Глава 6 - Точечные группы, пространственные группы, кристаллическая структура (Учебник)

238 б, Точечные группы, пространственные группы Таблица 6.1. Закрытые элементы симметрии Графическое изображение, обозначение Символ элементы симметрии пет Поворотные оси Нет — б 1 2 (— = гп) Инверснонные оси 3 (=3+1) 4 Плоскость зеркального т отражения а Ииверсионная ось 1 эквивалентна центру симметрии, который в пространственных группах обозначается кружком (ОЬ Однако в точечных группах этот элемент симметрии графического обозначения формально не имеет, несмотря на то что он встречается во многих точечных группах.

б Инверсиоииая ось 2 ие имеет особого графического обозначения. Ее обычно обозначают так жс, как плоскость зеркального отражения„поскольку эти элементы симметрии эквивалентны друг другу. 6.1. Кристаллографические точечные группы Кристаллы могут иметь следующие закрытые элементы симметрии: поворотные оси 1, 2, 3, 4 и 6, инверсионные оси 1, 2, 3, 4 и 6, плоскости зеркального отражения и (они эквивалентны оси 2), причем могут присутствовать как один какой-нибудь элемент симметрии, так и несколько различных сочетаний. Всего существует 32 различные кристаллографические точечные группы, в которые входят разные комбинации закрытых операций симметрии. Далее используются такие же способы обозначения точечных групп, которые рекомендуются в «Интернациональных таблицах» (1п1егпа1)опа1 ТаЫез аког Х-гау бгуз1а11одгарЬу, 1965, ч, 1).

В табл. 6.1 приведены применяемые символы для обозначения закрытых элементов симметрии. Все 32 то- 6.1, Кристаллографические точечные Таблица 6.2. Тридцать дае кристаллографические точечные группы Кристаллографическая система Точечные группы 1, 1 2, т, 2/т 222, тт2, ттт 4, 4, 4/т, 422, 4тт, 42т, 4/ттт 3, 3, 32, Зт, Зт 6, 6, 6/т, 622, 6тт, 6т2, 6/ттт 23, тЗ, 432, 43пг, твт Триклппная Моноклннная Ромбическая Тетрагональпая Тригональная Гексагональная Кубическая чечные группы, классифицированные по их принадлежности к различным кристаллографическим системам, перечислены в табл.

6.2 и в приложении (разд. 5). 6.1.1. Примеры некоторых точечных групп Для графического изображения закрытых элементов симметрии, входящих в комплекс элементов симметрии точечных групп, пользуются стереографическими проекциями. Их часто применяют, например, в геологии для изображения направлений в кристаллах и для графического представления взаимной ориентации граней кристалла. Для понимания следующего материала надо знать, что элементы симметрии точечных групп изображаются на плоскости внутри круга (проекция сферы), причем одна из осей симметрии, перпепдикулярная плоскости круга, проходит через его центр.

На рис. 6.1 изображены схемы трех точечных групп, относящихся к ромбической кристаллографической системе, причем каждой группе соответствуют по две диаграммы: справа показано расположение входящих в данную точечную группу элементов симметрии, слева — системы эквивалентных позиций, возникающие в результате проведения операций симметрии. 6.1.1.1. Точечная группа 222.

Эта точечная группа ромбнческой кристаллографическои системы содержит три взаимно перпендикулярные оси второго порядка. Ось, перпендикулярная плоскости рисунка, изображена соответствующим символом в центре круга (рис. 6.1, а, справа). Оси, расположенные горизонтально н вертикально в плоскости рисунка, изображены в виде двух пар соответствующих символов, находящихся на окружности. Наличие трех взаимно перпендикулярных осей приводит к возникновению в круге системы эквивалентных позиций.

В дан- 240 6. Точечные группы, простренственпыс группы тт2 ную систему входят четыре точки. Говорят, что кратность этих' позиций равна четырем. Эквивалентная позиция на самом деле аналог понятия одинаковая ориентация, которым мы пользовались при определении элементов симметрии.

Так, наличие одной оси второго порядка означает, что фигура, обладаю1цая такими элементами сим- С метрии, имеет две одинаковые ориентации (т. поворот на 180' преобразует эту фигуру в эквивалентную ей фигуру). ДруО 222 гими словами, наличие оси второго порядка означает появление системы б эквивалентных позиций, 1 2 кратность которых рав11а двум. Темными и светлыми кружками па рис. з 6,1, а — в (слева) обозна° Ю чены эквивалентныс позиции, не находящиеся в плоскости чертежа. Ьудем считать, что темные круук- 8 О ки относ51тс51 к позициям над плоскостью рисунка, а светлые — на таком же тгп1п расстоянии за плоскостью рисунка. На рис. 6.2 показана последовательность опеРис. 6.1, Точечные группы ромбической кристеллографической системы р ц "р "в дяп"иХ никновению системы эквивалентных позиций в точечной группе 222.

