alimov-9-gdz (Алгебра - 9 класс - Алимов), страница 6

π < α <1 − sin 2 α =cos α =tgα =sin α=cosαсtgα =1=tgα21−5 =21542121=−=−;25255221;21.25) Т.к. π < α <3π,2то sin α < 0 и cos α < 0;cos2 α =84121 + tg α;sin α = − 1 − cos 2 α ;cos α = –1;21 + tg αsin α = − 1 −64;28964225;;sin α = −289289815cosα = −sin α = − .;17173π< α < 2π , то sin α < 0, а cos α > 06) Т.к.21cosα = 1 − sin 2 α ;;sin2 α =21 + сtg αcosα = −sin α =sin α = –−121 + сtg α;11; sin α = –;1010cosα = 1 −cosα =3101;10.268.sin α = 11) если ,cos α = 11 + 1 = 2 ≠ 1, нет;4sin α = − 5,2) если cos α = − 3516 9+= 1, да;25 25sin α = 03) если ,cos α = −10 + 1 = 1, да;1sin α = 3,4) если cos α = − 121 1 13≠ 1, нет.+ =369 485269.1 + tg 2α =12cos αsin α =1) tgα =; 1 + ctg 2α =15;124sin 2 α;1sin α =5 ;ctg 2α = 241= 25.21 5Ответ: да.3cos α = 42) ;ctgα = 73916 161≠,=.1+27793 4Ответ: нет.1 + 24 =13cos α = 4;tg 2α = 97270.Пусть: ∠С = 90°;∠А = α;sin α =2 10;11cosα = 1 − sin 2 α ;cosα = 1 −cosα =869;114081;=121121tgα =sin α;cosαtgα =2 10 9: ;11 11tgα =2 10.9271.Пусть АВ = ВС,tg ∠B = 2 2 ;1cos2 α =cos 2 α =cos α =1 + tg 2α;1.

Т.к. 0 < ∠B < 90°, то91.3272.cos4 α – sin4α =1;818(cos2 α– sin2α)(cos2 α+ sin2α)=(– cos2 α– sin2α)= .1Т.к. sin2α=1– cos2 α, то cos2α–(1– cos2α)= ;89932 cos2α =cos2α =, cosα = ± .81643Ответ: cosα = ± .4273.1) sin α =2 3;52) cosα = −cos α = ± 1 − sin 2 α ;cos α = ± 1 −cos α = ±15;sin α = ± 1 − cos 2 α ;12;25sin α = ± 1 −13;5sin α = ±251;5.274.tg α = 2, значит, сtg α =1)1;21 +2ctgα + tgα−52,5= 2==;1 − 2 − 1,5ctgα − tgα3287sin α cos α−sin α − cos α cos α cos α tgα − 1 2 − 1 1==== ;2)sin α + cos α sin α cos α tgα + 1 2 + 1 3+cos α cos α3)2 sin α + 3 cos α 2 tgα + 3 4 + 3===7;3 sin α − 5 cos α 3tgα − 5 6 − 524)2sin 2 αsin α + 2 cos αcos 2 α=222sin α − cos αsin α+22cos α−cos 2 α2cos 2 α = tg α + 2 = 4 + 2 = 2 .22cos αtg α − 1 4 − 12cos α276.1) 2 sin x + sin 2 x + cos 2 x = 1 ,т.к.

sin2x + cos2x=1, то2sin x + 1 = 1,2sin x = 0.Тогда sin x = 0и x = kπ, k ∈ ∧;2) sin2x – 2 = sin x – cos2x;sin2x + cos2x – 2 = sin x,т.к. sin2x + cos2x=1, тоsin x = –1,πзначит, x = − + 2πn, n ∈ ∧;2−π23) 3cos2x – 1 = cos x – 2sin2x;3cos2x + 2sin2x – 1 = cos x;cos2x + 2 – 1 = cos x;cos2x – cos x + 1 = 0.Пусть t=cos x. Тогдаt2 – t + 1 = 0.

