ⎟ = 0 ;2x=⎠x=π+ πn ;2π(−1) k +1 + πk , n, k ∈ Z.6111(a 2 + 2)2 − (a 2 − 2)2 a 2 12.==a.1616 21⎧⎪x= .⎨2⎪⎩ y = 2lg(2 x + 0,5)1⎞1⎛≤ 0 ; lg(x2 + 1) > 0 при x ≠ 0; lg ⎜ 2 x + ⎟ ≤ 0 ; 2 x + ≥ 0 ;4.2⎠2lg( x 2 + 1)⎝⎧ y= 103. ⎨3y −+22=x log;2x3⎩2x ≤⎧3 y − 12 x = 10 ⎧ 20 x = 10; ⎨ y = log 18 x ;⎨ y3⎩⎩3 = 18 x111⎡ 1 ⎞ ⎛ 1⎤; x ≥ − ; x ≤ ; x ∈ ⎢ − ; 0 ⎟ ∪ ⎜ 0; ⎥ .244⎣ 4 ⎠ ⎝ 4⎦2222 ⎞⎛⎛5.

S = ∫ 2 xdx − ∫ 2 dx = ∫ ⎜ 2 x − 2 ⎟ dx = ⎜ x 2 +xx⎠⎝111⎝222⎞⎟ = 4 + 1 − (3) = 2 .x⎠16. Очевидно (из соображений симметрии), что стороны прямоугольника симметричны относительно OY, тогда:2⎛ 1⎞S = 2x ⋅ ⎜ − x 2 + 4 ⎟ = 8 x − x3 ; S′ = 8 – 2x2; S′ = 0; 8 = 2x2; x = ±2, т.е.33⎝⎠прямоугольник с вершинами (2, 0), (—2, 0), (–2, f(–2)), (2, f(2)).Вариант 5335π1. sin2x – cos2x =; –cos2x =; 2 x = ± + 2πn , n ∈ Z;226x=±5π+ πn , n ∈ Z.122.

x + 2 = 2 x 2 + 6 x + 1 ; x2 + 4x + 4 ==2x2 + 6x + 1; x2 + 2x – 3 = 0;(x + 3)(x – 1) = 0, т.к. при x=–3 2x2 + 6x + 1 < 0.Ответ: x = 1.3. y = 2x3 –1,5x4; y′ = 6x2 – 6x3 = 6(1 – x)x2;y′ = 0 при x = 0, x = 1; функция возрастает на(–∞; 1); убывает на (1; +∞); xmax = 1, ymax = 0,5.169⎛ x 1⎞lg ⎜ + ⎟⎝ 2 4 ⎠ ≥ 0 , x ≠ 0; lg4.logx2 + 10,3(+ + –[x–2 –1 2); 0≤x 11 x 3+ ≤1 ; − < ≤ ;2 44 2 413⎛ 1 ⎞ ⎛ 3⎤− < x ≤ ; x ∈ ⎜ − ; 0 ⎟ ∪ ⎜ 0; ⎥ .22⎝ 2 ⎠ ⎝ 2⎦5. y′ = 2x + 6; y′ = 0 при x0 = –3, тогда уравнение касательной y = 1;0⎛ x3⎞6S = ∫ ( x 2 + 6 x + 10) dx − 3 = ⎜⎜ + 3 x 2 + 10 x ⎟⎟ − 3 = 9 .−3⎝ 3⎠ −36.

Пусть одна сторона x, вторая y: 2x+y=24; 2x=24–y; 2x⋅y=S; (24–y)y=S;24y – y2 = S; S′ = 24 – 2y = 0; y = 12; x = 6.Вариант 61. log7x(x + 6) = 1; x2 + 6x – 7 = 0; (x + 7)(x – 1) = 0, т.к. x = –2 < 0, топри x = 1.2. (x – 5) x 2 − 9 ≥ 0; x ≥ 5 и x = ±3 .][–335( 7 + 1)( 7 + 1) (3 − 7 ) = 7 − 3 ;) − 4 = − 12 ; 2 −24 − ( 7 + 1) ( 3 − 7 ) = 2 7 − 6 ; 4 − ( 8 + 2 7 )( 3 − 7 ) = 2 7 − 6 ;2(3. 3 − 72−124 – 24 – 6 7 + 8 7 – 14 = 2 7 – 6; 2 7 – 6 = 2 7 – 6 — да, является.2π3π⎞⎛⎝π⎞⎛⎝2π34.

