mordkovitch-gdz-11-2001 (Алгебра и начала анализа 10-11 класс - Задачник - Мордкович), страница 13

Итого: х∈(0; ]∪[1;).999г) log1/3(−х2+1584. а) l o g 22 х>4log2х−3; ОДЗ: х>0;l o g 22 х−4log2х+3>0; log2х∈(−∞; 1)∪(3; +∞);х∈(−∞; 2)∪(8; +∞); х∈(0; 2)∪(8; +∞);б) l o g12 2 х+3 log1 2 х<−2; ОДЗ: х>0;⎧ x ∈ ( 0;4 )l o g12 2 х+3log1/2х+2<0; log1/2х∈(−2; −1); ⎨. Итого: х∈(2; 4);⎩ x ∈ ( 2;+∞ )в) l o g 24 х+log4х≤2; ОДЗ: х>0;l o g 24 +log4х−2≤0; log4х∈[−2; 1]; х∈[1; 4];162х+log0,2х−6≥0; ОДЗ: х>0; log0,2х∈(−∞; −3]∪[2; +∞);г) log 0,2⎡ x ∈ [125; +∞)⎢ x ∈ (0; 0, 04] .

Итого: х∈(0; 0,04]∪[125; +∞).⎣⎡ log 5 x ≤ −21;⎢ log 5 x ≥ −⎣221585. а) 2 log 5 х+5log5х+2≥0; ОДЗ: x>0; ⎢х∈(0;51]∪[; +∞);5252х−7log0,3х−4≤0; ОДЗ: х>0; log0,3х∈[−б) 2 log 0,3⎧10⎪ x ∈ (0;]; х∈[0,0081;⎨3⎪ x ∈ [0, 0081; +∞)⎩14810];31; 4];2в) 3 log 24 х−7log4х+2<0; ОДЗ: х>0; log4х∈(г)3 log12 3 х+5 log1 3 х−2>0;х∈(0;31; 2); х∈( 3 4 ; 16);3⎡ log1 3 x < −2ОДЗ: х>0; ⎢;⎢ log1 3 x > 1⎢⎣3⎡1⎢ x ∈ (0; 3 ) ;3⎢⎢⎣ x ∈ (9; +∞)1)∪(9; +∞).31586. а) log 22 х2−15log2х−4≤0; ОДЗ: х>0; 4 log2х−15 log2х−4≤0;log2х∈[−11; 4]; х∈[ 4 ; 16];24б) в учебнике, по-видимому, опечатка.log12 3 х2−7 log1 3 х+3≤0; ОДЗ: х>0;⎧1x ∈ (0; 4 ]3⎪⎪27 ; х∈[ 1 ;4 log12 3 х−7 log1 3 х+3≤0; log1 3 х∈[ ; 1]; ⎨431⎪x ∈ [ ; +∞)⎪⎩31427];в) log 32 х2+13log3х+3<0; ОДЗ: х<0;4 log 32 х2+13log3х+3<0; log3х∈(−3; −111); х∈(;);427 4 3г) log12 5 х2−31 log1 5 х−8<0; ОДЗ: х<0;4 log12 5 х2−31 log1 5 х−8<0; log1 5 х∈(−1; 8);41⎧⎪⎪ x ∈ (0; 4 5 )11; х∈(;).⎨439062515⎪x ∈ (; +∞)⎪⎩3906251587.