Выберем в качестве исходной позиции пскоторую точку на рис. 6.2, а. (Вертикаль, делящая круг пополам, необходима просто для большей наглядности.) Пусть, кроме того, имеется ось второго порядка, перпендикулярная плоскости рисунка; поворот вокруг этой оси приводит к появлению второй эквивалентной точки (рис. 6.2,6). Обе точки расположены па одинаковой высоте над плоскостью чертежа, так как ось второго порядка перпендикулярна плоскости рисунка, При добавлении еще одной, например горизонтальной (в плоскости рисунка), оси второго порядка и проведении соответствующей симметрической операции каждая из точек рис. 6.2, б преобразуется в соответствующий светлый кружок (рис.

6.2, в). Возникает система эквивалентных позиций кратностью 4. Поскольку вторая поворот- 6.1. Кристаллографические точечные группы ная ось расположена в плоскости рисунка, то две новые позиции (светлые кружки) должны находиться за плоскостью рисунка.

Сравнив рис. 6.2, в и г, можно заметить, что добавление третьей оси второго порядка, расположенной вертикально в плоскости рисунка, не ведет к возникновению новых эквивалентных позиций по сравнению с четырьмя уже имевшимися на рис. 6.2,8.

Фактически третья ось симметрии второго порядка присутствует Рнс. 6.2. Система зквивалентных позиций для точечной группы 222. 1 — возникновение зквивалентной позиции связано с присутствием оси второго порядка, перпендикулярной плоскости рисунка; 2 — появляется вторая ось второго порядка, расположенная горизонтально в плоскости рисунка; 3 — добавляется, еще одна ось второго порядка, расположенная вертикально в плоскости рисунка, Последняя ось появляется как следствие возникновения горизонтальной: поворотной осн второго порядка (т. е. переход 2).

уже па рис. 6.2, в. Она возникает при поворотах вокруг двух других осей второго порядка. Таким образом, точечную группу 222 можно записать в виде 22 (сокращенная форма записи точечных групп), поскольку указание на присутствие третьей оси второго порядка излишне. Развернутая (более подобная) форма записи точечных групп обычно используется для того, чтобы показать соответствие этих элементов симметрии трем осям координат ромбической элементарной ячейки (табл. 5.2). б.1.12. Точечная группа тт2. Эта точечная группа ромбической кристаллографнческой системы содержит две плоскости зеркального отражения, расположенные под прямым углом друг к другу, и ось второго порядка, проходящую вдоль линии пересечения этих плоскостей. На рис.

6.1, б (справа) ось второго порядка перпендикулярна плоскости чертежа. Плоскости зеркального отражения изображены жирными линиями, располо- 16 — 1169 242 6. Точечные группы, пространстненные группы женными горизонтально и вертикально (фактически эти линии в проекция плоскостей зеркального отражения на плоскость рисунка).

Система эквивалентных позиций для данной точечной группы также имеет кратность, равную четырем. Точки, входящие в эту систему, расположены на одинаковой высоте выше и ниже плоскости рисунка (рис, 6.1, б, слева), Если исходную точку обозначить цифрой 1, то поворот вокруг оси второго порядка преобразует точку 1 в точку 3. При отражении в вертикальной плоскости симметрии образуются точки 2 (из точки 1) и 4 (из точки 8).

Точки 1 и 4, а также 2 и 3 связаны другим элементом симметрии — горизонтальной плоскостью зеркального отражения. При отражении в этой плоскости симметрии кратность системы эквивалентных позиций увеличивается. Как и в предыдущем случае, третий элемент симметрии не является независимым, а порождаетсядвумядругимиэлементами симметрии.

В качестве независимых элементов симметрии выбираются два любых элемента симмметрии, так как они порождают третий элемент симметрии. 6.1.1.8. Точечная группа ттт.. Эта точечная группа ромбической кристаллографической системы содержит в качестве основных элементов симметрии три взаимно перпендикулярные плоскости зеркального отражения и, следовательно, три взаимно перпендикулярные поворотные оси второго порядка. (Заметим, что обратное утверждение неверно: наличие трех поворотных осей в точечной группе 222 не означает присутствие трех плоскостей симметрии).

Эти элементы симметрии изображены на рис. 6.1, б (справа). Обозначение элементов симметрии такое же, как и на предыдущих рисунках. Новый символ — жирная окружность — означает паличие плоскости зеркалыюго отражения, расположенной в плоскости чертежа. В систему эквивалентных позиций точечной группы аппо входят восемь точек: четыре из нпх находятся на одинаковой высоте над плоскостью рисунка, четыре другие — на такой же высоте за плоскостью рисунка (рис. 6.1, в, слева). Эта система эквивалентных позиций возникает следующим образом: отражение в двух плоскостях симметрии приводит к появлению четырех эквивалентных точек (как в случае, изображенном на рис, 6.1, б, слева для точечной группы тт2), а отражение в плоскости зеркального отражения, расположенной в плоскости рисунка, приводит к возникновению еще четырех точек (рис. 6.1, в, слева). Для ромбической кристаллографической системы возможны лишь три точечные группы.