П.У. Бриджмен - Анализ размерностей (1934), страница 13

ведение без размерности в форме Скорость гравитационной волны в глубоководном резервуаре (глубина не входит в конечный результат, потому что мы постулировали, что вола очень глубока) пропорциональна таким образом корню квадратному из длины волны и ускорения силы тюкестн или пропорциональна скорости,приобретаемой телом,свободно падающим под действием тяжести на расстоянии, равном длине волны, Заметим, что плотность жидкости исчезла в окончательном результате. Это можно было предвидеть: если плотность удваивается, то удваивается и сила тяжести, действующая на каждый элемент, поэтому ускорение, а следовательно и все скорости остаются неизменными, так кзк удвоенная сила компенсируется удвоением массы каждого элемента.

Поскольку плотность не фигурирует в окончательном результате, мы имеем произведение без размерности, составленное только нз и, >ч я. Это — произведение без размерности трех переменных, выраженное через трн основные величины. В общем случае это невозможно, для этого требуются специальные соотношения между формулами размерностей переменных. Сосгавив произведение с неизвестными показателями и написав затем алгебраические уравнения, которым должны удовлетворять показатели, мы можем сразу видеть, что условие сушествования произведения без размерности с числом множителей, разным числу основных единиц, состоит атом, что детерминант показателей в формулах размерностей множителей равен нулю, Ясно, что это не ограничивает,я случаем трех основных единиц, но применимо к любому их числу.

Обратно, условие того. что тот нли иной элемент входит множителем в произвеление без размерности с числом других множителей, равным числу основных единиц, состоит в том, что детерминант показателей других множителей не должен разняться нулю; в противном случае остальные множители сами по себе составили бы произведение без размерности, в которое не входил бы интересующий нас множитель. Этот пример — превосходная иллюстрация необходимости сочетания здоровой физической интуиции с чисто формальными манипуляциями. Пренебрегая глубиной, мы аргументировали тем, что при бесконечном возрастании глубины скорость стремится к предельному значению, не зависящему от глубины.

Есть далее лругой фактор, которым мы пренебрегли в нашем анализе,— это амплитуда Ь волны, которая очевидно аналогична амплитуле колебания в простой задаче о маятнике, Если бы мы включили лнллиэ Рлзмерноотей и = у ' „-'- ~ ~ еле; Тлвлицл 7. Решения таковы: Название величины Символ Формула равмернослщ г 1 и, =— в о ! г Упрутая настоенная (силе иа единицу смещение] Рремя колебания Объем ящика Плотность жиаеости .. Ускорение силы тяжести МТ 1в М1. 1.Т и решение выразится так Врвлпиви. ее в нашу первоначальную таблицу величин, было бы еще одно 1 произведение без размерности, „— '; если бы нам зто со злостным намерением подсказали, мы получили бы результат: где у в произвольная функция. Эга форма совершенно не противоречит первой, как можно видеть, положив но разумеется она дает значительно менее сведений.

Рассмотрим теперь другую задачу. Имеется упругий маятник, осуществленный из невесомой пружины с упругой постоянной й и с подвешенным ящиком объема в, наполненным жидкостью с плотностью а. На массу жидкости в ящике лействует тяжесть, Требуется найти выражение лля периода колебаний. Как всегда, составляем таблицу вели ин и их размерностей. Задача — очевилно механ, ческая, и мы имеем по,.ное основание применять механическую систему единиц, причем размерных постоянных не будет. Переменные таблицы являются, таким образом, единственными, они совпадают с переменными, при по.

моши которых залача формулирована. Мы имеем пять величин при трех основных единицах. Поэтому должны существовать два произведения без размерности. Из предыдущей главы мы знаем, что для нахождения произведений без размерности мы должкы решать систему алгебраических уравнений. Некоторые из реше- пенмееы анализа Р*эмеРностей 65 ний могут быть выбраны провзвольно, остальные определяются через них. В ланной залаче нас особо интересует г, и, положим, й, Выберем поэтому показатели для Г и л в произведениях без размерности произвольно, как основу для расчета остальных.

Алгебраическая теорема показала нам, что существуют две линейно независимые системы показателей, которые могут быть приписаны е и й, причем зти лве системы могут быть выбраны бесконечным числом способов. Попробуем выбрать две простейших системы.

