mordkovitch-gdz-11-2001 (Алгебра и начала анализа 10-11 класс - Задачник - Мордкович), страница 14

а) ∫ e x dx = e x0−1=(1/2−1/2e);40б) ∫ е2х+1dx=−11 2x+1e241−1в) ∫ е0,25х+1dx=4e0,25x+1−4г)0−2х+2dx=−∫ е−0,5140=2e−=e3 1−;2 2e4−4=4e2−4;1 −2х+2е20− 0 ,5=−1−1=3e−г) ∫ (−2e x )dx=(−2ех)−21627. а) ∫ e0,5x −1 dx=(2e0,5x−1)11б) ∫ 3e xdx=3ex= e − 1;1−23;e=−2е+2e2.2;ee2 e3+.2215733e01628.

а) у=0; х=0; х=3; у=ех; S= ∫ exdx=ex04=e3−1;40=−г) у=0; х=−2; х=0; у=е−х; S= ∫ e−xdx=−e−x0−2б) у=0; х=0; х=4; у=е−х; S= ∫ e−xdx=−e−x1+1;e41в) у=0; х=−1; х=1; у=ех; S= ∫ exdx=ex 1− 1 =е− ;e−1010−2=−1+е2.1629. а) х=1; у=ех; у=е−х;1100S= ∫ ехdx− ∫ е−хdx=ехб) х=−1; у=−(−е−х)1011=е−1+ −1=е+ −2;ee01e100−1; у=1; S= ∫ е−хdx−1⋅1=(−е−х)x−1в) у=ех; х=2; х+2у=2 или у=−−1=−2+е;2x1+1; S= ∫ ехdx− ⋅2⋅1=ех2202200г) у=ех; х=2; х=0; у=−ех; S=2 ∫ (ех – e–x)dx = 2 ∫ ехdx = 2ex1630. а) y = ex + 4;|||-6|||-3в) y = ex0X|-2Y|0|X|04––2––4––2––|2||4=2(е2−1).X|||2г) y = ex + 2 – 3;;20Y4––2––|–3−1=е2−2;б) y = e-x + 1;Y4––2––200–-2––|4YX|||22 х1631.

а) у=х е ; у′=ех(х2+2х); возрастает: (−∞; −2)∪(0; +∞);убывает: (−2; 0); х=0 − min; х=−2− max;б) у=е2х−4х; у′=е2х−4(2х+1); возрастает: (−1/2; +∞); убывает: (–∞;1/2);х=−1/2 − min;в) у=х3ех; у′=ех (3х2+х3)=х2ех(3+х); возрастает: (−3;+∞); убывает: (–∞;−3);х=−3 − min;г) у=158x −1ex; возрастает: (1;+∞); убывает: (–∞;0)∪(0;1); х=1 − min.; у′=ехxx21632.

у=х2еx; у′=ех(х2+2х); y’ = 0 при x = 0, x= –2; y(0) = 0; y(–2) = 4/e2;а) х∈[−1; 1]; y(–1) = 1/e; y(1) = e, уmin = 0; уmax = е;б) х∈[−3; 1]; y(–3) = 9/e3; y(1) = e; уmin = 0; уmax = е;в) х∈[−3; −1]; уmin = 1/e; уmax = 4/e2;г) х∈[1; 3]; y(3) = 9e3; уmin = е; уmax = 9е3.1633. а) у=х2lnх; у′=2хlnх+х;1( )(x + 1) − ln x1ln xln x;; у′= x= 2−б) у=x +1x + x (x + 1) 2(x + 1) 2xln x − 1; у′= 2 ;ln xln xг) у=(х−5) lnх; у′=lnх+1−(5/x).в) у=1634. а) у=ехlnх; у′=ех (lnх+1/x);7в) y= x 5 lnx; y′=5ln x725+б) у=3lnx+sin2x; y′=3/x+2cos2x;51x=(5 / 7 ln x + 1) (lnx+1);7 2xx7 xxx 5г) y=2cos −5lnx; y′=−sin − .22 x11; y′= +1; y′(x0)=7+1=8;7xб) у=х3lnx; x0=е; y′=3х2lnх+х2; y′(x0)=3е2+е2=4е2;1635. а) у=lnx+x; x0=1; y′(x0)=1−2=−1;x1 − ln xв) у=х2−lnx; x0=0,5; y′=2х−г) у=ln x; x0=1; y′=xx21636.