Решим уравнениеD = 1 – 4 < 0. Решения нет.4) 3 – cos x = 3cos2x + 3sin2x.Т.к. sin2x + cos2x=1, то3 – cos x = 3;cos x = 0;х=88π+ πn; n ∈ ∧.2277.1) Т.к. 1 – cos2α = sin2α, то(1–cos α)(1+cos α)=sin2 α.sin 2 αи3) Т.к. tg 2α =cos 2 α22cos α = 1–sin α, тоsin 2 α1 − sin 2 αcos 2 α= tg 2α .5) Т.к.

cos2α + sin2α = 1 иcos2 α=1121 + tg α2) Т.к. sin2 α+cos2 α=1, то2–sin2 α–cos2 α=1.cos 2 α4) Т.к. ctg 2α =sin 2 α2и sin α = 1–cos2 α, то6) Т.к. sin2α + cos2α = 1и sin2 α =, то1221 + tg α= ctg 2α .1 − cos 2 α+ sin α = 1 .11 + ctg 2α, то221 + ctg α+ cos α = 1 .278.cosα ⋅ tgα – 2sinα = sinα – 2sinα = –sinα;cosα – sinα ⋅ ctgα = cosα – cosα = 0;sin 2 α1 cos 2 α (1 + cos α )(1 − cos α )=== 1 − cos α ;1 + cos α 1 + cos α1 + cos αcos 2 α1 − sin 2 α (1 + sin α )(1 − sin α )=== 1 + sin α .1 − sin α 1 − sin α1 − sin α279.1)sin 2 α − 121 − cos α2)12cos α=− cos 2 α2sin α2− 1 = tg α ; tg2= −ctg α ; ctgππ= 3 ; ctg 2 = 3 ;333) cos 2 α + ctg 2α + sin 2 α = 1 + ctg 2α =sinπ 1= ,6 21πsin62π 1= ,3 21cos2π31sin 2 α,= 4;4) cos2 α + tg 2α + sin 2 α = 1 + tg 2α =cosππ=1; − ctg 2 = −1 ;441cos2 α,= 4.89280.1) 1 − sin 2 α 1 − tg 2α = 1 .()(()) cos1Тогда 1 − sin 2 α ⋅cos 2 α ⋅1cos 2 α2α=1;= 1 , 1 = 1.Получим тождество.2) sin 2 1 + ctg 2α − cos 2 α = sin 2 α .()Значит sin 2 α ⋅1sin 2 α− cos 2 α = sin 2 α ;1 − cos 2 α = sin 2 α .Тождество sin 2 α = sin 2 α .281.()1) 1 + tg 2α ⋅ cos 2 α =()1cos 2 α2) sin 2 α 1 + ctg 2α = sin 2 α ⋅⋅ cos 2 α = 1;1sin 2 α= 1;1  2sin 2 α + cos 2 α2α⋅α=⋅ sin 2 α ⋅ cos 2 α = 1 ;3) 1 + tg 2α +sincossin 2 α sin 2 α ⋅ cos 2 α121 + tg 2α2cos 2 α - tg 2α = sin α - tg 2α = 0 .α=4)tg211 + ctg αcos 2 αsin 2 α282.1) (1 – cos2α)(1 + cos2α) = sin22α;1 – cos22α = sin22α;sin22α = sin22α.

Верное тождество.−1;+1sin αcos α−1sin α − 1=;1 − sin 2 α 1 + sin αsin α − 11=−;(1 − sin α )(1 + sin α ) 1 + sin α2)sin α − 12=11=−. Верно.1 + sin α− (1 + sin α )903) cos4α – sin4α = cos2α – sin2α;(cos2α + sin2α)( cos2α – sin2α) = cos2α – sin2α;cos2α – sin2α = cos2α – sin2α. Верное тождество.4) (sin2α – cos2α)2 + 2sin2α ⋅ cos2α = sin4α + cos4α;sin4α – 2sin2α ⋅ cos2α + cos4α + 2sin2α ⋅ cos2α = sin4α + cos4α;sin4α + cos4α = sin4α + cos4α. Верное тождество.5)sin α1 + cosα2+=;1 + cosαsin αsin αsin 2 α + (1 + cosα )22;=(1 + cosα )sin αsin αsin 2 α + 1 + 2 cosα + cos 2 α2;=(1 + cosα )sin αsin α2(1 + cosα )222;.

