pogorelov-gdz-8-2002f (Ответы ко всем упражнениям Погорелова по геометрии от седьмого до одиннадцатого класса (Погорелов)), страница 12

В свою очередьромб, являющийся прямоугольником, — это квадрат, значит,ABCD — квадрат.Что и требовалось доказать.№ 22.Докажите, что четыре точки (1; 0), (-1; 0), (0; 1), (0; -1)являются вершинами квадрата.Пусть А (-1; 0), В (0; 1), С (1; 0), D (0; -1) — вершинычетырехугольника.1) АС =BD =(−1 − 1) 2 + (0 − 0) 2 = 4 = 2(0 − 0) 2 + (1 + 1) 2 = 4 = 2 , так что AC = BD2) AВ =(−1 − 0) 2 + (0 − 1) 2 = 1 + 1 = 2 ,ВС =(0 − 1) 2 + (1 − 0) 2 = 2CD =(1 − 0) 2 + (0 + 1) 2 = 2 ,DA =(0 + 1) 2 + (−1 = 0) 2 = 2 , так что AB=BC=CD=DAСтороны и диагонали ABCD равны, значит, ABCD —квадрат.Что и требовалось доказать.№ 23.Какие из точек (1; 2), (3; 4), (-4; 3), (0; 5), (6; -1) лежат наокружности, заданной уравнением x2 + у2 = 25?Подставим координаты всех точек в уравнение окружности:1) (1; 2). 12 + 22 = 25 - неверно.2) (3; 4), З2 + 42 = 25 - верно.3) (0; 5), 02 + 52 = 25 - верно.4) (5; -1).

52 + (-1)2 = 25 - неверно.5) (-4; 3). (-4)2 + З2 = 25 - верно.Значит точки (3; 4), (0; 5), (-4; 3) лежат на даннойокружности.№ 24.Найдите на окружности, заданной уравнениемx2 + у2 = 169, точки:1) с абсциссой 5;1102) с ординатой -12.Пусть точка (5; у) лежит на окружности, тогда 52 + у2 = 169 иу = ± 169 − 25 = ± 144 = ±12. Получим две точки(5; 12) и (5;-12).2) Пусть точка (х; -12) лежит на окружности, тогдах2 + (-12)2 = 169 и х = ± 169 − 144 = ± 25 = ± 5,получим две точки (5;-12) и (-5;-12)Ответ: 1) (5; 12); (5;-12); 2) (5; -12); (-5; -12).№ 25.Даны точки А (2; 0) и В (-2; 6). Составьте уравнениеокружности, диаметром которой является отрезок АВ.Найдем координаты центра окружности и радиус АВ —диаметр.

О — центр окружности. А (2; 0); В (-2; 6).x=2−20+6= 0; y== 3 , O(0; 3)22R= AO = (2 − 0)2 + (0 − 3) 2 = 4 + 9 = 13 , R = 13 .Значит, уравнение окружности примет вид(x – 0)2 + (y – 3 )2 = ( 13 )2, то есть x 2 + ( y − 3)2 = 13.Ответ: x2 + (y – 3)2 = 13.№ 26.Даны точки А (-1; -1) и С (-4; 3). Составьте уравнениеокружности с центром в точке С, проходящей через точкуА.Найдем радиус окружности R=ACR2 = (–1 + 4)2 + (–1 – 3)2 = 25, то есть R=5.К тому же С (-4; З) — центр окружности, значит, ееуравнение:(x + 4)2 + (y – З)2 = 25.Ответ: (x + 4)2 + (y – 3)2 = 25.№ 27.Найдите центр окружности на оси х, если известно, чтоокружность проходит через точку (1; 4) и радиусокружности равен 5.R = 5, О (а; 0) — центр окружности, А (1; 4) лежит наокружности.(1-а)2 + (4-0)2 = 52 – уравнение окружности.