а) у=ln(2x+2); x0=−; y′(x0)=1.1124; y ′==; y′(x0)= ;42x + 2 x +132; y′(x0)=−2;5 − 2x55в) у=ln(9−5x); x0=−2; y′=−; y′(x0)=−;199 − 5x31; y′(x0)= .г) у=−3ln(−x+4); x0=−5; y′=34−xб) у=ln(5−2х); x0=2; y′=−1637. а) f(x)=x5−lnx; a=1; f(a)=1; f′(x)=5x4−б) f(x)=ln xx2; a=1; f(a)=0; f′(x)=x − 2x ln xx41; f′(a)=4; y=4x+1−4=4x−3;x; f′(a)=1; y=х−1;159в) f(x)=−2xlnx; a=е; f(a)=−2е; f′(x)=−2lnх−2; f′(a)=−4; y=−4x−2е+4е=−4x+2е;3г) f(x)= x lnx; a=1; f(a)=0; f′(x)= x−231638. а) y = ln(x – 4);X|0–-4–||||42|2––|60в) y = ln(x + 3);||-3|4––X0–-2–||||0–-4–31639.

а) у=х+lnlnх; f′(a)=1; y=x−1.YX|||||2|64г) y = ln (x/e)Y2––23б) y = ln ex;Y4––+ (1/3) x−YX||||24|||61 111; ОДЗ: х>0; у′=1−⋅ 2 =1− ;xx1/ x xубывает: х∈(0; 1]; возрастает х∈(1; +∞); х=1 − min;б) у=х4−4lnх; ОДЗ: х>0; у′=4х3−4 4x 4 − 4=;xxвозрастает: х∈(1; +∞); убывает: х∈(0; 1]; х=1 − min;1640. у = х−lnх; у′=1 –1; y’ = 0 при x = 1; y(1) = 1;x1; е]; y (1/e) = (1/e) + 1; y(e) = e – 1; уmin = 1; уmax = е−1;eб) х∈[е; е2]; y(e2) = e2 – 2; уmin = е−1; уmax = е2−2.а) х∈[1641. а) f(x)=e2x; y=2ex−5; f′(x)=2e2x; y=2 e 2 x 0 + e 2 x 0 −x0 e 2 x 0 — общееуравнение касательной к графику y = f(x); x0=б) f(x)=ln(3x+2); y=x+7; f′(x)=x0=2 dx12б) ∫ (e5 +116033x3; y=+ln(3x0 + 2)−x0;3x + 23x0 + 23x 0 + 211; y=x+ln3− .331642.

а) ∫x=lnx21=ln2;1)dx =(ех+lnx)x211; y=2ex+e−e=2ex;2=е2+ln2−е;10,1dx=0,1ln(x+1)0 x +1в) ∫10=0,1ln2;2e2x)dx =(+2lnx)x22г) ∫ (e2x +161dx= ln(2x−1)2x12−31643. а) ∫01dx=(− ln(6−5x))55x6−+−1б) ∫1/ 2в) ∫08г) ∫11dx= ln(4x+1)44x + 1dx59− x=−ln(9−x)8521=111 11ln11− ln5= ln;222663=0−1=−120=e4e2+2ln2−.22111 11ln6+ ln11= ln;55561ln3;4= ln4.1644. а) у=0; х=1; х=е; у=б) у=0; х=3; х=−1; у=e11; S= ∫ dx=lnxx1xe1=1;3 dx11; S= ∫= ln(2x+3)2x + 3−1 2x + 3 23−1=1ln9=ln3;22в) у=0; х=е; х=е2; у=г) у=0; х=2; х=5; у=1645.

а) у=ех; у=e 222; S= ∫ dx=2lnx e =4−2=2;xee x5 dx11; S= ∫= ln(3x−5)3x − 53−3x523232=е3−ln3−е2+ln2=е3−е2+ln511; у=1; х=5; S=4⋅1− ∫ dx=4−lnxx1xв) у= x ; у==1ln10.31; х=2; х=3;xS= ∫ (e x − 1/ x ) dx=(ех−lnx)б) у=52512;3=4−ln5;1; х=4;x3421S= ∫ ( x − ) dx= x 2 −lnx)3x141=162 14− ln4− =−ln4 (в ответе задачника33 3опечатка);e1 11eг) у = – ; у=−1; х=е; S=1⋅(е−1)− ∫dx=(е−1)− lnx =е−2.1x1x x1611646.