а) log3х> log372− log38; ОДЗ: х>0; log3х>2; х>9;б) 3 log1 3 х< log1 3 9+ log1 3 3; ОДЗ: х>0; log1 3 х<−1; х>3;в) log5х− log535≤ log51; ОДЗ: х>0; log5х≤1; х∈(0; 5];7г) 4log0,6х≥ log0,68+ log0,62; ОДЗ: х>0; х4≤16; х∈(0; 2].1588. а) log1 3 =+ log1 3 (4−х)>−1; ОДЗ: х∈(0; 4);log1 3 (4х−х2)> log1 3 3; 4х−х2<3; х2−4х+3>0; х∈(0; 1)∪(3;4);149б) log2(7−х)+ log2х≥1+ log23; ОДЗ: х∈(0; 7); log2(7х−х2)≥ log26; х2−7х+6≤0;х∈[1; 6];в) lg(7−х)+ lgх>1; ОДЗ: х∈(0; 7); lg(7х−х2)>1; х2−7х+10<0; х∈(2; 5);г) log1 2 х+ log1 2 (10−х)≥−1+ log1 2 4,5; ОДЗ: х∈(0; 10);log1 2 (10х−х2)≥ log1 2 9; х2−10х+9≥0; х∈(0; 1]∪[9; 10).1589. а) log7(6х−9)< log7(2х+3); ОДЗ: х>3/2;log7(6x − 96x − 9 − 2 x − 34 x − 12)<0;<0;<0;2x + 32x + 32x + 3+–3−232+ X3х∈(3/2; 3); х=2;б) log1 5 (2−х)≥ log1 5 (2х+4); ОДЗ: х∈(−2; 2); log1 5 (2−x)≥0;2x + 42 − x − 2x − 4−3x − 2≤0;≤0;2x + 42x + 4–+-2х∈[−X–2−322; 2); х=1;3в) lg(8х−16)< lg(3х+1); ОДЗ: х>2; lg(+–1−328 x − 165x − 17)<0;<0;3x + 13x + 1+ X17517); х=3;5г) log0,4(7−х)≥ log0,4(3х+6); ОДЗ: х∈(−2; 7);7−х≤3х+6; 4х≥1; х≥1/4; х=6.х∈(2;1590.

а) log12(х2−х)≤1; ОДЗ: х∈(−∞; 0)∪(1; +∞); х2−х≤12; х2−х−12≤0;х∈[−3; 4]; х∈[−3; 0)∪[1; 4). Ответ: 6 решений.б) log1 2 (х2−10х+9)≥0; ОДЗ: х∈(−∞; 1)∪(9; +∞); х2−10х+9≤1; х2−10х+8≤0;х∈[5− 17 ; 5+ 17 ]; х∈[5− 17 ;1) ∪[9; 5+ 17 ); Ответ: 0 решений.в) log9(х2−8х)≤1; ОДЗ: х∈(−∞; 0)∪(8; +∞); х2−8х≤9; х2−8х−9≤0;х∈[−1; 9]; х∈[−1; 0)∪(8; 9]. Ответ: 2 решения.г) log0,3(−х2−7х−5)<0; ОДЗ: х∈(1507−2 6 7+2 6;);22−х2−7х−5>1; х2−7х+6<0; х∈(1; 6); х∈(7−2 6 7+2 6;).22Ответ: 4 решения.121 21 2; х≠ ; 1.

х∈( ; ); 2≥1; х∈( ; );555 55 521 22. х> ; 2≤1, решений нет. Итого: х∈( ; ).55 544б) log3х+40,2>0; ОДЗ: х>− ; х≠−1; 1. х∈(− ; −1); 0,2<1 − тождество.3342. х>−1; 0,2>1 − решений нет. Итого: х∈(− ; −1);3211 2в) log2−3х5>0; ОДЗ: х< ; х≠ ; 1. х∈( ; ); 5<1 − решений нет.333 3112. х< ; 5>1 − тождество.

Итого: х< .331591. а) log5х−12≤0; ОДЗ: х>г) log5−х0,3<0; ОДЗ: х<5; х≠4; 1. х∈(4; 5); 0,3≥1 − решений нет;2. х<4; 0,3≤1 − тождество. Итого: х<4.1592. а) log2(х2+2х+4)+ log2(х−2)< log2(х3−х2+4х−3);log2(х3−8)< log2(х3−х2+4х−3); 0<х3−8<х3−х2+4х−3; х>2; х2−4х−5<0;х∈(−1; 5); х∈(2; 5);б) lg(х3−х2+20)≥ lg(х+2)+ lg(х2−2х+4); х3−х2+20≥х3+8>0;х>−2; х2+х−12≤0; х∈[−4; 3]; х∈(−2; 3].⎧log 2 (2x + 3) > log 2 (x − 2); ОДЗ: х>2;⎩log 6 (3x − 1) ≤ log 6 (9x + 4)1593. а) ⎨⎧ x > −5⎨6x ≥ −5 ; х>2;⎩1⎧log3 (6x − 1) ≤ log3 (9x + 11)⎧3x ≥ −12; ОДЗ: х∈( ; 3); ⎨;log(3−x)>log(4x−1)4⎩5x < 46⎩ 6б) ⎨1 4⎧ x ≥ −4⎨ x < 4 / 5 ; х∈( ; ).4 5⎩⎧⎪log3 x 2 > log 3 125 − log3 5; ОДЗ: х>1;⎪⎩log 0,2 (x − 1) < 01594.