Подставим внего координаты точки А, получим1-2а + a2 + 16 – 25 = 0.111a2 – 2a – 8 = 0.a1 = -2; a2 = 4, значит,О (-2; 0) или О (4; 0).Ответ: (-2; 0) или (4; 0).№ 28*.Составьте уравнение окружности с центром в точке (1;2),касающейся оси х.Заменим уравнение окружности с центром (1; 2), (х – I)2 ++ (у – 2)2 = R2, где R — радиус окружности.

Уравнение оси х: у= 0. Окружность и ось х касаются, значит, система уравнений( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 = R 2имеет единственное решение.y = 0Решим систему.1) y = 0.(х – 1)2 + (0 – 2)2 = R2,х2 – 2х + 1 + 4 – R2 = 0,х2 – 2х + (5 – R2 ) = 0.Система будет иметь единственное решение (а; 0), еслиданное уравнение будет иметь один корень х = а, то есть если DD=0.= 0 или4Это значит:D= 1 – (5 – R2) = R2-4 = 0, то есть R=2, так как R>0. А4значит(х–1)2+ (у – 2)2 = 4 — уравнение искомой окружности.Ответ: (x – 1)2 + (y – 2)2 = 4.112№ 29.Составьте уравнение окружности с центром (-3; 4),проходящей через начало координат.О (-3; 4) — центр окружности, А (0; 0) лежит наокружности, поэтому R2 = (0 + 3)2 + (0-4)2 = 9 + 16 = 25 и(x + 3)2 + (y-4)2 = 25 – уравнение искомой окружности.Ответ: (x + 3)2 + (y – 4)2 = 25.№ 30*.

Какая геометрическая фигура задана уравнением х2 + у2 +22+ ax + bу + с = 0, a + b − c > 0 ?44Преобразуем уравнение х2 + у2 + ax + bу + с = 0,abx 2 + 2 x ⋅ + y 2 + 2 y ⋅ = −c .222  2Прибавим к обеим частям  a + b  : 4x 2 + 2x ⋅24 a ab ba2 b2++ y2 + 2y ⋅ +=+−c2 42 444222a ba2b2+−cx +  + y +  =2 24422Так как a + b − c > 0 , то это уравнение окружности с44центром в точке О  − a ;− b  и радиусом R = 22a2 b2+−c44. Значит,данное уравнение задает окружность.Ответ: окружность.№ 31.Найдитекоординатыточекпересеченияокружностей: x2 + y2 = 1, х2 + у2 – 2х + у – 2 = 0.двухКоординаты точек пересечения двух окружностей x2 + y2 = 1и х + у2 – 2х + у – 2 = 0 являются решением системы2 x 2 + y 2 = 1, 2x + y 2 − 2x + y − 2 = 0 .42431 11 – 2 х + у – 2 = 0,–2х + у – 1 = 0,у = 1 + 2х, подставляем в первое уравнениеx2 + (l + 2x)2 = 1,113x2 + l + 4x + 4x2 – l = 0,5x2 + 4x = 0,45х(5х + 4) = 0, х1=0, x2 = − .

Получим x1 = 0, y = 1. 14x =− , 25 - решения системы. y2 = − 3 .5 4 535Точки пересечения (0; 1) и  − ;−  . 4 535Ответ: (0; 1);  − ;−  .№ 32.Найдите координаты точек пересечения окружностиx2 + y2-8x-8y + 7 = 0 с осью x.Точка пересечения окружности x2 + y2-8x-8y + 7 = 0 с осью xимеет координаты (х; 0). Данная точка также удовлетворяетуравнению x2-8x + 7 = 0.x=8 ± 64 − 28 8 ± 36 8 ± 6; x1 = 7; x2 = 1.==222Значит, точки пересечения (7; 0) и (1; 0).Ответ: (7; 0) и (1; 0).№ 33.Докажите, что окружность х2 + у2 + 2ах + 1 = 0, | а | > 1не пересекается с осью у.Преобразуем уравнение х2 + у2 + 2ax + 1 = 0 к виду:х2 + у2 + 2ax + 1 + a2-a2 = 0х2 + 2ax + a2 + у2 + 1 – a2 = 0.(x + a)2 + у2 + 1 – a2 = 0.Никакая точка (0; у) не удовлетворяет такому уравнению, таккак (0 + a)2 + у2 + 1 – a2 = y2 + 1≠ 0.