∫ 3cos ⎜ x − ⎟ dx = 3sin ⎜ x − ⎟6605. y′ = 3 −⎠⎠0⎛ 1⎞ 9= 3⎜1 + ⎟ = .⎝ 2⎠ 22x; y′ = 0; x = ±3; возрастает на [–3; 3]; убывает на (–∞; –3] ∪3[3; +∞); xmin = –3; xmax = 3.6. Пусть x и y — стороны.S = xy = 5,76 Га2=57600 м2; 2x + 2y = L— длина изгороди; 2 x +L′ = 2 −2 ⋅ 57600 м 2x2=0;2 ⋅ 57600 м 2=L;xx2x = 2,4.Это квадрат со стороной 2,4.170=5,76;Вариант 71. 6 – 10cos2x + 4(2cos2x – 1) = 2sinxcosx; 2 – 2cos2x = 2sinxcosx;1 – cos2x = sinxcosx; sin2x – sinxcosx = sinx(sinx – cosx) = 0; x = πn;x = π 4 +πn, n ∈ Z; x = πn; π 4 +πn, n ∈ Z.⎧3 + y2⎪⎪ x =22. ⎨;3+ y 2⎪ 2 +1 3( y −1)3⋅3=3⎪⎩32⎧3+ y⎪x =;⎨2⎪⎩2 + 3 + y 2 + 6 y − 6 = 62⎧3+ y⎪x =;⎨2⎪⎩ y 2 + 6 y − 7 = 0(y – 1)(y + 7) = 0; y1= 1; x1= 2; y2= –7; x2= 26.x ( x − 1)2≤ 2 ; x(x – 1) ≤ 6; x – x – 6 ≤ 0; x ∈ [–2; 3], т.к. x – 1 > 0, то33.x ∈ (1; 3].134.

y′ = −1=0;xx = 3 ; x = 9; убывает; x ∈ (0; 9].25. x2 + 3 = 2x2 – x + 1; x2 – x – 2 = 0; (x + 1)(x – 2) = 0; S = ∫ ( x 2 + 3)dx −−112−1−1⎛ x3 x 2⎞++ 2x ⎟⎟2⎝ 3⎠28= 2+4− −3– ∫ (2 x 2 − x + 1)dx = ∫ (− x 2 + x + 2)dx = ⎜⎜ −()−1– 1 3 + 1 2 − 2 = 6 − 8 3 + 2 − 5 6 = 48 6 − 5 6 − 16 6 = 27 6 = 9 2 = 4 1 2 .6. l2(x) = x2 + (1 – x2)2 = x2 + 1 – 2x2 + x4 = x4 – x2 + 1; (l2)′ = 4x3 – 2x =1 ⎞⎛1 ⎞1 1 3⎛22⎛ 1 ⎞= 4⎜x−⎟⎜ x +⎟ x = 0 ; l (0) = 1; l ⎜⎟ = 2 + 4 = 4 , т.е.

точки с422⎝⎠⎝⎠⎝⎠абсциссой x = ±11и ординатой y = ±.22Вариант 81. В ответе ошибка.2,5x + x2 > 0; x(2,5 + x) >0; x ∈ (–∞; –2,5) ∪ (0; +∞).4cos 2 x − sin 2 x cos x − 3sin x2.+=− cos 2 xcos x + sin x=4cos 2 x + 4cos 2 x sin x − sin 2 x cos x − sin x sin 2 x − cos x cos 2 x + 3sin x cos 2 x=− cos 2 x(cos x + sin x)3=22234cos x + 4cos x sin x − 2sin x cos x − 2sin x cos x − cos x +− cos 2 x (cos x + sin x)+cos x sin 2 x − 3cos 2 x sin x +3cos x sin 2 x 3cos3 x − cos2 x sin x+2sin 2 x cos x==− cos 2 x(cos x + sin x)− cos 2 x(cos x +sin x)171=222cos x(3(1 − sin x)+ cos x sin x +2sin x) cos x(3 − sin x + cos x sin x )3==−− cos 2 x(cos x +sin x )cos 2 x− cos 2 x(cos x +sin x)при x = −πответ: –6.614 ⎞14⎛3.

