pogorelov-gdz-8-2002f (Ответы ко всем упражнениям Погорелова по геометрии от седьмого до одиннадцатого класса (Погорелов)), страница 13

106 п. 76.№ 43.119№ 44.Среди прямых, заданных уравнениями, укажите парыпараллельных прямых: 1) х + у = 1; 2) у – х = 1; 3) х – у =2; 4) y = 4; 5) у = 3; 6) 2х + 2у + 3 = 0.1) y = -x + 1, k = -1; 4) y = 4, k = 0;2) y = x +1, k = 1;5) y = 3, k = 0;3) y = x - 2, k = 1;6) у=-х-1,5, k=-1y = -х – 1,5, k = -1.Параллельные прямые 1) и 6); 2) и 3); 4) и 5), так каккоэффициенты k у них равны.Ответ: 1) и 6); 2) и 3); 4) и 5).№ 45.Составьте уравнение прямой, которая параллельна оси уи проходит через точку (2; -8).Задача решена в учебнике на стр. 107 п. 77.№ 46.Составьте уравнение прямой, параллельной оси х ипроходящей через точку (2; 3).Так как прямая параллельна оси х, то она задаетсяуравнением вида у = с .Так как точка (2; -3) лежит на прямой, то ее координатыудовлетворяют этому уравнению -3 = с . То есть с=-3 иуравнение прямой y = 3.Ответ: y = 3.№ 47.Составьте уравнение прямой, проходящей через началокоординат и точку (2; 3).Пусть ax + by + c= 0 – уравнение прямой.

Прямая проходитчерез начало координат, поэтому с = 0.Так что ax + by = 0, так как прямая проходит через (2; 3),то 2a + 3b = 0, то есть a = -1,5b. Уравнение примет вид-1,5bx + by =0, то есть Зх-2у = 0.Ответ: Зх-2у = 0.№ 48.Найдите угловые коэффициенты прямых из задачи 39.Угловые коэффициенты прямых ax + by +c =0 находятся поabформуле k = − .Ответ: 1) –12012341) k = – ; 2) k = – ; 3) k =133; 2) – ; 3) ; 4) 2.2423; 4) k = 22№ 49.Найдите острые углы, которые образует заданная прямаяс осью х: 1) 2у = 2х + 3; 2) х 3 - у = 2; 3) х + у 3 + 1-0.1) 2у = 2х + 3,2) x 3 - у = 2,3) x + y 3 + l = 0,у = х 3 - 2,y 3 = -x – 1,y = х + 1,5,k= 3,y=−k = 1,tgα = 3 ,k =−3,3tgα = 1.α = 60°.tgβ =− 3,3α = 45°.30°.x3−13,β=150°, α = 180°-β =Ответ: 1) 45°; 2) 60°; 3) 30°.Найдите точки пересечения окружности х2 + у2 = 1с прямой: 1) у = 2х + 1; 2) у = х + 1; 3) у = Зх + 1;4) у = kх + 1.Задача решена в учебнике на стр. 109 п.

