pogorelov-gdz-8-2002f (Ответы ко всем упражнениям Погорелова по геометрии от седьмого до одиннадцатого класса (Погорелов)), страница 7

Можно построить отрезок ВС = а и2cотрезок BD =BD =c2 + a2 − b2, причем BD < ВС, так как2cb21 a2() , а отрезки+c−c2 cx=a⋅a;cy=b ⋅bcможнопостроить способом построения четвертого пропорциональногоотрезка. Следовательно, можно построить прямоугольный∆BDC (по катету и гипотенузе) с прямым углом D, катетом BDи гипотенузой ВС.3) Докажем, что ∆АВС, в котором ВС = а, АВ = с, арасстояние BD =c2 + a2 − b2, имеет сторону АС = b.2cРассмотрим прямоугольный ∆BDC, в котором BD =c2 + a2 − b2и ВС = а.=2cПо теореме Пифагора отрезок CD = c2 + a2 − b2a2 −2c2—катет в ∆ BDC.AD=AB-BD= с −с2 + a2 − b22c∆ ACD – тоже прямоугольный, так что5722 c2 + a 2 − b2 c 2 + a 2 − b 2  =+ a2 − 222 с −AC =AD +CD = 2c2c222222= c − c +a −b +a = b .()Так что AC=bЧто и требовалось доказать.№ 41.Даны три положительных числа а, b, с.

Докажите, чтоесли каждое из этих чисел меньше суммы двух других,то существует треугольник со сторонами а. b, с.Пусть числа а, b, с расположены в порядке их возрастания,то есть а ≤ b ≤ с. Так как каждое из чисел меньше суммы двухдругих, по условию то с < а + b. Значит а, b, с удовлетворяютусловиям задачи № 40, и существует треугольник со сторонамиа, b, с.Что и требовалось доказать.№ 42.Можно ли построить треугольник со сторонами:1) a = 1 см, b = 2 см, с = 3 см;2) a = 2 см, b = 3 см, с = 4 см;3) a = 3 см, b = 7 см, с = 11 см;4) a = 4 см, b = 5 см, с = 9 см?Если большая сторона меньше суммы двух других сторон,то треугольник построить можно.1) а = 1 см; b = 2 см; с = 3 см,3 < 1 + 2 — неверно, значит треугольник построить нельзя.2) а = 2 см; b = 3 см; с = 4 см,4 < 2 + 3 — верно, значит треугольник можно построить.3) а = 3 см; b = 7 см; с = 11 см, 11 < 7 + 3 — неверно, значиттреугольник построить нельзя.4) а = 4 см; b = 5 см; с = 9 см, 9 < 5 + 4 — неверно, значиттреугольник построить нельзя.Ответ: 1) нет; 2) да; 3) нет; 4) нет.№ 43*.58Даны две окружности с радиусами R1, R2 и расстояниеммежду центрами d.

Докажите, что если каждое из чиселR1, R2 и d меньше суммы двух других сторон, тоокружности пересекаются в двух точках.Так как d < R1 + R2; R1 < d + R2;R2< d + R1 , то можно построить треугольник со сторонами, длинакоторых R1, R2, d. Обозначим этот треугольник O1O2A, где О1О2= d,O1A = R1; О2А = R2. По одну сторону от прямой О1О2 расположен∆ О1АО2. Следовательно, по другую сторону от О1О2 можноотложить угол О1О2В, равный углу О1О2А, и угол O2O1В, равныйуглу O2O1A.

