pogorelov-gdz-8-2002f (Ответы ко всем упражнениям Погорелова по геометрии от седьмого до одиннадцатого класса (Погорелов)), страница 2

Точки Ви С являются вершинами искомого параллелограмма ABCD.№ 23.Постройте параллелограмм: 1) по двум сторонам и углу;2) по диагоналям и углу между ними.1) Строим ∆ABC по двумсторонам и углу. Через вершиныВ и C проводим прямые,параллельные сторонам АС иAВ,соответственно,точкапересеченияСявляетсячетвертой вершиной искомого параллелограмма ABCD.2) Строим ∆ ВСО по двумсторонам, которые являютсяполовинами данных диагоналей,и углу между ними. Далее на12продолжениях сторон ВО и СО и откладываем отрезки OD иОА, соответственно равные половинам диагоналей. Получаемискомый параллелограмм ABCD.№ 24.Докажите, что если у параллелограмма все углы равны,то он является прямоугольником.Задача доказана в учебнике на стр.

71 п. 54.№ 25.Докажите, что если в параллелограмме хотя бы одинугол прямой, то он является прямоугольником.Пусть один из углов равен 90°, тогда, прилежащий уголравен 90°, т.к. их сумма равна 180о. У каждого из этих угловесть противолежащие, равные им углы. Тогда все четыре углапрямыеиискомыйпараллелограммявляетсяпрямоугольником. Что и требовалось доказать.№ 26.Докажите, что если у параллелограмма диагонали равны,то он является прямоугольником.Пусть ABCD — параллелограмм. О — точка пересечениядиагоналей. АС = DB (по условию), тогда,AO = OC = DO = OB =11AB = AC Значит22∆АОВи∆ВОС—равнобедренные.

Пусть ∠ВОС=х. Следовательно ∠ОВС=12(180°-х).∠АОВ = 180° - х, ∠АВО =180°11(180° - ∠АОВ) =(180° 22+1111+ x) = x. ∠АВС = ∠АВО + ∠ОВС = x + (180° - x) = x +22221о+ 90° - x = 90°. То есть ∠В=90 .213Аналогично доказывается, что остальные углы параллелограмматоже прямые. Следовательно, данный параллелограмм являетсяпрямоугольником.№ 27.Бетонная плита с прямолинейными краями должна иметьформу прямоугольника. Как при помощи бечевкипроверить правильность формы плиты?У правильной плиты должна быть форма прямоугольника, азначит противолежащие стороны и диагонали должны бытьравны. Это можно проверить с помощью бечевки.№ 28.Биссектриса одного из углов прямоугольника делитсторону прямоугольника пополам. Найдите периметрпрямоугольника, если его меньшая сторона равна 10 см.Заметим, что∠1 = ∠2 (так как АО — биссектриса).∠2 = ∠3 (как накрест лежащие углы для прямых ВС, AD исекущей АО).Значит, ∠1 = ∠3 и ∆ AВO — равнобедренный.

Поэтому АВ= ВО = 10 см (стороны равнобедренного треугольника).ВО = ОС (по условию). Значит, ОС = 10 см, ВС = ВО + ОС == 10 см + 10 см = 20 см.РABCD = 2·(АВ + ВС) =2· (10 + 20) = 60 см.Ответ: 60 см.№ 29.14В прямоугольнике точка пересечения диагоналей отстоитот меньшей стороны на 4 см дальше, чем от большейстороны. Периметр прямоугольника равен 56 см. Найдитестороны прямоугольника.Пусть расстояние от точки пересечения до большей стороны равно xсм, тогда расстояние до меньшей (х+4) см. РABCD=2·(АВ+ВС)=56 см.ВС =2· (х + 4); АВ = 2х; 2·(x + 4) + 2х = 56: 2; 4х = 20;x = 5. АВ = 2х=10 (см); ВС =2(х+4)= 18 (см).Ответ: 10 см; 18 см.№ 30.Из одной точки окружности проведены две взаимноперпендикулярные хорды , которые удалены от центрана 6 см и 10 см.