а) f(x)=3ex+4; a=33; f′(x)=3ex+4= ; ex+4=e−1; x=−5;ee1 −6x−1313e; a=−2; f′(x)=−2e−6x−13=−2; e−6x−13=1; 6х+13=0; x=−;369в) f(x)=2e−7x+9; a=−14; f′(x)=−14 e−7x+9=−14; −7х+9=0; x= ;7г) f(x)=42 – e0,1x−4; a=0,1; f′(x)=−0,1 e0,1x−4=0,1; e0,1x−4=−1 − решений нет.б) f(x)=2+1647. а) g(x)=6−111 2x−3e ; a= 3 ; g′(x)=− e2x−3< 3 ; x — любое число;2eeб) g(x)=х+e4x−3; a=5; g′(x)=1+4e4x−3<5; е4х−3<1; x<в) g(x)=3;41 3x+511e ; a= ; g′(x)=e3x+5< ; 3х+5<−1; x<−2;3eeг) g(x)=e9x+21−х; a=8; g′(x)=9e9x+21−1<8; 9х+21<0; x<−7.311; у(а)= ; у′=е2х−1(2х+1); у′(а)=2;221 11у=2х+ − ⋅2=2х− ;2 221648.

а) у=хе2х−1; а=б) у=x2 − 1; а=2; у(а)=372x + x2 − 1; у′=; у′(а)= ;3− xeeee 3− x73 14 1= (7х−11);у= х+ −ee e eв) у=х3lnх; а=е; у(а)=е3; у′=3х2lnх+х2; у′(а)=4е2; у=4е2х+е3−4е3=4е2х−3е3;1г) у=(2х+1)е1−2х; а= ;2у(а)=2; у′=2е1−2х – 2e1−2х(2х + 1) = 4xe1–2x; у′(а)=−2; у=−2х+2+1=−2х+3.1649. а) у=2х−log3(х−1); у′=2хln2−б) у = 3−х + 2 log1 2 х; у′=−3−xln3+в) у=5х−7 log1 5 (х+1); у′=5хln5+г) у=(1621;(x − 1)ln 32;x ln(1/ 2)7;(x + 1)ln 51 х11.) +log5(х+4); у′=−( )хln7+(x + 4)ln 5771650. а) у=7хln(2х+3); у′=7хln7ln(2х+3)+б) у==log5 (3x + 2)x535(3x + 2)x ln 5−; у′=3x 5(3x + 2)x10 ln 55log5 (3x + 2)x6−5x 4 log5 (3x + 2)г) у=ln(2x − 1)3xx; у′= 2x − 11651.

а) у=logх(х+1) =x10=;в) у=x2 log1 2 (3х−1); у′=2х log1 2 (3х−1)−2⋅32 ⋅ 7x;2x + 33x 2;(3x − 1) ln 2− 3x ln 3ln(2x − 1)32x=2(2x − 1)3x−ln 3ln(2x − 1)3x.ln(x + 1);ln xln x ln(x + 1)−1ln(x + 1)xy’ = + 1 2 x=−;+(x1)lnxln xx ln 2 x2ln x2ln xб) у=logх−1х2 =; y' =−.ln(x − 1)x ln(x − 1) (x − 1)ln 2 (x − 1)1652.

а) у=е2х−3ех+х+4; у′=2е2х−3ех+1>0; ех∈(−∞; 1/2)∪(1; +∞);возрастает: х∈(−∞; ln(1/2))∪(0; +∞); убывает: х∈(ln(1/2); 0);х=ln(1/2) − max; х=0 − min;б) у=1−3х+5ех−е2х; у′=−3+5ех−2е2х>0; 2⋅е2х−5⋅ех+3<0; ех∈(1; 3/2);возрастает: х∈(0; ln(3/2)); убывает: х∈(−∞; 0)∪(ln(3/2); +∞);х=0 − min; х= ln(3/2) − max.x266 − 5x + x 2; ОДЗ: х>0; у′= −5+х>0;>0;x2xx2 – 5x + 6 > 0; возрастает: х∈(0; 2)∪(3; +∞); убывает: х∈(2; 3);х = 2 − max; x=3 − min;13б) у=ln 3 +х2+х+3; ОДЗ: х>0; у′ = − +2х+1>0; 2х2+х−3>0;xxвозрастает: х∈(1;+∞); убывает: х∈(0; 1); x=1 − min.1653.