а) ⎨⎧log3 x > log3 5;⎨⎩x − 1 > 1⎧x > 5; х>5;⎨⎩x > 2⎧⎪log1 2 x 2 ≥ log1 2 28 − log1 2 71 ⎧x ≤ 2; ОДЗ: х> ; ⎨;4 ⎩4 x − 1 > 1⎪⎩log3 (4x − 1) > 0б) ⎨151⎧x ≤ 21⎪1 ; х∈( ; 2].⎨x>2⎪⎩2⎧⎪log 0,1 (x 2 − 12) < log 0,1 (− x)1595. а) ⎨; ОДЗ: х∈(− 12 ; 0);⎪⎩2 x −1 > 1/ 8⎧⎪ x 2 − 12 > − x;⎨⎪⎩ x − 1 > −3⎧⎪ x 2 + x − 12 > 0, решений нет.⎨⎪⎩ x > −2⎧3x 2 −5x − 4 < 9⎪б) ⎨; ОДЗ: х>0;2⎪⎩log1 5 (x + 3) ≥ log1 5 4xх∈[1; 3].2⎪⎧ x − 5x − 6 < 0 ⎧ x ∈ (−1;6); ⎨;⎨ 2⎪⎩ x − 4x + 3 ≤ 0 ⎩ x ∈ [1;3]§ 53. Переход к новому основанию логарифма1+log49=−log23+log23=0;311б) log 3 3 2 +log3 =2+ log 3 2 + log3 =2;221596. а) log2в) log259−log53=0;г) log164 − log48 = log4(2/8) = −1.1597.

log23=а;11а) log32== ;log 2 3 aв) log34=22= ;log 2 3 a1598. log52=b;22а) log225== ;log5 2 b152б) log3111=−=− ;2log 2 3aг) log3122=−=− .4log 2 3aб) log2122=−=− ;25blog5 2в) log2125=33= ;log5 2 bг) log21599. log23=а;112a + 1(1+2log23)= (1+2а)=;33313a + 1г) log854= (3log23+1)=.33а) log49= log23=а;б) log818=в) log481=log29=2а;1600. а) log27∨ log74; log27>в) log35∨ log54;144=−=− .625log5 2b21; б) log69∨ log98;> log98;log 2 7log9 61> log54;log5 3г) log1114∨log1413;1> log1413.log14 111log25; log26 > log2 5 .2313; log1 2 3< log1 2 ;2221601. а) log26∨log45; log26∨б) log1 2 3∨ log1 4в) log96∨log37; log3 6 < log37;г) log1 3 4∨ log1 9 7; log1 3 4< log1 37.1 1+ +1)log2х=7; log2х=4; х=16;2 4б) log3х+ log 3 х+ log1 3 х=6; (1+2−1)log3х=6; log3х=3; х=27.1602.

а) log4х+ log16х+ log2х=7; (1603. а) 3 log 32 х=511+2; 3 log32 х−5log3х−2=0; log3х=− ; х= 3 ;log x 333log3х=2; х=2;б) 2 log 22 х=152+3; 2 log 22 х−5log2х−3=0; log2х=− ; х=; log2х=3; х=8.log x 2221604. а) 9log3 4 + log6б) log38⋅log227− 3log9 253 ⋅log3362log3 36=16+4=20;log3 63log 2 27=9−5=4;log 2 211=16 ;2214log 2 92 log481=4+14=18.2log 2 3в) 34log3 2 +log5 2 ⋅log425=16+г) 100,5lg16 +14log31605.

а) 5log29⋅log364+ 3log6 8 ⋅ 2log6 8 =10⋅6+8=68;153б) 24log 2 3−1 +log93+log364⋅log43=81 1+ +3=44;2 2в) 16(log945−1)log119⋅log5121=32(log95)log59=32;г) log153⋅log53 log 3 5 ⋅(1+log35)=2.1606. а)log 2 56log 2 7−=(log27+3)( log27+2)− log27(log27+5)=log 28 2 log 224 2= log 22 7+5 log27+6− log 22 7−5log27=6;б)log 3 135log3 5−= 5log3 5 + log32 5 + 6 − 5log 3 5 − log32 5 =log 45 3 log1215 3= (3 + log35)(log35 + 2) − log35(5 + log35) = 6.1607. lg2=а, lg3=b;а) log412=1+ log43=1+в) log0,53=−log23=−lg 3b;=1+lg 42alg 3b=− ;lg 2aб) log618=1+ log63=г) log1 3 24=lg 3b+1;+1=lg 6a+blg 24 3lg 2+ lg3 3a+b=.=1− lg 3−blg31608. log25=а, log23=b;log 2 15 a + b;=а) log315=log 2 3b112a + blog275= (2log25+ log23)=;3331a + 2bв) log1645= ( log25+2 log23)=;44б) log875=г) log1512=log 2 12 2 + b.=log 2 15 a + b1609.