Найдите их длины.Опустим из центра О перпендикулярыOC1 и ОВ1 на данные хорды АС и АВ.ЧетырехугольникAC1OB1—прямоугольник,поэтомуAВ1 = ОС1 = 10 см;АС1 = B1O = 6 см.Рассмотрим∆AOВ.Онравнобедренный, так как АО = ОВ = r, ОВ1 — перпендикуляр,проведенный к основанию равнобедренного треугольника, азначит является и медианой. Поэтому, АВ1 = В1В, и значит АВ= = 2АВ1 = 20 см.Аналогично доказывается, чтоАС = 2AC1 = 2·6 см = 12 см;Ответ: 20 см; 12 см.№ 31.В прямоугольный треугольник, каждый катет которогоравен 6 см, вписан прямоугольник, имеющий стреугольником общий угол. Найдите периметрпрямоугольника.15По условию АВ = АС = 6 см, значит ∆АВС —равнобедренный, поэтому∠В = ∠С =1(180° - 90°) = 45°.2Рассмотрим ∆BDB1.∠B1 = 90° (по условию), ∠В = 45°, значит ∠B1DB=180°–– (90°+45°) = 45°.Значит ∆BDB1 — равнобедренный, так как ∠В = ∠B1DB =45°, поэтому BB1 = B1D.PAB1DC1 = 2(АВ1+B1D)=2(AB1+B1B)=2AB=2·6 см =12 см.Ответ: 12 см.№ 32.В равнобедренный прямоугольный треугольник вписанпрямоугольник так, что две его вершины находятся нагипотенузе, а две другие — на катетах.

Чему равныстороны прямоугольника, если известно, что ониотносятся как 5: 2, а гипотенуза треугольника равна 45см?∆AВC—равнобедренный,отсюда12∠А=∠С= (180о-90о)=45о∆AFK и ∆CEL — равнобедренные , так как ∠AKF=180o–∠F––∠A=180o – 90o – 45o = 45o=∠A и аналогично ∠ELK=∠CПоэтому AF = FK и LE=EC.16К тому же KF = LE (стороны прямоугольника), так чтоAF = KF = LE = ЕС.Пусть FK=2х, а KL=5х. Тогда AF=EC=FK=2x и FE=KL=5x.ПолучимАС = AF + FE + ЕС = 2х + 5х + 2х = 9х = 45; откудах = 5. Далее, FK = 2х = 10 см; KL = 5х = 25 см.Ответ: 10 см; 25 см.№ 33.Докажите, что если у параллелограмма диагоналиперпендикулярны, то он является ромбом.Задача доказана в учебнике на стр. 72 п.

55.№ 34.Докажите, что если диагональ параллелограмма являетсябиссектрисой его углов, то он является ромбом.Пусть АС биссектриса и диагональ в параллелограммеABCD, тогда ∠ВАС = ∠CAD.∠ВСА = ∠CAD (как накрест лежащие углы дляпараллельных ВС и AD и секущей АС).Тогда, ∠ВАС = ∠ВСА, а значит ∆АВС — равнобедренный соснованием АС. Значит, АВ = ВС. По свойствупараллелограмма АВ = CD, ВС = AD, как противоположныестороны.Итак, все стороны параллелограмма ABCD равны, значит,он ромб. Что и требовалось доказать.№ 35.Углы, образуемые диагоналями ромба с одной из егосторон, относятся как 4:5.