Верное тождество.==(1 + cosα )sin α sin α sin α sin αsin α1 + cosα6);=1 − cosαsin αsin α (1 + cosα )1 + cosα;=(1 + cosα )(1 − cosα )sin αsin α (1 + cosα ) 1 + cosα;=sin α1 − cos 2 αsin α (1 + cosα )2=1 + cosα;sin αsin α1 + cosα 1 + cosα. Верное тождество.=sin αsin α117)+=1;21 + tg α 1 + ctg 2αcos 2 α + sin 2 α = 1 ; 1 = 1, ч.т.д.8) tg2α – sin2α = tg2α ⋅sin2α;sin 2 α2cos α222− sin α = tg α ⋅ sin α ;sin 2 α − sin 2 α ⋅ cos 2 α(cos 2 α22sin α 1 − cos α2cos α22= tg α ⋅ sin α ;) = tg 2α ⋅ sin 2 α ;tg2α ⋅ sin2α = tg2α ⋅ sin2α, ч.т.д.91283.(sin α + cos α )2 − 1 + ctg 2α = 1 − 2 sin α cos α − 1 =1)sin 2 αsin 2 αsin 2 α2 sin α cos α== 2ctgα ;sin 2 α(ctg1π=;332ctg22 3π==;3332) (1 + tg 2α ) −=)(sin α − cos α )22cos α=12cos α−1 + 2 sin α cos αcos 2 α2 sin α cosα= 2tgα ;cos 2 αtg1π=;632 tgπ22 3==.633284.sinα – cosα = 0,6.Возведем в квадрат(sinα – cosα)2 = 0,36;sin2α – 2sinαcosα + cos2α = 0,36.Т.к.