а) у=2lnx3−5x+1; y’ = 0 при x = –1;xy(–1) = –1; y(–4) = –4 + ln 4; y(–0,5)=–(1/2) – ln2; уmin = −4+ln4; ymax = −1;б) у=х+е−х; x∈[−ln4; ln2]; у′=1−е−х; y’ = 0 при x = 0; y(0) = 1;y(–ln4) = 4 – ln4; y(ln2) = (1/2) + ln2; уmin = 1; ymax = 4−ln4.1655. а) у=4⋅23х−27⋅22х+3⋅2х+3; x∈[−2; 0]; у′=12⋅23хln2−54⋅22хln2+3⋅2х+3ln2=1654. а) у=х+ln(−х); х∈[−4; −0,5]; у′=1+1633;4б) у=33х−2⋅32х+9⋅3х−2; x∈[−1; 1]; у′=ln3(3⋅33х−4⋅32х+3х)=3х ln3(3⋅32х−4⋅3х+1);y’ = 0 при x= 0, x = –1; y(0) = 0; y(–1) = 4/27; y(1) = 12;уmin = −0; ymax = 12.=6ln2(2⋅23х−9⋅22х+4⋅2х)=6ln2⋅2х(2⋅22х−9⋅2х+4); уmax = −20; ymin = 5xx1656.

а) у= e 2 ; у′=ex02в)xу= e 3x0e2x021 2e ; y=e2x021+ e2x02(x − x 0 ) — касательная;eeх+е−е= х;22x01xxб) у=lnх; у′= ; у=+lnх0−— касательная; lnх0−1=0; х0=е; у= ;xex0x0−=0; х0=2; у=x0x1e 3 ⋅x; у′= e 3 ; у=+e33x03−x0e3x03— касательная;x0e= 0; х0 = 3; у = х;3333г) у=lnx3=3lnx; y′= ; y=x+3lnx0 − 3 — касательная;xx01−3lnx0−3=0; x0=e; y=3x.e1657. а) у=3х−4+а; у=ln(3х−4); у′=у=3;3x − 43x 03x+ln(3х0−4)−— касательная к графику y = ln(3x – 4) в3x 0 − 43x 0 − 4точке x0;535= 3; х0= ; у=3х− =3х−5; а=−1;3x 0 − 4312;2x + 32x 02x+ln(2х0+3)−у=— касательная к графику y = ln(2x + 3) в2x 0 + 32x 0 + 3б) у=2х+3+а; у=ln(2х+3); у′=точке x0;22x 0 + 3= 2; х0=−1; у=2х+2; а=−1.1658.

у=х6е−х; у′=е−х(−х6+6х5) = x5e–x(6 – x); y’ > 0 при x∈(0;6);y’< 0 при x∈(–∞;0) ∪ (6; +∞);y’ = 0 при x = 0, x = 6; х∈(а; а+7);⎧a + 7 > 0 ⎧a ≥ 0; а∈(−7; −1]∪[0; 6);; ⎨а) ⎨⎩a + 7 ≤ 6 ⎩a < 6164⎧a + 7 > 6; а∈(−1; 0);б) ⎨⎩a < 0⎧a ≥ 6; а∈(−∞; −7]∪[6; +∞);в) ⎨⎩a + 7 ≤ 0⎧a > 0− нет таких а.⎩a + 7 < 6г) ⎨2120011659. а) ∫ f (x)dx = ∫ 4 x dx + ∫ 4x 3dx =2121001xб) ∫ f (x)dx = ∫ x dx+ ∫dx=2 32x34xln 41010+x4+lnx1211660.