Получится ∆O1O2В=∆O1O2A по стороне и двумприлежащим к ней углам. Значит, О1В = О1А = R1 и О2В = О2А =R2. Значит, точки А и В принадлежат обеим окружностям, а таккак две окружности не могут иметь более двух общих точек, тоокружности пересекаются в двух и только двух построенных намиточках А и В.Что и требовалось доказать.№ 44.У прямоугольного треугольника один катет равен 8 см, асинус противолежащего ему угла равен 0,8. Найдитегипотенузу и второй катет.aа = 8 см, sina = 0,8. sin α = , тогда c = a = 8см = 10 см;c222sin α0,82b = c − a = 10 − 8 = 100 − 64 = 36 = 6 см.Ответ: 10 см; 6 см.№ 45.В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна а, аодин из острых углов α. Найдите второй острый угол икатеты.59Так как ∠В+α=90о, то ∠В = 90° - α.Далее, sin α =ACAB; значит cos α =, так чтоBCBCАС=ВСсosα=asinαОтвет: 90° – α; asinα; acosα.№ 46.В прямоугольном треугольнике катет равен a, апротиволежащий ему угол α.

Найдите второй острыйугол, противолежащий ему катет и гипотенузу.∠С = 90° - α, так как ∠С+α=90оBCaBC, поэтому AC ==ACsin α sin αAB, так чтоcos α =ACaa cos αaAB = AC cos α =.⋅ cos α ==tgαsinsin αsin α =Ответ: 90° - α;№ 47.60aa;tgα sin αВ прямоугольном треугольнике даны гипотенуза с иострый угол α. Найдите катеты, их проекции нагипотенузу и высоту, опущенную на гипотенузу.AC, АС = АВ cosα = с cosα.ABBCosin α =, ВС = АВ sinα = с · sinα.

Далее, ∠DCB=90 –ABcos α =– ∠B=∠α=∠A.Так что BD = ВС sinα = c sin α ⋅ sin α = c sin 2 α .AD = АС cosα = c cos α ⋅ cos α = c cos 2 α .CD = АС sinα= с sinα cosα.№ 48.1) Найдите sin22°; sin22°36’; sin22°38’; sin 22°41’; соs68°;соs68°18'; cos68°23’.2) Найдите угол х, если sinx = 0,2850; sinx = 0,2844; cosx =0,2710.1) sin 22° ≈ 0.3746;sin 22°36' ≈ 0,3843;sin 22°38' ≈ 0,3848;sin 22°41’ ≈ 0,3856;2) sinx = 0,2850 приx = 16°34';№ 49.cos 68° ≈ 0,3746;cos 68°18' ≈ 0,3697;cos 68°23' ≈ 0,3684.sinx = 0,2844 приx = 16°З1’;cosx = 0,2710 приx = 74°17'.Найдите значения синуса и косинуса углов: 1) 16°;2) 24°36’; 3) 70°32'; 4) 88°49'.1) sin 16° = 0,2756;cos 16° = 0.9613.2) sin 24°36’ = 0,4163;cos 24°36' = 0,9092.3) sin 70°32' = 0,9428;cos 70°32' = 0,3333.4) sin 88°49’ = 0,9998;cos 88°49' = 0,0206.61№ 50.Найдите величину острого угла х, если: 1) sinx = 0,0175;2) sinx = 0,5015;3) cosx = 0,6814; 4) cosx = 0,0670.1) sin x = 0,0175 при x = 1°.2) sin x = 0,5015 при x = З0°6·.3) cos x = 0,6814 при x = 47°3’.4) cos x = 0,0670 при x = 86°9'.Найдите значение тангенса угла: 1) 10°; 2) 40°40’;3) 50°30'; 4) 70°15'.№ 51.1) tg 10° = 0.1763; 2) tg 40°40' = 0,8591;3) tg 50°30' = 1,213; 4) tg 70°15' = 2.785.№ 52.Найдите острый угол х, если: 1) tgx = 0,3227;2) tgx = 0,7846; 3) tgx = 6.152; 4) tgx = 9,254.1) tg x = 0.3227; 2) tg x = 0,7846;x = 17°5З’.x = З8°7’·.3) tg x = 6,152; 4) tg x = 9,254;x = 80°46'.x = 83°50'.№ 53.Высота равнобедренного треугольника равна 12,4 м, аоснование 40,6 м.