80.№ 50.№ 51*.При каких значениях с прямая х + у + с = 0 и окружностьх2 + у2 = 1: 1) пересекаются; 2) не пересекаются; 3)касаются?Координаты точек пересечения являются решением системыуравнений: x 2 + y 2 = 1, x + y + c = 0.Окружность и прямая пересекаются, если система имеетрешения.1) y = –x – c.2) x2 + (-x-c)2 = l,х2 + х2 + 2хс + с2 – 1 = 0,2x2 + 2cx + (c2- l) = 0. (2)Система будет иметь решения, если квадратное уравнениеD= c2 – 2(c2 – l) = 2 – c2 будетимеет корни, то есть, если4121неотрицательным, 2 − с 2 ≥ 0 , c2 ≤ 2, с ≤ 2 , − 2 ≤ с ≤ 2 . Тоесть при − 2 < с < 2 уравнение (2) имеет два корня, а значит,система имеет два решения, окружность и прямая пересекаютсяDв двух различных точках; при с = − 2 или с = 2 ,= 04уравнение (2) имеет один корень, система имеет одно решение,значит, окружность и прямая касаются.D<0, система не имеетА при с < − 2 или с > 2 ,4решений, так как уравнение (2) не имеет решений, значит,окружность и прямая не пересекаются.Ответ: 1) пересекаются, если − 2 < с < 2 ;2) не пересекаются, если с < − 2 или с > 2 ;3) касаются, если с = − 2 или с = 2 .№ 52.Найдите синус, косинус и тангенс углов: 1) 120°; 2) 135°;3) 150°.1) α = 120°,sinα = sin (180°-60°) = sin 60° =3;2cosα = cos (180°-60°) = -cos 60°= −1;2tgα = tg (180°-60°) = -tg 60° = − 3 .2) α = 135°,2;sinα = sin (180°-45°) = sin 45° =2cosα = cos (180°-45°) = -cos 45° = −2;2tgα = tg (180°-45°) = -tg 45° = -1.3) α = 150°,1sinα = sin (180°-30°) = sin 30° = ;2cosα = cos (180°-30°) = -cos 30° = −1223;2tgα = tg (180°-30°) = -tg 30° = −№ 53.33Найдите: 1) sin 160°; 2) cos 140° 3) tg 130°.1) sin 160° = sin (180°-20°) = sin 20°≈0,3420.2) cos 140° = cos (180°-40°) = -cos 40°≈ -0,7660.3) tg 130° = tg (180°-50°) = -tg 50°≈ -1,1918.№ 54.Найдите синус, косинус и тангенс углов: 1) 40°;2) 14°36'; 3) 70°20'; 4)30°1б'; 5) 130°; 6) 150°30';7) 150°33'; 8) 170°28'.Синус, косинус и тангенс острых углов находим с помощьютаблиц Брадиса.

1), 2), 3) и 4).5) α = 130°.sinα = sin (180°-50°) = sin 50° = 0,7660.Значения cos α и tg α находятся аналогично.6) α = 150°30'.sin 150°30' = sin (180°-29°30') = sin 29°30' = 0,4924.Задания 7) и 8) выполняются аналогично.№ 55.Найдите углы, для которых: 1) sin а = 0,2; 2) cos α = -0,7;3) tg α = -0,4.1) sin α = 0,2, α = 11°32'илиα = 168°28'.2) cos α = -0,7,cos (180°-α) == -cos α =0,7180°-α = 45°34′α = 180°-45°34',α = 134°26'.3) tg α = -0,4.tg (180°-α) = -tgα =0,4180°-α = 21°48',α = 180°-21°48'α = 158°12'123№ 56.Найдите sin α и tg α, если: 1) соsα =23; 4) соsα = –.223) соsα =1) соsα =1, тогда3sin α = 1 − cos 2 α = 1 −tgα =1; 2) cosα = –0,5;318 2 2==,993sinα 2 2 ⋅ 3==2 23 ⋅1cos α2) cos a = -0,5,sin α = 1 − (− 0,5)2 = 1 − 0,25 = 0,75 =tgα =33=,423 ⋅2sinα=− 3=−2/ ⋅ 1cos αЗадания 3) и 4) выполняются аналогично.№ 57.Найдите cosα и tg α, если: 1) sinα = 0,6, 0 < α <90°;11, 0< α <180°.2) sinα = , 90<α<180°; 3) sin α =321) sin α = 0,6, 0° < α<90°.