а) у=2х; у=3−х; у=0; х=0; S= ∫ 2 x dx + 2⋅2⋅01х21==2+ln2.311=2+;2ln 25/ 2x4 −13+16−1=+15;ln 4ln 41+(5x−x2)ln 3521⎛ 2x1⎞−x+ ⎟⎜⎜ ln 2x ⎟⎠⎝21б) у=3 ; у=5−2х; у=0; х=0; S= ∫ 3 dx + ∫ (5 − 2x)dx =0=2⎛1 ⎞; у=2х−1; х=2; S= ∫ ⎜ 2x − 1 − 2 ⎟ )dx =x ⎠x1⎝12=13422−2+ −+1−1=− ;ln 2ln 2 22 ln 2б) у===25 25911= +.−−5+1+ln 3 4 ln 3241661.

а) у==14⎛1 ⎞; у=2х−1; х=4; S= ∫ ⎜ 2x −1 −⎟ dx =x⎠x⎝11⎛ 2 x −1⎞−2 x⎟⎜⎜ ln 2⎟⎝⎠41=817−4−+2=−2.ln 2ln 2ln 21662. а) у=ех; у=e; х=е; х=0; у=0;x1e01xS= ∫ e x dx ехdx+ ∫edx=ex10+elnxe1=e−1+e=2e−1;x2⎛1 ⎞⎛1⎞б) у = ⎜ ⎟ ; у=х2+1; х=2; S= ∫ ⎜ x 2 + 1 − 3 ⎟ dx =⎝3⎠x ⎠0⎝1651 ⎞⎛⎜ x3x ⎟281⎜ + x + 3 ⎟ = +2+09ln333ln3⎜⎟⎜⎟⎝⎠=−1=ln 3= 14 −389ln 3= 2 (7−34).3ln 3Глава 8. Уравнения и неравенства.Системы уравнений и неравенств§ 55. Равносильность уравнений1663. 2х=256; х=8;а) log2х=3; да;б) х2−9х+8=0; нет;в) 3х2−24х=0; нет;г)1664. sinх=0; х=πn;а) cosx = 1; x = 2πn; нет;б) tgx = 0; x = πn; да;в) cos2x = 1; х = πn; да;г)16=2; да.xx − 1 sinx = 0; x = 1m, x = πn; нет.1665.

а) 2 x − 1 =3; х=5; 1) 5х=25; 2) x/5=1; 3) x + 4 =3;б) cosx=3; решений нет; 1) sinx=5; 2) cosx=−3; 3) sinx=−10;в) lgх2 = 4; х = ±100; 1) х2=1002; 2)311x 2 =100; 3) |х|=100;1г) x 5 =−1; x = –1; 1) x 5 =−1; 2) x 7 =−1; 3) 3 x 19 =−3.1666. а) 7 x + 3 =х ⇒ 7x + 3 = x2 (все х, удовлетворяющие первомууравнению, удовлетворяют и второму);б) log2(х−1)−log2х=0 ⇒ log2(1−(1/х))=0;в) sin(π−х)ctgх=−(1/2) ⇒ cosx = –(1/2);πг) sin( −х)tgх=0 ⇒ sinx = 0.21667. а) х37−12х2+1=0 и х37+1=12х2;перенос слагаемого из одной части уравнения в другую не изменяетравносильности;5б) x 2 − 2 x − 3 =2 и х2−2х−3=32;возведение обеих частей уравнения в нечетную степень не нарушаетравносильности;1668. а) 2 x 2 + 2 = x 4 + 3 и 2х2+2=х4+3,т.к.

подкоренные выражения всегда положительны, то возведение в квадратне нарушит равносильности;б)4166sin 2 x + 1 =1 и sin2х=0,т.к. подкоренные выражения всегда отрицательные, то возведя в 4 степеньи вычтя из обеих частей уравнения единицу получим второе уравнение,равносильны первому.x +41669. а) 3x⎛1⎞⋅⎜ ⎟ = 1 и⎝3⎠x + 4 − х = 0;x⎛1⎞⋅ ⎜ ⎟ = 1 ⇔ 3 x + 4 − x =30;⎝3⎠логарифмируя по основанию 3, получим второе уравнение;2x 1б) 0,5x ⋅ 2 x 2 = 4 и x 2 − + = 2;2 23x +40,5x ⋅ 2 x22 =4⇔2x1− + x2 +22= 22 ;логарифмируя по основанию 2, получим второе уравнение.x 2 + 3x − 1=3 и х2+3х−1=3х2+3;x2 + 1т.к.