Найдите углы треугольника и боковуюсторону.АВ = ВС (так как треугольник равнобедренный).BD является высотой, а значит, и медианой, так чтоAD =140,6 м = 20.3 м.2АВ=AD 2 + BD 2 = 20,32 + 12,42 ≈ 23,78tg∠A =м (по теореме Пифагора.BD 12,4=≈ 0,6108 , значит ∠A = 31°25’.AD 20.3∠А = ∠С = 31°25' (углы при основании равнобедренноготреугольника). ∠В = 180° – 2 ⋅ З1°25'= 117°10’.Ответ: 23,78 м; З1°25'; З1°25'; 117°10’.62№ 54.Отношение катетов прямоугольного треугольника равно19: 28.

Найдите его углы.19≈ 0,6786, так что ∠А = 34°10'. Далее,tg ∠А =28∠В = 90° – ∠А = 90° – 34°10' = 55°50'.Ответ: 90°; 34°10'; 55°50'.№ 55.Стороны прямоугольника равны 12,4 и 26. Найдите уголмежду диагоналями.12,42611АС =ОС == 6,2; BD == 13;2222AD 6,2tg ∠ABD ==≈ 0,4769;13BDAD =Так что ∠ABD = 25°30'; ∠ABC =2∠ABD = 51°.Ответ: 51°.№ 56.Диагонали ромба равны 4,73 и 2,94. Найдите его углы.12,94BD == 1,47;2214,73АО = ОС = AC == 2,365;22BOtg ∠BCO =1,47: 2,365 ≈ 0,6216, так что ∠ВСО = 31°52';OCВО = OD =∠BCD = 2 ∠ВСО = 31°52' •2 = 63°44';∠А = ∠С=63°44';∠В = ∠D = 180о–∠А=180° – 63°44' = 116°6'.63Ответ: 63°44'; 116°16'.№ 57.Сторона ромба 241 м, высота 120 м. Найдите углы.120≈ 0,4979 , значит α = 29°52';241β = 180о– α = 180° – 29°52' = 150°8'.Ответ: 29°52' и 150°8'.sin α =№ 58.Радиус окружности равен 5 м.

