Глава 6 - Точечные группы, пространственные группы, кристаллическая структура (Учебник), страница 4

6.10. Поскольку р=,кь90', то ось г расположена не перпендикулярно плоскости рисунка, а наклонно. Моноклинная базоцентрированная решетка пространственной группы С2 характеризуется наличием узлов решетки в начале координат (координаты О, О, 0) и в центре граней, ограниченных ребрами а и Ь (координаты '/в, '/в, О). Поэтому любой позиции с координатами х, у, г в данной пространственной группе соответствует позиция с координатами х+'/2, у+'/~, г (т. е.

(х, у, г)+('/з, '/в, 0)). Изображение такой центрировки отсутствует на рис. 6.10, б. Этот случай изображен только на рис. 6.10, а. Порождающим элементом симметрии в пространственной группе С2 выступает поворотная ось второго порядка д, совпадающая с Ь (т. е. при х=О, г=О) и расположенная в плоскости рисунка (обозначена стрелкой).

Другие элементы симметрии возникают в результате сочетания поворота вокруг оси второго порядка и центрировки ячейки. Этими элементами 252 о. Точечные группы. пространстнепньп группы симметрии являются поворотная ось второго порядка е, параллельная 6 и пересекающая ось х в точке '/~, а ось г в точке О, и две винтовые оси второго порядка (/ и д), также параллельные й и пересекающие ось х в точках '/4 и '/4 и ось г в точке О. Винтовые оси, расположенные в плоскости рисунка, обозначены полустрелками.

Кратность эквивалентных позиций в пространственной группе С2 равна четырем. Проследим, как возникает система эквивалентных позиций. Выберем в качестве примера общей позиции точку 1. Позиции 1', 1" и 1'" — эквивалентные ей позиции в соседних элементарных ячейках. Поскольку ячейка базоцентрирована, то внутри нее возникает еще одна эквивалентная позиция 2, которая получается нз позиции 1 путем ее перемещения на ('/2, '/2, 0). При повороте позиции 1 вокруг оси второго порядка д на угол 180' возникает позиция 3'.

Поскольку координата г позиции 1 положительна, то координата г позиции 3' должна быть отрицательной, Аналогично позиции 2 и 4' преобразуются друг в друга путем поворота вокруг той же оси второго порядка. Позиции 4 и 4' — идентичные позиции в соседних элементарных ячейках. Позиция 4 возникает также из 3' в результате того, что ячейка базоцентрированная. Позиции 1 и 3, 2 и 4, 1'" и 3' и др. связаны порожденной поворотной осью второго порядка е.

Винтовая ось второго порядка / связывает, например, позиции 1 и 4: под действием трансляции позиция 1 перемещается на половину периода решетки вдоль оси у (при этом координаты х и г этой точки не меняются) и попадает в позицию, отмеченну~о штриховым кружком, а затем при повороте на 180' вокруг оси, параллельной оси у и пересекающей ось х в точке '/4, а ось г в точке О, попадает в позицию 4. Повторение этой симметрической операции преобразует позицию 4 в позицию 1', которая эквивалентна исходной позиции 1. Аналогично связаны позиции 3', 2 и 3"; 3,2' и 3"', 1"', 4' и 1" и т. д. Винтовая ось д связывает в свою очередь позиции 3, 2 и 3"' и т. д. Позиции 1 — 4 имеют следующие координаты: х, у, г; х+'/,, у+ /21 г~ х, у, г1 /2 х, /2+ у, г.

Поскольку позиции 3 н находятся за плоскостью рисунка, они не попадают в выбранную элементарную ячейку. Внутри данной элементарной ячейки позиции, эквивалентные 3 и 4, имеют координаты: х, у, У и '/~ — х, '/~+у, Е При этом вторая группа эквивалентных позиций связана с первой условием центрировки ячейки (т. е. к координатам позиций первой группы следует добавить ('/2, '/~,0), чтобы получить координаты второй группы). В справочниках (например, в «Интернациональных таблицах») обычно приводятся координаты позиций лишь первой группы с указанием на то, что координаты остальных эквивалентных позиций полу- 6.2, Пространственные группы симметрии чаются из условий центрировки. Зто значительно сокращает и упрощает обозначения эквивалентных позиций в более сложных пространственных группах высшей категории.

Кратность общих позиций пространственной группы С2 равна четырем. Бсли эти позиции находятся на поворотных осях второго порядка, кратность их уменьшается до двух, н они становятся частными позициями. Так, например, если х=з=О, то две позиции имеют координаты О, у, 0 и '/в, у+'/ь О. Вторая группа частных позиций появляется при х=О, я='/~. (Читатель может проверить самостоятельно, что существует еще одна ось второго порядка, параллельная б и пересекающая ось х в точке О, а ось г в точке '/~. Зта ось не изображена на рпс. 6.10. Она находится на с/2 выше оси д.) Ранее уже указывалось, что центрировка решетки или наличие открытых элементов симметрии ведет к систематическому погасанию рефлексов на рентгенограммах.

Для кристаллов пространственной группы С2 на рентгенограммах присутствуют лишь такие рефлексы, индексы ЙИ которых удовлетворяют условию /т+И=2п, поскольку решетка базоцентрированная. Наличие винтовой оси 21, параллельной К налагает следующее условие появления рефлексов ОйО: Й=2л.

