Глава 6 - Точечные группы, пространственные группы, кристаллическая структура (Учебник), страница 3

В открытых операциях симметрии поступательное перемещение чередуется с операцией поворота или отражения (разд. 5.3.4). В настоящей книге не приводится полный перечень всех возможных винтовых осей и плоскостей скользящего отражения, а также их условных обозначений. Знакомство с этими условными обозначениями будет происходить у читателя по мере необходимости, причем обсуждаются лишь отдельные примеры наиболее простых пространственных групп. Интересующимся этими вопросами читателям следует обратиться к «Интернациональным таблицам», т. 1.

Если на основании приведенных в настоящей книге примеров читатель освоит основные правила работы с данными пространственными группами, ему в дальнейшем будет несложно распространить свои навыки на любые другие, не обсуждаемые здесь пространственные группы.

Для обозначения пространственных групп применяются символы, содержащие от двух до четырех позиций. В первой позиции всегда записывается заглавная буква, обозначающая тип решетки (Р, 1, Л и т. д.). Остальные позиции отвечают некоторым имеющимся элементам симметрии. Если кристаллографическая система характеризуется наличием особых направлений или особых осей (например, ось четвертого порядка в тетрагональных кристаллах), то символ этого элемента симметрии следует непосредственно после буквы, характеризующей тип решетки. Для записи остальных знаков символики не существует " В 1890 г, Е.

С. Федоров впервые доказал, что 32 точечным группам соответствует 230 пространственных групп симметрии, которые часто называ~от гредоровскими. — Прим. перев, 6. Точечные группы, пространственные группы 248 иентр симметрии в-поло>китель нос число вспомотвтельиме построения Рис. 6.8. Пространственная группа Р1. Координаты эквивалентных позиций: х,у,них, у,х. общих правил, точнее для различных кристаллических систем эти правила различны.

Поскольку знание этих правил не является необходимым для характеристики пространственных групп и, как правило, не интересует неспециалистов, подробно останавливаться на них мы не будем. Пространственные группы изображают обычно в виде параллелограмма, причем плоскость параллелограмма отвечает плоскости ху элементарной ячейки. Для удобства (рис. 6.7) точку начала координат помещают в левый верхний угол параллелограмма. В качестве оси у выбирают горизонтальну|о ось, в качестве оси х — вертикальную (на Х рисунке направление вниз от точки начала координат), а положительное направление оси я совпадает с прямой, направРис.

6.7. С гл~~~~"ж о6 леннон вверх от плоскости рисунка для Иэображении комплекса зобр е ия простра твен ой Группы элементов симметрии про- обычно используют два параллелограмстранствеиных групп. ма. На левом параллелограмме рисуют системы эквивалентных позиций, на правом — имеющиеся элементы симметрии.

Рассмотрим некоторые примеры; каждый из них содержит новую информацию по срав- нению с предыдущим. 6.2.1. Тршслинная группа Р1 Данная пространственная группа (рис. 6.8) характеризуетсз примитивной решеткой и наличием центров симметрии. На правом параллелограмме обозначены элементы симметрии: центры симметрии в начале координат 1, в середине ребер а и Ь и в центре грани С (т. е.

грани, ограниченной ребрами а и Ь). Кроме того, центры симметрии (они не изображены на рис. 6.8) на- г г а , Я б 6.2, Пространственные группы симметрии 249 ходятся в центрах других граней, в середине ребра с и в центре элементарной ячейки. На левом параллелограмме показано семейство эквивалентных позиций пространственной группы Р1. Для его получения необходимо выбрать некоторую начальную точку и путем раз,личных симметрических операций, характерных для данной пространственной группы, найти точки, эквивалентные данной. Удобна как исходная точка позиция 1, расположенная вблизи начала координат.

Координаты этой позиции хднф (х, д, г — небольшие положительные числа). Положительный знак около позиции 1 означает знак координаты г. По определению элементарной ячейки такая позиция должна присутствовать в любой другой элементарной ячейке. Три такие позиции обозначены на рис. 6.8 символами 1', 1" и 1'"". Рассмотрим прежде всего инверсию в центре симметрии 1, расположенном в начале координат. Точка 1 при такой инверсии преобразуется в точку 2. Отрицательный знак при цифре 2 означает отрицательное значение координаты я, а запятая в кружке отражает тот факт, что позиция 2 энантиомерна относительно позиции 1.