а) lg1, log43, log27;в) log31; log54; log79;б) log30,5; lg1; log0,50,1;г) log70,6; log21; log0,20,3.1610. а) lg 0,3 ; log15 7; log12 7;2log 2 5.⎛1⎞б) log 1 1; ⎜ ⎟⎝2⎠7log 2 4; log6 7;9log 3 15.1⎧x > 0; log32 x +log3х−2=0; log3х=−2; х= ;1611. а) log3х+1=2logх3; ОДЗ : ⎨≠x19⎩log3х=1; х=3;154⎧x > 0б) 2logх5−3=−log5х; ОДЗ : ⎨; log 52 х−3log5х+2=0; log5х=2; х=25;⎩x ≠ 1log5х=1; х=5;в) log7х−1=6logх7; log 72 х− log7х−6=0; log7х=3; х=343; log7х=−2; х=1;49⎧x > 0; log 22 х−10 log2х+9=0; log2х=9; х=512;г) log2х+9logх2=10; ОДЗ : ⎨⎩x ≠ 1log2х=1; х=2.1612. а) log4(х+12)logх2=1; ОДЗ: х>0, х≠1; logх(х+12)=2; х+12=х2;х2−х−12=0; х=4; х=−3 − не подходит;б) 1+logх5log7х=log535logх5; 1+log75=logх35; х=7.x2=8; ОДЗ: х>0; (log2х+2)2+2 log2х=11;81log 22 х+6 log2х−7=0; log2х=−7; х=; log2х=1; х=2;128491 149б) log 32 х+ log 92 х+ log 227 х=; ОДЗ: x > 0; (1+ + ) log32 х=;94 993661log 32 х=; log3х=± =±2; х=9; х= .93921613.

а) log 0,54х+log21614. log (2x +1) (5 + 8x − 4x 2 ) + log (5− 2x) (1 + 4x + 4x 2 ) = 4⎧ x > −1/ 2⎪⎪ x < 5 / 2а) log(2х+1)(5+8х−4х )+2log(5−2х)(2х+1)=4; ОДЗ : ⎨;⎪x ≠ 0⎩⎪ x ≠ 22log(2х+1)(5−2х)+1+2log(5−2х)(2х+1)-4=0;22 log (5− 2x) (2х+1)−3log(5−2х)(2х+1)+1=0; log(5−2х)(2х+1)=1/2;2х+1= 5 − 2 x ; 4х2+4х+1=5−2х; 4х2+6х−4=0; 2х2+3х−2=0;х=−2 − не подходит; х=1; log(5−2х)(2х+1)=1; 2х+1=5−2х; 4х=4; х=1;2б) log3х+7(9+12х+4х2)=4−log2х+3(6х2+23х+21);3х+7=а; 2х+3=b; а>0, а≠1, b>0, b≠1; logаb2=4−logbab; 2 log a2 b−3logаb+1=0;logаb=1/2; 4х2+12х+9=3х+7; 4х2+9х+2=0; х=−1/4; х=−2 − не подходит;§ 54. Дифференцирование показательнойи логарифмической функцийlogаb=1; 3х+7=2х+3; х=−4 − не подходит. Итого: х=−1/4.1551615.

а) log9х2+ log32 (−х)<2; ОДЗ: х<0; log32 (−х)+log3(−х)−2<0;log3(−х)∈(−2; 1); −х∈(1/9; 3); х∈(−3; −1/9);б) log4х2+ log 22 (−х)>6; ОДЗ: х<0; log 22 (−х) +log2(−х)−6>0;log2(−х)∈(−∞; −3)∪(4; +∞); х∈(−∞; −4)∪(−(1/8); +∞);х∈(−∞; −4)∪ (−(1/8); 0).1616. а) f(x)=4−ex; f′(х)=−ex;в) f(x)= ex−19; f′(х)=ex;б) f(x)=13ex; f′(х)=13ex;г) f(x)=−8ex; f′(х)=−8ex.1617. а) f(x)=x3ex; f′(х)=3x2ex+x3ex; б) f(x)=в) f(x)=х2ex; f′(х)= ex(2x+x2); г) f(x)=exx3ex(x − 1); f′(х)=ex;xx2; f′(х)=ex3x 2 − x 3x61 ⎞⎛ 3= ex ⎜ 4 − 3 ⎟ .x ⎠⎝x1618.

