pogorelov-gdz-8-2002f (Ответы ко всем упражнениям Погорелова по геометрии от седьмого до одиннадцатого класса (Погорелов))

Домашняя работапо геометрииза 8 класск учебнику «Геометрия. 7-11 класс»А.В. Погорелов, М.: «Просвещение», 2001 г.учебно-практическоепособие3ОГЛАВЛЕНИЕ§ 6. Четырехугольники...............................................4§ 7. Теорема Пифагора..............................................36§ 8. Декартовы координаты на плоскости............68§ 9. Движение..............................................................90§ 10. Векторы ............................................................1074§ 6. Четырехугольники№ 1.На рисунках 114-116 представлены три фигуры, каждаяиз которых состоит из четырех точек и четырехпоследовательно соединяющих их отрезков.

Какая изэтих фигур является четырехугольником?Задача решена в учебнике на стр. 67 п. 50.№ 2.Постройте какой-нибудь четырехугольник PQRS.Укажите его противолежащие стороны и вершины.Противолежащие стороны: PS иQR; а также PQ и SR.Противолежащие вершины: P и R;а также Q и S.№ 3.Сколько можно построить параллелограммов свершинами в трех заданных точках, не лежащих наодной прямой? Постройте их.Можно построить три разных параллелограмма с такимсвойством:BBD2BD1AA№ 4.CACCD3Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5 м.Из точки, взятой на основании этого треугольника,проведены две прямые, параллельные боковым сторонам.Найдите периметр получившегося параллелограмма.∠ADC1.

— внешний для ∆DC1Стак что∠ADC1 = ∠DC1C + ∠C1CD∠ADC1 = ∠ADA1 + ∠A1DC1так что∠DC1C + ∠C1CD = ∠ADA1 +5+ ∠A1DC;накрест лежащие углы ∠A1DC и ∠DC1C равны. Поэтому∠C1CD=∠ADA1. Но ∠C1CD = ∠A1AD, поэтому ∠A1AD = ∠A1DA, азначит, ∆AA1D — равнобедренный и AA1 = A1D. Аналогичнодоказывается, что DC1 = C1C.PA1BC1D = 2 ⋅ ( A1 B + A1 D) = 2 ⋅ ( A1 B + AA1 ) = 2ּАВ = 2·5 м = 10 (м).Ответ: 10 м.№ 5.Расстоянияотточкипересечениядиагоналейпараллелограмма до двух его вершин равны 3 см в 4 см.Чему равны расстояния от нее до двух других вершин?Объясните ответ.По свойству диагоналей параллелограмма расстояния отточкипересечениядиагоналейпараллелограммадопротиволежащихвершинпараллелограммаравнысоответственно расстояниям до двух его вершин, то есть 3 и 4см.№ 6.Через точку пересечения диагоналей параллелограммапроведена прямая. Докажите, что отрезок ее,заключенный между параллельными сторонами, делитсяэтой точкой пополам.Задача решена в учебнике на стр.

69 п. 52.№ 7.В параллелограмме ABCD через точку пересечениядиагоналей проведена прямая, которая отсекает насторонах ВС и AD отрезки ВЕ = 2м и AF = 2,8 м.Найдите стороны ВС иAD.Рассмотрим ∆ AOF и ∆ЕСО.Точка О делит диагональАС пополам, поэтому АО=ОС.∠AOF = ∠ЕОС (каквертикальные);∠FAO = ∠ECO (как накрест лежащие).Тогда, ∆AOF = ∆ЕСО (по стороне и прилежащим к ней углам).А, значит, AF = ЕС = 2,8 м.ВС = ВЕ + ЕС = 2 м + 2,8 м = 4,8 м .Аналогично, ВЕ = FD = 2 м,AD = AF + FD = 2,8 м + 2 м = 4,8 м,6ВС = AD = 4,8 м.Ответ: 4,8 м.№ 8.У параллелограмма ABCD АВ = 10 см, ВС = 15 см. Чемуравны стороны AD и CD? Объяснитеответ.AB=CD и BC=AD по свойствупротиволежащихсторонпараллелограмма.