sin2α + cos2α = 1, то1 – 2sinαcosα = 0,36;2sinαcosα = 1 – 0,36 = 0,64;sinαcosα = 0,32.285.cos3α – sin3α = (cosα – sinα)(cos2α + cosα⋅ sinα + sin2α);cos3α – sin3α = 0,2 ⋅ (1 + cosα⋅ sinα);т.к. cosα–sinα = 0,2. Возведем в квадрат(cosα – sinα)2=0,04;cos2α – 2cosαsinα+sin2α=0,04;1–2 cosαsinα= 0,04;cosαsinα=0,48, тоcos3α – sin3α = 0,2 ⋅ (1 + 0,48) = 0,2 ⋅ 1,48 = 0,296.92=286.1) 3cos2x – 2sin x = 3 – 3sin2x;3cos2x + 3sin2x – 3 – 2sin x = 0;2sin x = 0;sin x = 0.Тогда x = πn, n ∈ ∧.2) cos2x – sin2x = 2sin x – 1 – 2sin2x;cos2x – sin2x + 1 + 2sin2x = 2sin x;2 = 2sin x;sin x = 1.πЗначит x = + 2πn , n ∈ ∧.2287.πππ π  π π1) cos −  sin  −  + tg  −  = − cos ⋅ sin − tg =634634 =−333 3⋅− 1 = − − 1 = −1 ;2 2442)13 = 3 +1 = 4 = 1 ;==2+13 3⋅ 4 3⋅ 4 330°) 1 + ctg 30°1 + tg 2 ( 30°)1 + ctg 2 (1 + tg 2 30°1+ π  π π π3) 2 sin  −  cos −  + tg  −  + sin 2  −  =663  42= −2 sin=− 21 3ππππ =cos − tg + sin 2 = −2 ⋅ ⋅− 3 + 2 66342 23 2 3 1 1− 3 3−+ =;2222 π3  π4) cos(− π ) + ctg  −  − sin  π  + ctg  −  = 22  4= cos π − ctgππ3+ sin π − ctg = −1 + 0 + (−1) − 1 = −3 .224288.tg(–α) ⋅ cosα + sinα = –sinα + sinα = 0;cosα – ctgα(–sinα) = cosα + cosα = 2cosα;93cos( α) + sin( α)22cos α − sin α=cos α − sin α1=;(cos α + sin α )(cos α − sin α ) cos α + sin αtg(–α) ⋅ ctg(–α) + cos2(–α) + sin2α = 1 + 1 = 2.289.cos 2 α − sin 2 α+ tg (−α) cos(−α) =cos α + sin (- α )=(cos α + sin α )(cos α − sin α )cos α − sin αsin α == cosα + sinα – sinα = cosα.290.ππ π2 π 3 13 − sin  −  − cos  −  3 + sin − cos 2−3+ 3 33324 = 11 + 2 3 ;==1)π π4⋅ 222 cos2 cos − 2⋅4 423ππ12) 2sin  −  – 3ctg  −  + 7,5tg(–π) + cos  − π  =648 2 11= 2 ⋅  −  − 3 ⋅ ( −1) + 7,5 ⋅ 0 + ⋅ 0 = −1 + 3 = 2 .8 2291.sin 3 (−α ) + cos3 (−α )=1)1 − sin(−α ) cos(−α )=(cos α − sin α )(cos2 α + cos α sin α + sin 2 α ) =1 + sin α cos α(cosα − sin α )(1 + cosα sin α )== cosα − sin α ;(1 + cosα sin α )2)1 − (sin α + cos(−α )) 2 1 − (1 + 2 sin α cosα ) − 2 sin α cosα=== −2 cosα .sin αsin α− sin(−α )292.1) sin(–x) = 1;sin x = –1.Тогда x = –π+ 2πn, n ∈ ∧.22) cos(–2x) = 0;cos2x = 0;2x =π+ πn.2Значит, x =94π πn, n ∈ ∧.+4 23) cos(–2x) = 1;cos2x = 1;4) sin(–2x) = 0;2x = 2πn.2x = 2πn;Поэтому x =πn, n ∈ ∧.2и x = πn, n ∈ ∧.5) sin(–x) = sin3π;26) cos(–x) = cosπ;–sinx = –1; sinx = 1.cos x = –1.πПолучим x = + 2πn, n ∈ ∧.2Тогда x = π + 2πn, n ∈ ∧.293.1) cos 135° = cos(90° + 45°) = cos 90° cos 45° − sin 90° ⋅ sin 45 o == 0⋅222;=−-1⋅2222) cos120° = cos(90° + 30°) = cos 90° cos 30° − sin 90° sin 30° =311− 1⋅ = − ;2223) cos150° = cos(90° + 60°) = cos 90° cos 60° − sin 90° sin 60° == 0⋅133;= 0 ⋅ − 1⋅=−2224) cos240° = cos(180° + 60°) = cos180° cos60° − sin180° sin 60° =131= −1⋅ − 0 ⋅=− .222294.1) cos 57°30′ ⋅ cos 27°30′ + sin 57°30′ ⋅ sin 27°30′ =3;22) cos 19°30′ ⋅ cos 25°30′ − sin 19°30′ ⋅ sin 25°30′ == cos(57°30′ − 27°30′) = cos 30° =2;27π11π7π11π 7 π 11π − sin⋅ sin= cos+3) cos ⋅ cos = cos 2π = 1 ;99999  9= cos(19°30′ − 25°30′) = cos 45° =4) cosππ8π8π 8π π ⋅ cos + sin ⋅ sin = cos+  = cos π = −1 .7777 7 795295.1) Т.к.