Глава 6 - Точечные группы, пространственные группы, кристаллическая структура (Учебник), страница 5

При трансляции на а/2 позиция 1 преобразуется в позицию, обозначенную штриховой окружностью; при отражении в плоскости д, пересекакпцей ось Ь в точке '/4, эта позиция преобразуется в позицию б. Повторение этой операции преобразует позицию б в позицик> 1', которая эквивалентна исходной позиции 1. Аналогично плоскость скользящего отражения, проходящая через точку с координатами (О, '/4, 0), связывает позиции 8, 2 и 8"'. Наличие плоскостей скользящего отражения в кристалле можно иногда обнаружить по погасанию отдельных рефлексов: на рентгенограмме.

Так, при наличии плоскостей скользящего отражения, аналогичных плоскости о; условием существования рефлексов Й01 является 6=2п (т, е. наблюдаются отражения от плоскостей п01, у которых й — четное число). В пространствепной группе С2/т это условие вытекает из более общего условия систематического погасания рефлексов, связанного с центрпровкой ячейки, поскольку в базоцентрированной решетке условием существования рефлексов ЬИ является /т+И=2п. Таким образом, в данном случае из рентгеновских данных невозможно однозначно сделать вывод о существовании плоскостей скользящего отражения. 6. Точечные группы, пространственные группы 6.2.4. Ромбическая группа Р2221 Эта пространственная группа ромбической кристаллографической системы характеризуется примитивной решеткой, наличием поворотных осей второго порядка, параллельных х и у, и винтовой оси второго порядка, параллельной г.

Особенность данной пространственной группы (рис. 6.12) заключается в том„ что поворотная ось второго порядка, параллельная ц, находится выше плоскости рисунка на '/4. Это затрудняет наглядное 1+ 2' 2( ) Д2 -С) Ю -О О 2Д 4 -0 О з' — ч 1 винтовая ось 2,,параллельная и Рис, б.12. Пространствснная группа Р222, ромбической кристаллографической системы. Координаты эквивалентных позиций: х, д, а; х, у, Т; х, у, /~+а; Х~ У1 /2 представлепие в сего семейства эквивалентных позиций. Рассмотрим прежде всего поворот вокруг оси, параллельной у и проходящей через точку с координатами О, О, '/»). Координата г исходной позиции 1 выражена небольшим положительным числом +г.

Поворотная ось второго порядка находится на высоте г='/», поэтому позиция 1 находится яике этой оси на расстоянии '/» — г. При повороте вокруг данной оси позиция 1 преобразуется в новую позицию 2', которая находится выше оси на расстоянии '/» — г от нее. Таким образом, координата г точки 2' равна '/»+('/» — г) ='/л — г. Рассмотрим теперь ось второго порядка, параллельную х и проходящую через начало координат (т. е.

Ь=с=О). При повороте вокруг этой оси позиция 1 преобразуется в 3", позиция 2' — в 4"'. Эти две симметрические операции (поворот вокруг осей, параллельных осям у и х) порождают все семейство эквивалентных позиций для данной пространственной группы. Третья ось — винтовая ось 2ь параллельная а,— порождается двумя другими осями. Рсь 21 связывает, например, позиции 1 и 4'", т. е. позиция 1 преобразуется в 4"' при трансляции на с/2 и последующем повороте на 180' 6,2.

Пространственные группы симметрии 257 О' 'ОО О' .О О- "'О -О 2О "'О О ОО "О О О'/г' О О 1 "41 "'~1 'с~ 'с1 'с~ Рис. 6.13. Пространственная группа Г222 ромбннеской кристаллографинеской системы. Координаты эквивалентных позиций; О, О, О: х, у, х; х, у, г; х, у, х; х» у» г; О, /г» /г~ х» у+ /г» я+ /г» х» /г у» /г+х» х» /г у» /г хз х» /г+у, /г 81 /г» О, /г /г+х, у, /г+я; /г — х, у /г+л; /г+х, у, /г — х, /г — х у /г — х, /г. '/г, О: /г+х, ~/г+у, х; ~/г — х, /г — у, х; 1/г+х, '/г — у, г; '/г — х, '/г+у, х. дящие через начало координат.

Другие оси второго порядка порождаются этими элементами. Среди них можно упомянуть в качестве примера ось, параллельную Ь и пересекающую элементарную ячейку в точке с координатами '/4, О, '/4, или ось, параллельную е и пересекающую элементарную ячейку в точке с координатами '/4, '/4, О. Кроме поворотных осей возникает много винтовых осей 2ь например ось, параллельная с при а=О и Ь= '/4, или другая ось, параллельная а при Ь= 1/4 и с=О, 17 †11 вокруг оси с. Аналогично связаны позиции 2' и 3". На рис. 6.12 указаны координаты эквивалентных позиций. Единственным элементом симметрии, существование которого приводит к систематическому погасанию рефлексов на рентгенограммах, является винтовая ось 2,, параллельная г, т.

е. из всех рефлексов с индексами 001 на рентгенограммах присутствуют только те, У которых /=2п. В пространственной группе Р222~ имеется несколько семейств частных 'двукратных позиций, например при у=а=О (т. е. х, О, 0; У, О, '/г). б.2.б. Ромбическая группа Р222 Особенность данной пространственной группы состоит в том, что она характеризуется гранецентрированной решеткой. К ак дно из рис. 6.13, это ведет к значительному увеличению числа элементов симметрии и эквивалентных позиций.

