П.У. Бриджмен - Анализ размерностей (1934) (1155753), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Нацр мер, анализ размерностей несомненно оказался бы неприменимы м к большинству результатов биологических измерений, хотя эти результаты могут обладать полной физической значимостью, как описание явлений. Нам кажется, что в настоящее время биологические явления могут быть описаны полными уравнениями только с помощью стольких же размерных постоянных, сколько имеется физических переменных. Мы видели, однако, что в этом случае анализ размерностей не лает, никаких новых сведений. Овладение группой явлений природы и формулировкой их в виде законов до известной степени равносильно открытию ограниченной группы размерных постоянных, пригодных для координации всех явлений. Применим этот взгляд на природу размерных постоянных к уже затронутой задаче об электромагнитной массе сферически распределенного электрического заряда, Это, разумеется,— электродннамическая задача, которую надо решать,' пользуясь уравнениями поля.
Уравнения поля содержат некоторые математические операторы, применяемые к опрелеленным сочетаниям электрической и магнитной силы н к скорости света, В нашей частной задаче мы хотим решить уравнения в такой форме, чтобы определить электромагнитную массу. Это †объемн интеграл от некоторой постоянной, умноженной на плотность энергии, причем последняя определяется распределением снл, обусловливаеиых распределением заряда.
Если имеется соотно. шение, подозреваемой нами формы, то силы должны исключиться в окончательном результате. Нет, однако, оснований думать, что характеристическая постоянная с уравнении также элиминируется. Мы должны следовательно искать связи между общим зарядом, массой, радиусом и константой уравнения пола, т.
е, скоростью света, Такое соотношение нами уже найдено и лнллиз елзмвгностай гьзмвеныз постоянныз и число единиц 69 сверено с результатами летального решения уравнений поля„ примененных к данной проблеме. Мы видели, что размерные постоянные входят в окончательный результат постольку, поскольку они имеются в уравнениях движения. Но размерная постоянная в уравнении движения есть выражение универсальной физической связи, характерной для всех явлений, входящих в рассматриваемую группу. Можно двояко трактовать такие универсальные физические связи.
Можно оставить размерную постоянную в уравнениях, как явное выражение связи, подобно тому как это делается в уравнениях электродинамики, С другой стороны можно определить наши основ. ные единицы, имея в виду зту связь; таким обрааом получится система единиц с исчезнувшей размерной постоянной, в которой, однако, число единиц, которые можно считать первичными, ограничено тем, что все единицы, относящиеся к системе, автоматически 'гарантируют экспериментальную связь друг с другом. Система единиц такогб рода имеет ценность только при рассмотрении группы явлений, к которой данный закон применяется. Так например, на опыте мы находим, что масса, уиноженная на ускорение, пропорциональна силе, действуюагей на нее.
В этом экспериментальном утверждении не содержится ограни. чений в отношении единиц массы, длины, времени и силы. фак. тор пропорциональности будет меняться по числовому значе. нию при изменении размеров каждой иа основных единиц. Вместо того, чтобы заниматься скучным делом непрерывного изменения фактора пропорциональности, можно произвольно потребовать, чтобы он равнялся единице во всех системах, кото. рые мы будем 'рассматривать; этого результата можно достигнуть, опрелелнв единицу силы в нашей новой системе так, что бы сила, действующая на тело, равнялась массе, умноженной на ускорение. Таким образом мы получим систему единиц, приспособленную к операциям со всеми физическими системами, в которых законы движения содержат утверждение о физической связи между силой, массой и ускорением.
Но если бы физическая система была таковой, что указанное соотношение не входило в движение системы, мы бы бесполезно ограничили себя, применяя механическую систему единиц. Эти соображения о возможных системах единиц отвечают на ранее поставленный вопрос в связи с четвертой задачей введения о числе единиц, которые нужно выбрать в качестве первичных. Ответ целиком зависит от характера задачи и оп- ределяется физическими связями, необходимыми для полного выражения частей. Например в любой обычной задаче динамики связь между силой, массой и ускорением существенно входит в уравнения движения.
Эта связь может быть внесена в уравнения либо применением четырех первичных единиц силы, массы, длины и времени с соответствующей размерной постоянной пропорциональности, либо на основе привычных механических единиц массы, длины и времени, в которых сила определена так, что экспериментальное соотношение всегда выполняется, и размерная постоянная исчезает. В обоих случаях ревультаты анализа размерности одни и те же, ибо разница между числом первичных единиц и числом переменных, определяющая число аргументов неизвестной функции, 'та же самая в обоих случаях. Когда число единиц увеличивается на одну включением силы, то число переменных также возрастает на одно, включая размерную постоянную, разница при этом остается постоянной. Если бы, однако, проблема была такой, что экспериментальная связь силы, массы и ускорения не входила в уравнения движения„системы, то обычные механические единицы были бы не.
подЮдящими, ибо с ними мы получили бы меньше сведений. В этом случае можно пользоваться четырьмя первичными единицами, не вводя соответствующей размерной постоянной в таблицу переменных, так что разница между числом переменных и единиц станет меньше на единицу, н число аргументов функции станет меньше, что желательно.