Из точки, отстоящей отцентра на 13 м, проведены касательные к окружности.Найдите длины касательных и угол между ними.∆АВО — прямоугольный, так чтоАВ = AO 2 − OB 2 = 132 − 52 = 169 − 25 = 144 = 12 м.∠A = 2 ∠ВAO.sin ∠BAO =BO 5≈ 0,3846, так чтоAO 13∠BAO = 22°37, а значит∠A = 2·22°37' = 45°14'.Ответ: 12 м; 45°14'.№ 59.64Тень от вертикально стоящего шеста, высота которого 7м, составляет 4 м. Выразите в градусах высоту солнцанад горизонтом.7≈ 1,75, так что4α = 60°16’.Ответ: 60°16’.tg α =№ 60.Основаниеравнобедренногопрямоугольноготреугольника равно а. Найдите боковую сторону.Углы при основании равнобедренного прямоугольноготреугольника равны 45°. Пусть боковая сторона равна х, тогда:sin 45° =Ответ:№ 61.a 2x; x = a sin 45° =.a2a 2.2Найдите неизвестные стороны и острые углыпрямоугольного треугольника по следующим данным:1) по двум катетам:а) а = 3, b = 4;б) a = 9, b = 40;в) a = 20, b = 21;г) a = 11, b = 60;2) по гипотенузе и катету:а) с = 13, a =·5;б) с = 25, a = 7;в) a = 17, а = 8;г) с = 85, a = 84;653) по гипотенузе и острому углу:а) с =·2, α = 20°;б) с = 4, α = 50°20';в) с = 8, α = 70°36’;г) с = 16, α = 76°21’;4) по катету и противолежащему углу:а) a = 3, α = 30°27’;б) а = 5, α = 40°48’;в) a = 7, α = 60°85';г) a = 9, α = 68°'.1) По двум катетам:а) а = 3; b = 4;с=a 2 + b 2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 5.tg α =a 3= = 0,75 , α = 36°52' β = 53°8'b 42) По гипотенузе и катету:а) с = 13; а = 5.b=c 2 − a 2 = 132 − 52 = 169 − 25 = 144 = 12.sin α =5≈ 0,3836, α = 22°37' β = 69°23' .133) По гипотенузе и острому углу:а) с = 2; α = 20°.a; а = с sin 20° = 2 · 0,3420 = = 0,684 ≈ 0,68.cbcos 20° = ; b = с cos 20° = 2 · 0,9397 = 1,879 ≈ 1,88.csin 20° =β = 90° – 20° = 70°.4) По катету и противолежащему углу:а) а = 3; α = 30°27'; β = 90° - 30°27' = 59°33".sinα = sin30°27’ =с=asin 30o 27'tg 30°27’ =b=66aotg 30 27'=a;c3≈ 5,92.0,5068a;b=3≈ 5,1.0,5879Задания б), в), г) выполняются аналогично.№ 62.Упростите выражения:1) 1 – sin2α;2) (1 – cosα)(l + cosα);3) 1 + sin2α + cos2α;4) sinα - sinα cos2α;5) sin4a + cos2a + 2sin2α соs2α;6) tg2α – sin2α tg2α;7) cos2α + tg2α cos2α;8) tg2α (2cos2α + sin2α - 1);9)1 − tg 2 α + tg 4 αcos 2 α.1) 1 – sin2α =(sin2a + cos2α) – sin2α = cos2α.2) (1 - cosα )(1 + cosα) = 1 – cos2α = (sin2α + cos2α)– cos2α =2sin α.3) 1 + sin2α + cos2α = 1 + 1 = 2.4) sinα - sinα cos2α = sinα (1 – cos2α ) = sinα·sin2α = sin3a.5) sin4α + cos4α + 2sin2α cos2α = (sin2α + cos2α)2 = 12 = 1.6) tg2α – sin2α tg2α = tg2α (1 – sin2α) = tg2α·cos2α = sin2α.7) cos2α + tg2αcos2α = cos2α (1 + tg2α) = cos 2 α ⋅1cos 2 α=18) tg2α(2cos2a + sin2α – 1 ) = tg2α (cos2α + cos2α + sin2α – 1) == tg 2α ⋅ cos 2 α =9)sin 2 αcos 2 α1 − tg 2α + tg 4α2cos α=⋅ cos 2 α = sin 2 α .12cos α(1 − tg 2α + tg 4α) = (1+tg2α)(1-tg2α+tg4α)= = 1 + tg6α.(Пользуемся формулой (а + b)(a2 – ab + b2) = а3 + b3.)№ 63.Вычислите значения sinα и tgα, если:515; 2) cosα =1) cosα =; 3) cosα = 0,6.1317Задача решена в учебнике на стр.

91 п. 68.67№ 64.Найдите cosα и tgα, если. 1) sinα =403;; 2) sinα =5413) sinα = 0,8.31) sinα =5sin2α + cos2α = 1.352cosα = 1 − sin 2 α = 1 −   = 1 −916 4== .2525 5sin α 3 4 3 ⋅ 5 3= : == .cos α 5 5 5 ⋅ 4 4Задания 2) и 3) решаются аналогично заданию 1).tgα =№ 65.Постройте угол α, если известно, что: 1) cosα =4;743; 3) sinα = 0,5; 4) tgα = ; 5) tgα = 0,7.75Задача решается путем построения прямоугольного треугольникапо катету и гипотенузе.441) cosα = ;2) sinα = ;3) sinα = 0,5;772) sinα =4) tgα =№ 66.5) tgα = 0,7В прямоугольном треугольнике с гипотенузой a и углом60° найдите катет, противолежащий этому углу.sin 60o =683;5ba 3, так что b = a sin 60° =.2aОтвет:№ 67.a 3.2Найдите радиус г окружности, вписанной вравносторонний треугольник со стороной а, и радиус Rокружности, описанной около него.У равностороннего треугольника центр вписаннойокружности совпадает с центром описанной, так какбиссектрисы лежат на серединных перпендикулярах к сторонамтреугольника.Так что радиус вписанной окружности r =cos 30o =aa.