Последнее условие, вообще говоря, является также следствием базоцентрированности решетки, так как в том случае, если 6=1=0„условие Й+ +й=2н сводится к условию /е=2п. 6.2.3. Моноклиннаа аруппа С2/т Комплекс элементов симметрии и система эквивалентных позиций данной пространственной группы приведена на рис. 6.11. Эта пространственная группа также характеризуется базоцентрированной решеткой (С), но в отличие от предыдущего примера в число элементов симметрии этой группы входит плоскость зеркального отражения, перпендикулярная (/) оси второго порядка.

Согласно принятой договоренности, ось второго порядка расположена параллельно 6, и, следовательно, плоскость зеркального отражения †э плоскость хг. В элементарной ячейке имеются две плоскости зеркального отражения: одна проходит через начало координат, другая сдвинута вдоль оси у на расстояние Ь/2.

На рис. 6.11 эти плоскости изображены жирными вертикалями. Как и в случае пространственной группы С2, в число элементов симметрии пространственнои группы С2/т входят две поворотные оси второго порядка, параллельные 6 и пересекающие а в точках О и '/~, и две винтовые оси второго порядка 2ь также параллельные Ь, но пересекающие а в точках '/4 и '/4.

Все эти оси 2 и 21 расположены в плоскости ху, т. е. с=О. Еще одна группа осей симметрии распо- 254 6, Точечные группы, пространственные группы ложена на высоте с='/, над плоскостью рисунка (на рис. 6.11 эти оси не изображены). Кроме того, как будет показано ниже, в число элементов симметрии данной пространственной группы входят центры симметрии и плоскости скользящего отраженияя. Кратность системы общих эквивалентных позиций для пространственной группы С2/и равна восьми.

Вся система эквивалентных позиций генерируется из исходной позиции 1 путем про- 6 () 3 Рис. 6.11. Пространственная группа С2/т моноклинной кристаллографической системы. Координаты эквивалентных позиций: О, О, О: х, у, г; х, у, г; Б, д, У; х, Д, е; /2, /з, О: /2+х, /2+6, 3; /2+х» /2 — У~ а1 /2 хю /2+Я> й1 /з — х, /2 — Д, х ведения различных симметрических операций (поворот вокруг оси второго порядка, отражение в плоскости симметрии) и использования особенностей центрировки элементарной ячейки, Так, условие центрировки ячейки позволяет получить позицию 2, эквивалентную позиции 1, путем трансляции на '/з, '/з,О.

При повороте вокруг оси второго порядка, проходящей через начало координат, позиция 1 преобразуется в позицию 6'. Аналогичным образом ось второго порядка, проходящая через точку а='/2, с=0, связывает позиции 3 и 2. В то же время позиция 3 возникает также как позиция, эквивалентная позиции 6', с учетом центрировки ячейки. При отражении в плоскости симметрии, проходящей через начало координат, позиция 1 преобразуется в 8", позиция 6' — в 7'". Заметим, что и позиция 1, и позиция 8" лежат выше плоскости рисунка на одной высоте, а запятая внутри символа позиции 8" означает, что она энантиомерна позиции 1.

Позиции 4 и 6 связаны с 8 и 2 плоскостью зеркального отражения, проходящей через точку с координатами (О, '/2, 0); позиции же 4 и Б возникают как эквивалентные позиции точек 7'" и 8" при учете центрировки ячейки, 6.2. Пространственные группы симметрии Приведем координаты всех восьми эквивалентных позици11 (если в скобках указан номер позиции, то соответствующая точка находится внутри выбранной элементарной ячейки): х. У (1) ! х+ /2 У+ /2 з (2) 1 /2 х! /в+У Т; /2 — х, /2 Ут Й+х, '/е — у, г ('Б); Ы, ц, Г; х, у, У; х, у, з (8).

Эту систему эквнвалентных позиций можно разбить на две группы по четыре позиции, связанные друг с другом условием центрировки ячейки- Координаты позиций обеих групп указаны на рис. б.11. В двиной пространственной группе существуют также частные позиции, например если точка имеет координату д=-О, то эта позиция будет иметь кратность, равную четырем (координаты эквивалентных точек:-х, О, я; Ю, О, х; х+'/, '/,, з; '/~ — х, '/в, У). Если две координаты позиции равны нулю (х=у=О), а координата г='/., то возникает частная двукратная позиция (О, О, '/в и Чв» '/я 'Ь) . Сочетание плоскости зеркального отражения, перпендикулярной оси второго порядка, и центрировки ячейки порождает несколько новых элементов симметрии.

К пим относятся винтовые оси 2ь параллельные Ь, центры симметрии в плоскости скользящего отражения. Например, центр симметрии в пнчпле координат связывает позицпи 1 и 7"', 6' н 8". Жирная гптриховая линия на рис. 6.11, б обозначает плоскость скользящего отражения д. Соответствующей ей симметрической операцией является трансляция на расстояние а/2 и отражение в плоскости, перпендикулярной Ь. Проследим отражение со скольжеиием точки 1 в данной плоскости.