Тогдаcos α = 1 − 0,62 = 1 − 0,36 = 0,64 = 0,8; tgα =2) sinα =1, 90°< α <180°. Тогда3132cosα = − 1 −   = −tgα =sin α1⋅ 31=−=−cos α3⋅ 2 22 23) sinα =cosα =12482 2;=−9312, 0°< α <180°, тогда 1± 1 −  221 = ± 1−2=±12;sin α 0,6 3== .cos α 0,8 4tgα =№ 58.sin α1⋅ 2=±= ±1 .cos α2 ⋅1Известно, что tgα = −1 + tg 2 α =cos 2 α =12cos α; cos2 α =121 + tg α, cos2 α =1,251+14412144; cos α = ± ,16913sin α = tgα ⋅ cos α = ±№ 59.5. Найдите sinα и соsα.125 ⋅ 125=± .12 ⋅ 1313Постройте угол α, если известно, что sinα =3.5Строим прямоугольный треугольник с катетом 3 игипотенузой 5. Угол напротив катета 3 — искомый, так как sinα3= .5№ 60.Постройте угол α, если известно, что cosα = −3.5Строим прямоугольный треугольник с катетом 3 и гипотенузой 5.Угол, смежный с углом β -треугольника – искомый.125Так как cos (180°-β) = -cos β = −№ 61*.3= cos α.5Докажите, что если соsα = cosβ, то α = β.x1, где R — радиус окружности сRцентром (0; 0), а А(x1; y1) – точка пересечения одной из сторонугла α с этой окружностью, если другая сторона совпадает сположительной полуосью х, и угол α отложен в верхнююполуплоскость, где у>0.xАналогично cosβ = 2 , а В(x2; y2) – соответствующая точка.RПоскольку cosα = cosβ, тоxx1= 2 , значит, x1 = x2.RRТак как точки А и В принадлежат окружности с центром (0;0) и радиуса R, тоx12 + у12 = R2.x22 + y22 = R2.А так как х1 = x2 то у12 = y22.

Поскольку y1, у2—положительные числа, то y1 = y2, значит, А (х1; у1) и В (х2; у2)совпадают.А значит, α = β.Что и требовалось доказать.По определению cosα =№ 62*.Докажите, что если sinα = sinβ, то либо α = β, либоα = 180° – β.Пусть А (х1; y1). В (x2; у2) — точки пересечения окружностис центром (0; 0) радиуса R со стороной угла α и βсоответственно, отложенных от положительной полуоси х вверхнюю полуплоскость, где у>0.yyПо определению sinα = 1 ; sinβ = 2 . Поскольку точки А иRRВ лежат на окружности с центром (0; 0) радиуса R, то x12 + y12 =R2 иx22 + y22 = R2, но y1 = y2, так как sin α = sin β.126Так как y1 = y2, то х12 = х22 , |x1| = |x2|.

Значит, либо x1 = x2,либо x1 = -х2.Если х1 = х2, то А и В совпадают и α = β; если x1 = -x2, тоопустим перпендикуляры АА1 и ВВ1 из А и В на ось х. ТогдаОА1=ОВ1, ОА=ОВ и АА1=ВВ1.Поэтому ∆OA1A = ∆OВ1B (по трем сторонам), значит, ∠B1OB= ∠A1OA = β, ∠В1OA = α является смежным с углом A1OA,значит, α+β = 180°. То естьβ = 180-α.Что и требовалось доказать.§ 9. Движение№ 1.Докажите, что при движении параллелограмм переходитв параллелограмм.Диагонали параллелограмма пересекаются в точке, котораяделит каждую из них пополам. Но при движениипараллелограмм перейдет в четырехугольник, у которогодиагонали в точке пересечения делятся пополам.

А значит этотчетырехугольник — параллелограмм.Что и требовалось доказать.№ 2.В какую фигуру переходит при движении квадрат?Объясните ответ.127Поскольку движение — это преобразование одной фигуры вдругую, сохраняющее расстояния между точками и сохраняющееуглы между полупрямыми, то квадрат перейдет в фигуру, стороныкоторой будут равны и углы прямые, а значит, эта фигура –квадрат.

То есть квадрат перейдет в квадрат.№ 3.Даны точки А и В. Постройте точку В', симметричнуюточке В относительно точки А.На продолжении прямой ВА откладываем отрезок АВ΄=АВ.№ 4.Решите предыдущуюциркулем.AB = CB = CD = DB1.128пользуясьDCBзадачу,AB1только.