Значит, окружность непересекается с осью у.Что и требовалось доказать.№ 34.Докажите, что окружность х2 + у2 + 2ах = 0 касается осиу, а≠0.Найдем точки пересечения (0; у) оси у с окружностью:02 + y2 + 2a·0 = 0,114у2 = 0, у = 0. Получим, что единственная точка пересечения(0; 0). Окружность пересекает ось у в единственной точке (0; 0),а значит, касается оси у.Что и требовалось доказать.№ 35.Составьте уравнение прямой, которая проходит черезточки А (-1; 1), В (1; 0).Задача решена в учебнике на стр.

105 п. 75.№ 36.Составьте уравнение прямой АВ, если: 1) А (2; 3),В (3; 2); 2) А (4; -1). В (-6; 2); 3) А (5; -3), В (-1; -2).Прямая задается уравнением ax + by + c = 0. Если точки А иВ лежат на прямой, то значит, их координаты удовлетворяютэтому уравнению. Подставляя координаты точек А и В вуравнение прямой, получим: 2a + 3b + c = 0 и 3a + 2b + c = 0. Изэтих уравнений можно выразить два коэффициента, например,а и b через с.2a + 3b + c = 0 −23a + 2b + c = 0 3.−4a − 6b − 2c = 0,9a + 6b + 3c = 0.5а + с = 0,1a=− c5Подставим в систему: 1 2 − c  + 3b + c = 0 , 5 1b=− c5Подставив в уравнение прямой значения а и b, получим:1111− cx − cy + c = 0 ; − x − y + 1 = 0 — получается сокращением5555предыдущего уравнения на с.-x – y + 5 = 0; x + y – 5 = 0.Искомое уравнение прямой х + у – 5 = 0.задания 2) и 3) выполняются аналогично.Ответ: 1) x + y – 5 = 0; 2) 3x + 10y – 2 = 0; 3) x + 6y + 13 = 0.115№ 37.Составьте уравнения прямых, содержащих сторонытреугольника ОАВ в задаче 16.Введем систему координат такую, чтоО (0; 0), А (0; 2), В (-4; 0).3) Сторона АО лежит на оси у, тогда, уравнение прямой,содержащей сторону АО, х = 0.4) Подставим координаты точек А и В в общее уравнениеax + by + c = 01c.21–4а+С = 0;·b+c=0, – 4 a= – с, а= с.

Далее уравнение примет4вид:ccx − y + c = 0 , то есть4211x − y +1 = 0 ,42х – 2у + 4 = 0.Уравнение прямой, содержащей сторону АВ, х – 2у + 4 = 0.3) Уравнение прямой, содержащей сторону ВО, у = 0, таккак ВО лежит на оси х.Ответ: x = 0; y = 0; x – 2y + 4 = 0.2) 0·a + 2b + c = 0, 2b = – с, b = −№ 38.Чему равны координаты a и b в уравнении прямой ах ++ bу = 1, если известно, что она проходит через точки(1; 2) и (2; 1)?Подставим координаты точек в уравнение прямой:а + 2b = 1 и 2a + b = l.a + 2b = 1 − 22 a + b = 1116− 2a − 4b = −22a + b = 1,-3b = -1,1b=32a = l – b,11−1− b3 =1=a=2231Ответ: a = b = .3№ 39.Найдите точки пересечения с осями координат прямой,заданной уравнением: 1) х + 2у + 3 = 0; 2) Зх + 4у = 12;3) Зх-2у + 6 = 0; 4) 4х-2у-10 = 0.1) Пусть точка пересечения это (х; 0).