Основными (порождающими) элементами симметрии являются три пересекающиеся оси второго порядка, параллельные х, у и г и прохо'с Г ~~ 1 'с ~ Т О' 2О О2 О 1/ г О/г 'О О "г'О О/г '/ О'/г О О '/гО О'/г ю а О- "'О О" .О !/ 258 6. Точечные группы, пространственные группы Кратность общей системы эквивалентных позиций в пространственной группе Р222 равна 16. В соответствии с условием центрировки эти позиции можно разбить на четыре группы: (О, О, 0); ('/2, '/2, 0); ('/2, О, '/2) и (О, '/2, '/2). Так, позиция 1 (х, у, г) связана с позициями 2, 3 и 4 (х+'/2, у+ /2, г' х+ /2 у я+~/2 и х, у+~/2,,з+ /2) условием центрировки, Совсем несложно преобразовать позиции 1 — 4 в другие эквивалентные позиции, проводя соответствующие симметрические операции.

На рис. 6.13 указаны координаты эквивалентных позиций. б.2.6. Тетрагональная группа /41 Основной осью симметрии данной пространственной группы (рис. 6.14) является винтовая ось 41, параллельная г, Существуют четыре такие оси, которые пересекают элементарную ячейку в точках х=~/4, у=1/4, 'х=з/4 у=~/ ' х= /» у=а/4 и 'о х с)3( + с' О.

винтовая ось 4, Рис, 6.14. Пространственная группа 14~ тетрагональной кристаллографнческой системы. Координаты эквивалентных позиций: О, О, О: х, у, а; х, у, а; у, '/2+х, /»+Я; у> /2 — х, /»+х; 12, /2> /2' .х+ 12> У+ 12> и+ Ъ /2 — х, /2 — д> 12+а. 12 ц, Х, /»+Я; /2+У> Х, /4+8. х='/4, у='/4. Операция винтового поворота вокруг оси 41 представляет собой поворот на 90' вокруг этой оси и сдвиг вдоль оси поворота на '/4 трансляции по данному направлению.

Позиции / — 4 связаны между собой винтовой осью 4ь обозначенной на рис. 6.14 символом з. Можно заметить, что эти позиции расположены по спирали вокруг оси з. Для обозначения винтовых осей 41 использованы два разных символа — з и 1, которые указывают на то, что поворот вокруг этих осей идет в разных направлениях, Символом з обозначена ось, вращающая по часо- 6.3. Пространственные группы и кристаллические структуры вой стрелке, а символом 1 — ось, вращающая против часовой стрелки (т.

е. последовательность позиций по высоте следующая: 7', 2, о, 4'). Позиции 1 — 4 и б — 8 связаны между собой, посколькуячейка является объемноцентрированной. Кратность эквивалентных позиций равна восьми. Координаты эквивалентных позиций указаны на рис. 6.14, Основные элементы симметрии порождают осп второго порядка, параллельные оси г. Прн составлении правил систематического погасания рефлексов на рентгенограммах структур данной пространственной группы необходимо учитывать два обстоятельства. Во-первых, для объемноцентрированной решетки разрешенными являются такие рефлексы ЙИ, у которых /г+/с+1=2л. Во-вторых, прп наличии винтовой оси 4г из всех рефлексов 00/ наблюдаются лишь те, у которых 1=4и. 6.3.

Пространственные группы и кристаллические структуры Дальнейшее обсуждение имеет целью показать, как на основании известной пространственной группы и координат атомов построить модель кристаллической структуры (пли изобразить ее графически с помощью рисунка). В качестве примера более или менее подробно рассмотрим две кристаллические структуры. Позже (гл. 7) дан более систематический кристаллохнмический обзор структур. о.3.1. Структура перовската 5гТгОз Вот основные сведения, которые необходимо знать для построения модели кристаллической структуры перовскита: Элеггентарная ячейка: кубическая, а=3,905 А Пространственная ардона; Рггг3гтг (№ 221 в «Интернациональных таблицах», т.

1) Координаты атомов: Т1 О, О, О; (позиция 1(а)) яг '/г, '/и, г/г (позиция 1(Ь)) О О, ОД» (позиция (осг)) Структура перовскита относительно проста, несмотря на то что она принадлежит к весьма сложной пространственной группе РгцЗ~п. Дело в том, что все ионы в структуре перовскита занимают частные позиции. Кратность общей системы эквивалентных позиций для пространственной группы РтЗт равна сорока восьми. Однако ионы расположены на закрытых элементах симметрии, и, следовательно, кратность частных позиций понижена. Ионы титана занимают частную однократную позицию в начале координат элементарной ячейки, символ 1(а) указывает на то, что кратность позиции равна единице, а буква а указывает на тип частной позиции, согласно классифика- 260 6.

Точечные группы, пространственные группы ции Викоффа. Ион стронция также занимает частную однократную позицию 1(Ь) в центре элементарной ячейки. Ион кислорода занимает частную трехкратную позицию д(Ы). Координаты 'с а а о ПЛОТНО ные с Е 5Г До 3Г Рис, 6.15. Структура перовскита ЗТТ10в. одной из этих позиций: О, О, '/в. Таким образом, недостающей информацией являются лишь сведения о координатах остальных ионов кислорода. Эти сведения можно получить из «Интернациональных таблиц», так как известна пространственная группа, к которой относится структура перовскита. Итак, координаты двух других кислородных ионов: О, Ъ О и 'й, О, О. Имея всю эту информацию, прежде всего можно построить проекцию кубической элементарной ячейки (рис. 6.15,а), обозначив на ней координаты ионов.