Поэтому AD=15 сми CD=10 см.Ответ: 10 см; 15 см.№ 9.У параллелограмма ABCD ∠А = 30°. Чему равны углыВ, С, D? Объясните ответ.∠А и ∠В —односторонние углы припересечениипараллельных ВС и ADсекущей АВ, поэтому∠А + ∠В = 180°, откуда ∠В = 180° - 30° = 150°. ∠А=∠С и∠В=∠D по свойству противолежащих углов параллелограмма.То есть ∠С=30о и ∠D=150о.Ответ: 150°; 30о; 150°.№ 10.Периметр параллелограмма ABCD равен 10 см. Найдитедлину диагонали BD, зная, что периметр треугольникаABD равен 8 см.712PABCD=2ּ(AB+AD), поэтому AB+AD= PABCD=1· 10 см =25cм.РABD = АВ + AD + BD = 8 см,Откуда BD=8 см - (AB+AD)=8 см – 5 см=3 смОтвет: 3 см.№ 11.Один из углов параллелограмма равен 40°. Найдитеостальные углы.Задача аналогичная № 9.

См. решение задачи № 9.Ответ: 140°; 40° и 140°.№ 12.Найдите углы параллелограмма, зная, что один из нихбольше другого на 50°.Такие углы не могут быть противолежащими, так как они неравны. Значит, они прилежащие и их сумма равна 180°. Пустьодин из углов равен х, тогда другой равен х+50о, по условию.Следовательно x+(x+50о)=180о; 2х=180о – 50о; 2x = 130о; x =65о.Так что ∠1 = 65°; ∠2 = 65° + 50° = 115°; ∠3 =∠1= 65° и∠4=∠2=115о (по свойству углов противолежащих угловпараллелограмма).Ответ: 65°; 65°; 115°; 115°.№ 13.Может ли один угол параллелограмма быть равным 40°,а другой — 50°?Такие углы не могут быть противолежащими , так как онине равны. Они не могут быть прилежащими к одной сторонепараллелограмма, так как их сумма равна 90°,а суммаприлежащих углов равна 180о.

Значит, не существуетпараллелограмма, у которого один угол равен 50°, а другой —40°.Ответ: не может.№ 14.8Диагональ параллелограмма образует с двумя егосторонами углы 25° в 35о. Найдите углыпараллелограмма.Диагональ параллелограмма делит ∠1 на два угла 25° и 35°,поэтому∠1=25°+ 35° = 60°.∠2 = ∠1 = 60°(противолежащие углы).∠1 + ∠3 = 180° (∠1 и ∠2 прилежащие). Поэтому∠3 = 180° - 60° = 120°.∠4=∠3 = 120° (противолежащие углы).Ответ: 60°; 60°; 120°; 120°.№ 15.Найдите все углы параллелограмма, если сумма двух изних равна: 1) 80°; 2) 100°; 3) 160°.Во всех трех случаях углы немогут быть прилежащими, так каких сумма не равна 180о.

А значитони противолежащие, а значитследовательно равные.∠1 + ∠2 = 80°∠1 = ∠2 = 40°⇒.∠1 + ∠3 = 180° ∠3 = 140°1) 2) и З) выполняются аналогично.Ответ: 1) 40°; 40°; 140°; 140°; 2) 50°; 50°; 130°; 130°; 3) 80°; 80°;100°; 100°.№ 16.Найдите все углы параллелограмма, если разность двухиз них равна: 70°; 2) 110°; 3) 140°.Данные углы не могут быть противолежащими, так как еслибы они были противолежащими, то разность между нимиравнялось бы 0о.

То есть они прилежащие к одной стороне, азначит их сумма равна 180о. Обозначим градусную меруменьшего угла за х, получим:1) x + 70о — градусная мера второго угла;x + x + 70о = 180о; 2х = 110о;x = 55о, то есть9∠1 = 55°; ∠2 = 125°.∠3 и ∠4 соответственно противолежащие углам 1 и 2. Азначит ∠3=∠1=55о, ∠4=∠2=125о.2) и З) решаются аналогично.Ответ: 1) 55°; 55°; 125°; 125°; 2) 35°; 35°; 145°; 145°; 3) 20°; 20°;160°; 160°.№ 17.В параллелограмме ABCD точка Е — середина стороныВС, а F — середина стороны AD. Докажите, чточетырехугольник BEDF — параллелограмм.Докажем, что ∠EDF и ∠BFD — односторонние для прямыхED и BF и секущей FD и их сумма равна 180°, а значит, прямаяBF║ED и, тогда, четырехугольник BEDF — параллелограмм.Рассмотрим ∆ ABF и ∆ CDE:АВ = СD — противоположные стороны параллелограмма.∠А = ∠С — противоположные углы параллелограмма.AF = СЕ , так как AF =11AD = BC = CE22Значит, ∆ ABF = ∆CDE — по двум сторонам и углу междуними.