x(3x– 8) = 28; 3x2 – 8x – 28 = 0; ( x + 2) ⎜ x − ⎟ = 0 ; x = , т.к. x > 0.3⎠3⎝x≤1⎧⎧ 5x − 1 ≤ 21⎪⎡1 ⎞⎧0 ≤ 5 x − 1 ≤ 4 ⎪; ⎨ x; ⎨ x ≥ ; x ∈ ⎢ ; 1⎟ .4. ⎨ 2 xx22<⎣5 ⎠⎪ x < 15⎪⎩ 2 − 12 ⋅ 2 > −23 ⎩⎩5. y′ = 2x – 4; y′(3) = 2; y = 2(x – x0) + y(2); y = 2x – 6 + 5 = 2x – 1; S = S1,3где S1 также площадь, только y=2x, y= x2 – 4x + 10. S = ∫ ( x 2 − 4 x + 9) dx −033⎛1⎞3– ∫ (2 x)dx = ∫ ( x − 6 x + 9)dx = ⎜ x3 − 3x 2 + 9 x ⎟ = 9 – 27 + 27 = 9.⎝3⎠0002π16. y′ = 1 + 2sinx; y′ = 0’ sinx = − ; x = (–1)n+1 6 + πn , n ∈ Z;2π 2 35π⎛ π⎞⎛π⎞ ⎛ 5π ⎞y⎜− ⎟= − −= − ⎜ + 3⎟ ; y⎜ ⎟= − + 3 ;y(π)=π+2; y(–π)626⎝ 6⎠⎝6⎠ ⎝ 6 ⎠=–π+2; наша точка это та, у которой | y | наибольший.

Ответ: (π; π + 2).Вариант 933⎞ ⎛ 3 ⎤⎡1. 4 – x ≥ 0; 2x + 3 ≠ 0; x ∈ [–2; 2]; x ≠ − ; x ∈ ⎢ −2; − ⎟ ∪ ⎜ − ; 2 ⎥ .2⎠ ⎝ 2 ⎦2⎣ln(6 − 2 x)−21=; y′ =; функция монотонна2. y =ln 0,3(6 − 2 x)ln 0,3 ( x − 3)ln 0,3на x ∈ (–∞; 3) и (3; +∞), но x < 3, тогда x ∈ (–∞; 3).2(2 + 3)3.=−2121+=2− 32+ 3((2 − 3 + 2 3 4 + 4 3 + 3)2+ 3)) = 26 + 13(22+ 32 − 3 + 12 2 + 312+=2+ 32− 33)2== 13 .4. Найдем точки пересечения: x4 + 3x2 – 4=0; (x2 + 4)(x2 – 1) = 0; x = ±1.111−1−1S = ∫ (4 − 3 x 2 )dx − ∫ x 4 dx = ∫ (− x 4 − 3 x 2 + 4)dx =−1⎛ 5⎞= ⎜ − − x3 + 4 x ⎟2⎝⎠1723⎛ 1⎞ ⎛1⎞ 28= ⎜ − −1+ 4⎟ − ⎜ +1− 4⎟ ==5 .−1 ⎝ 5555⎠ ⎝⎠15.

f′(x)= –sin2x + 2 cosx; f′(x)=0;2 cosx – sin2x=0; cosx( 2 – 2sinx)=0;ππcosx=0; sinx= 2 2 ; x= π 2 + πn; x = (–1)n 4 + πn. Ответ: 4 ; π 2 ; 3π 4 .26. v = v0 + at м/с; 20 м/с – gt = 0 м/с; t = 2 сек; x = x0 + v0t + gt 2 ;x = 25 м + 20 м/с –10 м/c2 ⋅ (2)2 с 2= 45 м.2Вариант 10⎛ cos⎞3⎛π⎞1. 2cosx + 4 3 sinx + 9 = 4cos ⎜ + x ⎟ = 4 ⎜⎜−sin x ⎟⎟ ;2⎝3⎠⎝ x⎠2cosx + 4 3 sinx + 9 = 2cosx – 2 3 sinx; 6 3 sinx = –9; sinx = −π3;2x = (–1)n+1 3 + πn, n ∈ Z.22.212( 2 − 1) − 1 − 2 4 − 4 2+2 − 1 − 2 5 − 5 2= −5−===1+ 2 ( 2 − 1) 22 −12 −12 −1{{2 x < 1 ; x > 1 ; x ∈ (1; 1,5).3.