а) у=ех+х2; х0=0; у′(х)=ех+2х; у′(х0)=1;б) у=ех(х+1); х0=−1; у′(х)=ех(х+2); у′(х0)=1/e;в) у=ех−х; х0=1; у′(х)=ех−1; у′(х0)=е−1;exxг) у=; х0=0; у′(х)=ех; у′(х0)=0.x +1(x + 1) 21619. а) у=е3х−1; х0=1/3; у′(х)=3е3х−1; у′(х0)=3;б) у=3е6+х; х0=−5; у′(х)=3ех+6; у′(х0)=3е;в) у=е4−9х; х0=4/9; y′( x) = −9e 4 −9 x ; y′( x0 ) = −9 ;г) y = e0,5 x −3 ; x0 = 4 ; у′(х)=(1/2)е0,5х−3; у′(х0)=1/2e.1620. а) f(x)=4ex+3; х0=−2; f′(х)=4ex; f′(х0)=4e2;⎛1 41 ⎞б) f(x)= 3 x ⋅ex; х0=1; f′(х)=ex+ ⎜ 3 x +⎟ ; f′(х0)=е(1+ )= е;⎜3 2 ⎟3 33 x ⎠⎝xxв) f(x)=0,1e −10х; х0=0; f′(х)=0,1e −10; f′(х0)=−9,9;г) f(x)=xexex (; х0=1; f′(х)=12 xe− x)2x1; f′(х0)= 2−1e=−1.2e1621. а) g(x)=ex+sinx; x0=0; g′(х) =ех+cosx; g′(x0)=1+1=2;1; g′(х) =−7е−7х+1; g′(x0)=−7;7в) g(x)=−ex+3cosx; x0=0; g′(х) =−ех+3sinx; g′(x0)=−1;б) g(x)=e−7x+1; x0=3г) g(x)= x 2 ex; x0=4; g′(х)=ех(33x + x 2 ); g′(x0)=е4(3+8)=11е4.21622.

а) h(x)=(1/e)x; x0=0; h′(x)=−e−x; h′(x0)=tgα=−1;156б) h(x)=е−x+2; x0=2; h′(x)=−e−x+2; h′(x0)=tgα=−1;1в) h(x)= x +х5; x0=−1; h′(x)=−e−x+5х4; h′(x0)=tgα=−е+5;eг) h(x)=х+е2x−3; x0=3/2; h′(x)=1+2e2x−3; h′(x0)=tgα=3.π;43π;б) h(x)= e − x − 3 ; x0=− 3 ; h′(x)=− e − x − 3 ; h′(x0)=−1; α=43π;в) h(x)=(1/3) e1− 3 x ; x0=1/3; h′(x)=− e1− 3 x ; h′(x0)= –1; α=41623. а) h(x)=(1/5)е5х−1; x0=0,2; h′(x)= e5x−1; h′(x0)= 1; α=г) h(x)= e(3 3)x −13e3; x0= 3 ; h′(x)=3 3 x −1; h′(x0)=3π; α= .631624. а) у=ех; а=1; у(а)=е; у′=ех; у′(а)=е; у=хе+е−е=ех;б) у=ех; а=2; у(а)=е2; у′=ех; у′(а)=е2; у=е2х−е2;в) у=ех; а=0; у(а)=1; у′(а)=1; у=х+1;г) у=ех; а=−1; у(а)=1/e; у′(а)= 1/e; у=(x/e)+2(1/e).1625. а) у=е3х−1; а=1/3; у(а)=1; у′(а)=3; у=3х+1−(1/3)⋅3=3х;б) у=хе−2х+1; а=0,5; у(а)=1/2; у′= е−2х+1−2х е−2х+1; у′(а)=1−1=0; у=1/2;2в) у= x ; а=0; у(а)=2; у′=−2е−х; у′(а)=−2; у=−2х+2;eг) у=exx; а=0; у(а)=1; у′=ех; у′(0)=0; у=1.x +1(x + 1) 241001в) ∫ 1/ 2e xdx= ex2−10−11626.