Найдите углы ромба.Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Пустьполовина меньшего угла равна 4х, следовательно весь уголбудет равен 8х. Половина большего угла тогда равна 5х, а весь17угол 10х. Так как эти углы являются прилежащими к однойстороне их сумма равна 180°.То есть, 8х + 10х = 180о; откуда х=10о. Тогда углы ромбаравны 8х и 10х, то есть 80°; 100°.Ответ: 80°; 80°; 100°; 100°.№ 36.Докажите, что четырехугольник, у которого все стороныравны, является ромбом.Пусть АВ = ВС = CD = AD .Рассмотрим ∆AВC и ∆ADC.Они равнобедренные, так какАВ=ВС и CD=AD.Далее AB=CD, BC=AD иАС — общая.Значит ∆АВС = ∆ADC (по тремсторонам). Поэтому ∠ВАС =∠ ACD. А эти углы являютсянакрест лежащими для прямых АВ и CD и секущей АС.Значит, АВ║CD.

Аналогично доказывается что ВС║AD.Значит, данный четырехугольник — параллелограмм сравными сторонами, то есть — ромб.Что и требовалось доказать.№ 37.В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Найдитеуглы ромба.AD = CD (стороны ромба), и AD = АС (по условию).Значит, АС = CD = AD, поэтому ∆ACD — равносторонний,и∠D = 60° (угол равностороннего треугольника).∠А + ∠D = 180° так как ∠А и ∠D — прилежащие к однойстороне ромба.Откуда ∠D = 120°.18∠B=∠D=60o и ∠С=∠А=120о – как противолежащие углыромба.Так что углы ромба 60°; 60°; 120°; 120°. 60°; 60°; 120°; 120°.№ 38.Постройте ромб: 1) по углу и диагонали, исходящей извершиныэтогоугла;2)подиагоналиипротиволежащему углу.1) Строим данный угол и проводим биссектрису. От вершиныбиссектрисы откладываем диагональ АВ и делим ее пополам,точкой О. Проводим перпендикуляр через точку О к диагоналиАВ, который пересекает стороны угла в точках С и D, которыеявляются вершинами искомого ромба.2) Пусть дан угол α и диагональ d.

Необходимо построить ромб, вкотором один из углов равен а, а противолежащая диагональ равна d.Предположим, что существует ромб ABCD, в которомдиагональ BD = d, и ∠BAD=a.19Диагональ АС — биссектриса ∠BAD и АС ⊥ BD. Проведемчерез точку A прямую МN ⊥ АС и отложим отрезки АМ = AN =1d, по разные стороны от точки А, следовательно, MNBD —2прямоугольник.Построим ∠BAD = α. Проведем биссектрису АС угла BAD.Через точку А проведем прямую МN ⊥ а и от точки А отложим1АМ = AN = d.

Проведем через М и N прямые, параллельные2АС, точки пересечения этих прямых со сторонами угла BADобозначим соответственно В и D. Раствором циркуля, равнымАВ, проведем дугу с центром В, при этом, точку пересечениядуги с прямой а обозначим С. Получим четырехугольникABCD.Докажем, что ABCD — ромб в котором ∠BAD = α и BD = d.∠BAD = α — по построению.Так как MNBD — прямоугольник по построению, то отрезокАО — серединный перпендикуляр к BD и ∆BAD —равнобедренный (АВ=AD); ОС — серединный перпендикуляр в∆BCD, значит, ∆BCD — равнобедренный (ВС = CD). Так какАВ = ВС по построению, то АВ=ВС=CD=AD и ABCD — ромбс ∠BAD = α.По построению BD = МN = d, значит, ABCD — искомыйромб.№ 39.Постройте ромб: 1) по стороне и диагонали; 2) по двумдиагоналям.1) Построим диагональ АС.

Строим треугольник АВС потрем сторонам АВ, ВС, АС, гдеАВ = ВС — данные стороны ромба, аАС — диагональ ромба.20Через точку А проводим прямую, параллельную ВС, а черезточку С прямую, параллельную АВ. Точку пересечения данныхпрямых обозначим D ABCD – искомый ромб.2) Строим диагональ CD и проводим к ней серединныйперпендикуляр. От точки О на серединном перпендикуляре в1разные стороны откладываем отрезки ОА и ОВ равныеот2длины второй диагонали.