2log2(3 – 2x) < 0; 33 −− 2 x > 0 x < 1,51 2x − 2 = 0 , x = ±2.22221⎛⎞ ⎛ 1⎞2 ⎛ 8⎞S = ∫ (0,5 x 2 +2)dx − ∫ x 2 dx = ∫ ⎜ 2 − x 2 dx ⎟ = ⎜ − x3 + 2 x ⎟ = ⎜ − + 4 ⎟ ⋅ 2 =266⎠ ⎝⎠ −2 ⎝⎠−2−2−2 ⎝4. Найдем точки пересечения линий1⎛ 2⎞= ⎜2⋅ ⎟⋅2 = 5 .53⎝⎠––+–32+4x2x − 8x−4x−4;= 2≥ 0 ; x∈(–3;2)∪[4; +∞).2( x + 3)( x − 2) ( x + 3)( x − 3)x + x−66. V = h ⋅ m2; h — высота, m — сторона квадрата основания.5. y =S = 4 м3⋅ h ≠ m + m2 = m2 + 4 м3hm; h =S′ = 2m –16 м3m2Vm2=4 м3m2; S = m2 +16 м3;m; S′ = 0 при m = 2 м — это точка минимума S, тогдаm = 2 м, h = 1 м— ответ.Вариант 111. cos2x–cos2x=sinx; 1–sin2x – (1 – 2sin2x) = sinx; sin2x – sinx = 0; sinx = 0;ππx = πk; sinx = 1; x = + 2πn , n, k ∈ Z; тогда ответ: 0, –π, π, 2π, .221732.

log0,4(3,5 – 5x) > 2(log0,40,2) – 1; log0,4(3,5 – 5x) > log0,40,1;3,5 − 5 x3,5 − 5 x< 1 ; 3,5–5x <0,1; 5x > 3,4; x > 0,68; 3,5–5x > 0;>0;0,10,1x < 0,7; x ∈ (0,68; 0,7).1dx133. F(x) = ∫ f ( x)dx = 4 ∫ sin 2 xd 2 x + ∫ 2 = –2cos2x – + C; − + C = 0 ;2πxx3 1F ( x) = − − 2cos 2 x .π xlog0,4( x − 3)(2 x + 7) + (3 − x) = 0 ;4.( x − 3)()2 x + 7 − x − 3 = 0 ; x = 3;2x + 7 = x – 3; x = –10, т.к. при x = –10 x – 3 < 0.

Ответ: x = 3.aa135. S = ∫ x 2 dx = x3 =003a3= 9 ; a = 27; a = 3 из соображений симметрии;3при a = –3 S = 9. Ответ: a = ±3.6. 3V = h ⋅ πr2; h — высота, r — радиус основания; h2 + r2 = l2 (l — образующая); h2 + r2 = 12; r2 = 12 – h2; 3V =2h ⋅ π(12 – h2) = 12πh –πh3;33V′ = 12π – 2πh2 = 0; h = 6 , т.е. наше значение лежит среди V(0),V( 6 ) , V ( 2 3 ) . Ответ: 5 13 π дм .3Вариант 121. 1 + 2log20,3 > log2(1,5x – 3); 1 + log20,09 > log2(1,5x – 3);x>2⎧x−3> 0 ; ⎪3,18 ; x ∈ (2; 2,12).log20,18 > log2(1,5x – 3); 1,50,18 > 1,5 x − 3 ⎨ x <{⎪⎩1,5π⎧⎧⎪ x = π − y⎪x = − y2;;⎨⎨2π⎪⎩sin 2 − y + sin y = − 2⎪⎩cos y + sin y = − 25ππ⎧⎧⎪ y = 4 + 2πn⎪x = 2 − y; ⎨; n ∈ Z.⎨3ππ 3π⎪y + =+ 2πn ⎪ x = − − 2πn24 2⎩⎩2.()⎧⎪ x = π − y2;⎨π⎪⎩sin y + 4 = −1()3.