Тогда онаудовлетворяет уравнению прямой, то есть х + 2· 0 + 3=0, х = -3.Значит, точка пересечения (-3; 0).Точка пересечения с осью у (0;у) удовлетворяет уравнениюпрямой:0 + 2у + 3 = 0, у = -1,5.Значит, точка пересечения (0; -1,5).Получаем, что точки пересечения с осями координат (-3; 0)и (0; -1,5).Задачи 2), 3) и 4) решаются аналогично.Ответ: 1) (-3; 0) и (0; -1,5); 2) (4; 0) и (0; 3); 3) (–2; 0) и (0; 3);4) (2,5; 0) и (0; –5).№ 40.Найдите точку пересеченияуравнениями:1) х + 2у + 3 = 0,4х + 5у + 6 = 0;2) Зх – у – 2 = 0,2х + у-8 = 0;3) 4х + 5у + 8 = 0,4х – 2у – 6 = 0.прямых,заданныхКоординаты точек пересечения прямых являютсярешениями системы уравнений, задающих эти прямые:117 x + 2 y + 3 = 0 ⋅ (−4)1) 4 x + 5 y + 6 = 0− 4 x − 8 y − 12 = 0(складываем)4 x + 5 y + 6 = 0-3y – 6 = 0,y = – 2, х=-2у – 3 = 4 – 3=1.(1; -2).3x − y − 2 = 0(складываем)2 x + y − 8 = 02) 5x – 10=0, 5х=10x = 2,y = -2x + 8 = -2·2 + 8 = 4.(2; 4).4 x + 5 y + 8 = 0 ⋅ (−1)3) 4 x − 2 y − 6 = 0− 4 x − 5 y − 8 = 0(складываем)4 x − 2 y − 6 = 0-7у – 14=0 –7у=14,у = -2,4х = 2у + 6 = – 4 + 6 = 2,х = 0,5.(0.5; -2).Ответ: 1) (1; –2); 2) (2; 4); 3) (0,5; –2).№ 41*.Докажите, что три прямые х + 2у = 3, 2x – у = 1 и Зх + у = 4пересекаются в одной точке.Найдем точку пересечения прямых х + 2у = 3 и 2х – у = 1.Координаты точки пересечения этих прямых — это решениесистемы уравнений: x + 2 y = 3,2 x − y = 1.1) х = 3 – 2у подставляем во 2-е уравнение.2) 2·(3 – 2у) – у = 1; 6 – 4у – у = 1,5у = 5, у = 1.1183) х = 3 – 2·1, х = 1.точка пересечения прямых х + 2у = 3 и 2х – у = 1 это (1;1).Подставив в уравнение Зх + у = 4 вместо х и у координатыточки (1; 1), получим:3⋅1 + 1 = 4 — верное равенство.Значит, прямая Зх + у = 4 проходит через точку (1; 1).

Азначит, все три прямые пересекаются в точке (1; 1). Так какникакие две различные прямые не могут иметь более однойобщейточки,то(1; 1) — единая общая точка.Что и требовалось доказать.№ 42*.Найдите координаты точки пересечениятреугольника с вершинами (1; 0), (2; 3), (3; 2).медианПусть в ∆АВС А (1; 0); В (2; 3); С (З; 2), АА1, ВВ1,. СC1 —медианы.1+ 3 0 + 2 B1 ; ; B1 (2; 1).2  2 1+ 2 0 + 3 3 3C1 ; , C1  ; 2 2 2 2Получаем уравнение прямой BB1: x = 2.и уравнение прямой CC1: x – 3y + 3 = 0.Координаты O (xо, yо) — точки пересечения медиан ∆АВСxо = 2 xо − 3 yо + 3 = 0это решение системы xo = 22 − 3 y + 3 = 0,oxо = 25yо = .32Ответ:  2;1  .3Докажите, что прямые, заданные уравнениями y = kx + l1,y = kx + l2 при l1≠l2 параллельны.Задача решена в учебнике на стр.