Операция отражения или инверсии состоит в преобразовании левой фигуры в правую. На рис. 6.9 это показано па примере двух тетраэдров, которые расположены в пространстве таким образом, что могут преобразовываться один в другой путем инверсии в центре симметрии. Таким образом, несмотря на то, что отдельный тетраэдр не имеет центра симметрии, группы тетраэдров могут иметь центр симметрии. Позиции 2', 2" и 2"' на рис.

6.8 возникают из позиции 2, так как это эквивалентные позиции в соседних элементарных ячейках, Следующий этап состоит в определении координат эквивалентных позиций. Координаты х, д, я выражаются в долях соответствующих периодов решетки и обозначают расстояния от данной позиции до соответствующей оси. Пусть позиция 1 имеет координаты к, д, и. Тогда координаты позиции 2: — х, — д, — г. Координаты позиции 2": 1 — х, 1 — д, — и и т. д. Если какая- либо позиция находится вне рассматриваемой элементарной ячейки, то эквивалентную ей позицию можно найти и внутри рассматриваемой ячейки.

Это обычно делают путем добавления или вычитания 1 от одной или нескольких координат данной позиции. Позиция 2" расположена вне ячейки, так как ее координата г отрицательна. Эквивалентная ей позиция внутри рассматриваемой ячейки получается путем перемещения данной ячейки в направлении г. Таким образом, координаты эквивалентной позиции внутри данной элементарной ячейки запишутся следующим образом: 1 — х, 1 — д, 1 — г. Более кратко эти координаты можно записать в виде т, д, Е Итак, кратность эквивалентных позиций в элементарной ячейке пространственной группы Р1 250 о. Точечные группы, пространственные группы равна двум. Эквивалентные точки имеют координаты х, д, а (позиция 1) и х, у, Р (на с выше позиции 2").

Для получения системы эквивалентных позиций элементарной ячейки пространственной группы Р1 необходимо наличие лишь одного центра симметрии. Остальные центры симметрии порождаются данным центром симметрии. Например, центр симметрии в точке и возникает потому, что такие позиции, как У и 2"', 2 и 1'" и др. симметричны относительно точки и.

Вэтом ! / ! / ! о ,', центр симметрии Рис. 6.9. Два тетраэдра, симметричные относительно центра симметрии. можно убедиться, сравнив координаты всех четырех точек или обратив внимание на положение этих точек на рис. 6.8. Так, позиции 2"' и 1 находятся на одной прямой, проходящей через точку и по разные стороны и на одинаковом расстоянии от этой точки. Позиции х, д, г и У, д, Г называются оби1ими позициями. Общей позицией называют любую позицию, для которой справедливо соотношение 0 -;х, д, г(1. В некоторых случаях позиции х, д, г и ж, у, ~ совпадают друг с другом, например если х=д=г='/~. В таком случае кратность эквивалентных позиций равна единице. Эти позиции называют частными. Частные позиции в пространственной группе Р1 — это такие общие позиции, которые расположены в центрах симметрии.

Поэтому координаты частных позиций: (О, О, О); ('/~, О, О); (О, '/2, 0); (О, О, '/а). ('/р, '/а, О); ('/а, О, '/а); (О, '/2ф /а)' ('/2у '/2 %). Они соответствуют вершинам, центрам ребер, граней и центру элементарной ячейки. 6.2. Пространственные группы симметрии б.2.2. Моноклинная группа С2 Согласно принятой договоренности об обозначении особых осей второго порядка в моноклинных пространственных группах, в качестве такой оси обычно принимают ось Ь. К сожалени1о, такой выбор не соответствует ситуации в тетрагональной, тригональной и гексагональной ячейках, где в качестве особой оси принята ось с.

Однако для моноклинной ячейки такой подход настолько общепринят, что его вряд лн можно изменить. Итак, если ось второго порядка совпадает с осыа Ь, то проекция элементарной ячейки на плоскость ху представляет собой О- "-- О С) 2, :С) ось 2()у Рис. 6.10, Пространственная группа С2 моноклииной кристаллографической системы, Координаты эквивалентных позиции: О, О, О: х, д, г; У, 1/, х; '/ь Ъ О: х+ /2, П+'/2, г; 'Й вЂ” х, Чя+д, Е прямоугольник (так как 7=90'), который изображен на рис.