Следовательно ∠CED=∠AFB. Но ∠CED = ∠EDF(накрест лежащие для параллельных ВС и AD и секущей ED).Значит ∠EDF=∠AFB. Поэтому ∠EDF + ∠BFD = ∠AFB +∠BFD = 180°, так как ∠AFB и ∠BFD — смежные углы. Тогда,BF║ED и четырехугольник BEDF — параллелограмм. Что итребовалось доказать.№ 18.Докажите, что если у четырехугольника две стороныпараллельны и равны, то он является параллелограммом.Задача решена в учебнике на стр. 70 п.

53.№ 19.В параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла А,которая пересекает сторону ВС в точке Е. Чему равныотрезки ВЕ и ЕС, если АВ = 9 см, AD = 15 см?10∠BAE = ∠EAD (так как АЕ — биссектриса ∠BAD). К томуже ∠ВЕA=∠EAD (накрест лежащие углы при параллельных ВСи AD и секущей АЕ). А значит∠ВАЕ = ∠ВЕA . Тогда,∆ АВЕ — равнобедренныйи АВ= ВЕ = 9 см (боковыестороны). ВС = AD=15 см;ВС = ВЕ + ЕС;15=9+EC,откуда EC=6 см.Ответ: ВЕ=9 см; ЕС=6 см.№ 20.Две стороны параллелограмма относятся как 3:4. апериметр его равен 2,8 м. Найдите стороны.Пусть одна сторона равна 3х, тогда вторая 4х. P = (4х +Зх)·2; то есть 14х=2,8 м. и х=0,2 м.

Далее, 3х =3·0,2 м =0,6 м. и4х =4·0,2 м. = 0,8 м.Противоположные стороны параллелограмма равны. Так чтостороны параллелограмма 0,6 м; 0,6 м; 0,8 м; 0,8 м.Ответ: 0,6 м; 0,6 м; 0,8 м; 0,8 м.№ 21.В параллелограмме ABCD перпендикуляр, опущенный извершины В на сторону АD, делит ее пополам. Найдитедиагональ BD и стороны параллелограмма, еслиизвестно, что периметр параллелограмма равен 3,8 м, апериметр треугольника ABD равен 3 м.∆ ABD — равнобедренный, таккак ВО является одновременновысотой и медианой.

Значит АВ =BD. АВ=CD (противоположныестороныпараллелограмма).Значит BD= CD.PABCD=2(AB+AD) и PABCD=3,8 мPABD=AB+BD+AD=2AB+AD. PABD=3 м. Так что,PABCD – PABD = 2AB + 2AD – AB – BD – AD = 2AD-AD=AD.То есть AD=0,8 м11BD =11(PABD - AD) = (3 м - 0,8 м) = 1,1 м. AD = ВС = 0,822м; АВ = DC = 1,1 м.Ответ: BD = 1,1 м.; стороны ABCD равны 0,8 м; 1,1 м; 0,8 м; 1,1 м.№ 22.Постройте параллелограмм: 1) по двум сторонам идиагонали; 2) по стороне и двум диагоналям.1) Построим ∆ACD по тремсторонам (две стороны равнысторонам параллелограмма, атретья сторона — диагональпараллелограмма).Черезвершины С и А проведем прямые, параллельные сторонам AD иDC, соответственно точка пересечения В будет являться четвертойвершиной искомого параллелограмма ABCD.2) Диагонали параллелограмматочкой пересечения делятся пополам.Построим треугольник по тремсторонам (первая сторона являетсясторонойпараллелограмма,дведругие равны половине диагоналей).На продолжении стороны АО отложим отрезок ОС = АО, а напродолжении стороны DO отложим отрезок ОВ = DO.