Припишем показателю 1 значение 1 и показателю л значение 0 лля одной системы, и обратно, т. е. для 1 нуль и для гв единицу в другой системе. Разумеется вто очень простые пары, которые позволяют 1 и й фигурировать только в одном произведении без размерности. Таким образом мы должны найти два произведения без размерности: Г, °,1д,т, йв °,1в. ъ Мы имеем теперь две группы алгебраических уравнений лля двУх гРУпп неизвестных показателей цы,'"„7, и ам '.„7г, Эти уравнения таковы: Оа, +'ег + ОТ, —,' О = О ~ Оа,.т-ОР,— 27, — , '1 =0 ~ Поэтому произведения без размерности имеют вид: где функция / неопределенна. Полученный результат несомненно правилен, как ясно из вывода; мы можем достигнуть, однако, и лучшего и добиться формы, где не останется неопрелеленной функции. Такое улучшение может быть получено увеличением числа основных елиниц. Мы бьщи правы, применяя обычные механические единицы, ПРИМЕРЫ АНАЛИЗА РАЗМЕРНОСТЕЙ Анллиз Рлзмееностзй б7 потому, что уравнения движения подразумевают динамическую связь между силой, массой и ускорением.

Изменение надо внести в направлении, не сразу бросающемся в глаза, поскольку мы привыкли к механическим единицам. Однако, после некоторого раз. мышления становится ясным, что в уравнениях движения, управляющих системой, мы не воспользовались тем фактом, что численная мера объема ящика равна кубу длины одного из его ребер. Физически вполне возможно измерять объемы через тот или иной объем, избранный в качестве единицы, Для этого надо разрезать большой объем на меньшие, конгруэнтные с единицей, и сосчитать число таких получившихся объемов, Затем можно доказать, что полученное таким образом число пропорционально кубу числа, измеряющего линейные размеры.

Действительно, в этом состоит метод доказательства, принятый первоначально Эвклидом при рассмотрении поверхностей и объемов. После того как геометрический факт доказан, естественно определить единицу объема как объем, равный кубу со сторонами, равными единице. Однако, такое определение и ограничение имеет цену только для задач, в которых связь между объемом и длиной по существу входит в результат. В нашем случае это не так по. тому, что объем ящика важен только в сочетании с плотностью жидкости для определения массы ящика, Мы вполне можем измерять длину в этой задаче в дюймах, а объем в квартах, если только одновременно определить плотность, как массу на кварту. Вернемся опять к нашей задаче, считая теперь обьем независимой единицей.

гт1ы получаем: ТАвлицА В. Гам вал размерности Название величины МТ Т Ъ' му 1Т Упругая пост тянная Время колебаиия Объем ящика . Плотность жидкости . Ускорение силы тяжести . Теперь у нас пять переменных, но четыре основных единицы, н, следовательно, имеется только одно произведение без размерности. Нас особенно интересует О мы выбираем показатель при нем равным единице; требуется найти прочие показатели, так чтобы произведение Гй' оз а' дт не имело размерности.

Проблема настолько проста, что неизвестные можно указать сразу из простого рассмотрения или же, если угодно, можно выписать уравнение: х -+. Т = 0 о=Π— 2к — 2о+1=0  — =0 ! Решение этой группы уравнений таково: 1 1 1 д=-,-; р= — —,; Т= — —,; э=О. Произведение без размерности принимает вид: и мы имеем т =- сопзТ Сведения, содержащиеся в этом решении, очевидно, значительно больше, чем в менее определенном результате, полученном с тремя единицами.

Из нового решения видно например, что время колебания не зависит от ускорения тяжести. Физически зто конечно значит, что тяжесть влияет только на изменение среднего положения равновесия. При возрастании тяжести груз понижается и колеблется относительно положения, более близкого к центру притяжения. Период колебания при этом, однако, не меняется. Этот результат быд вовсе не очевиден, или необходим при первой форме решения.

Вместе с тем первое решение не противоречит второму, можно достигнуть их тождества, если положить неизвестную функцию равной некоторой постоянной, умноженной иа обратный квадратный корень из аргумента. Вместо увеличения числа основных единиц с трех до че'тырех, мы могли бы получить тот же результат, заметив, что в уравнениях движения фигурирует только полная масса на конце струны, а следовательно объем и плотность могут влиять на результат только в виде произведения, т.