Мы встретимся дальше с примером, иллюстрирующим это. ЛИТЕРА ТУРА. 1. Розг! ег. Т!геог!е бе С!гагепг,160. По общему вопросу о раниойальном числе основных единия можно указать заметки. 2. Е. В в с К ! и я !г а ю. !Чз! ше. 96, 206 н 396, 191 5. ПРимеРы лнллизл РлзмеРностей б1 ГЛАВА ШЕСТАЯ. ПРИМЕРЫ АНАЛИЗА РАЗМЕРНОСТЕет, Повторим прежде всего результаты предшествующей главы. Приступая к анализу размерностей, мы должны представить себе, что перед нами задача обычного анализа, которую надо выполнить по крайней мере до стадии суждения о природе проблемы и до выяснения всех физических переменных, которые должны войти в уравнения лвижения (в общем смысле) и такжеыврсех размерных коэффициентов, требуемых лля написания уравнений лвижения.
Затем нужно выписать размернрстн всех переменных относительно основных единиц, Эти единицы для каждой конкретной проблемы должны выбираться так, чтобы число нх было возможно большим при условии отсутствия компенсирующих размерных постоянных в уравнениях движения.
Далее, в соответствии с П-теоремой должны быть образованы произведения переменных, не имеющие размерности. Эти произвеления следует выбирать нз большого возможного разнообразия таким способом, чтобы переменные, в которых мы заинтересованы особо, фигурировали вполне отчетливо. После сформирования проиаведений П-теорема непосредственно приводит к функциональному соотношению. В нижеследующих примерах мы особо остановимся на вопросах о подхоляшем числе основных единиц и наиболее удобном выборе произведений без размерности. Вопрос о размер.
ных постоянных мы считаем выясненным. В качестве первого примера возьмем первую задачу, разобранную Рэлеем в Хашге (1). Рассмотрим волну, распространяющуюся по глубоководному резервуару под действием тяжести. Это — очевидно гидродинамическая проблема, т. е, просто механическая в применении к жидкости. Здесь применимы, следовательно, уравнения механики. Если жидкость смещена иэ по- ложения равновесия, она возвращается в него под действием тюкести. Таким образин в задачу входят плотность жидкости и сила тяжести. Очевидно эти же величины должны войти и в уравнения движения.
Никакие другие свойства жидкости вроле сжимаемости не войдут, потому что из рассмотрения уравнений гилродинамнки нам известно, что такие свойства не существенны для явлений этого масштаба. Физически, разумеется, сжимаемость должна до известной степени влиять на результат, так что наш вывод будет неточным, он будет приближенным в такой же степени, как и уравнения гндродинамики. В уравнения гидродинамики не входят размерные постоянные, если только применять обычные механические единицы, в которых масса, двина и время являются основными величинами; законы движения вошли в эту систему единиц через определение силы. Уравнения, конечно, суть уравнения межлу смешениями и другими элементами.
Можно представить себе, что мы в состоянии исключить нз уравнений различные смещения и в конце концов получить связь только скорости распространения, плотности и напряжения тяжести, полобно тому, как это было в задаче о маятнике. Попробуем это сделать. Выпишем переменные и их формулы размерности,' как это уже делалось зо ввелении.
Тлвлн цл 6. Символ Формула размерности ЬТ ~ -з ВТ Наввантте величины Скорость волны Плотность жидкости . Ускорение силы тяжели Применим теперь П-теорему. У нас три переменных и три основных единишв. Разница межлу этими числами равна нулю н, слелрвательно, согласно теореме, не может быть произведений без размерности. Это значит, что мы сделалн какую.то ошибку, и соотношения не существует, если только здесь нет одного из тех исключительных случаев, в которых произведение может быть образовано из меньшего чем нормальное число множителей. Бвлее внимательное рассмотрение показывает, однако, что это не исключение, а что действительно не существует произведения без размерности.
Это показывает, что предполагаемая элиминация невозможна, и что в окончательный результат должны войти другие влементы или комбинация элементов. Несомненно летальный анализ должен привести в итоге к полному описз- 62 анализ РазмвРноствй пРнмзРы Анализа РАВНЗРноствй Полагая все это равным постоянной величине и разрешая относительно о, получаем о = сопз1 г('й'212 . Размерность множителей в правой стороне должна быть в итоге такой же как у скорости, стоящей изолированно с левой стороны. Подставим формулы размерностей переменных: ьт-'=(мь-')'(ьт-')' ь'.
Выпишем последовательно условия равенства показателей М, 1. и Т с обеих сторон уравнения. Это дает: = О (условие для М), = 1 (условие для Ь), = — 1 (условие лля Т), а — 3 а+ Ф-1-1 — 2'; откуда а=О, Окон ~ательно имеем: 2' Т 2' э =сопЛ 'Р'Хй. нию движения воды, на основании которого получится волновое движение и его скорость. Иначе говоря, помимо скорости в окончательный результат должно войти еще нечто, характери* зуюшее данные волны. Скорость всех волн не обязательно долж а быть той же самой, она может зависеть от ллины волны.
Фиан. чески, разумеется, мы это знали заранее и притворялись невеждами только для дидактических целей. Наши сведения по этому вопросу должны были заставить искать связи между скоростью и ллиною волны. Введем поэтому в нашу таблицу величин длину волны 1, размерность которой 1.. Теперь у нас четыре переменных. П.теорема указывает, что имеется одно произведение без размерности, которое должно равняться постоянной величине. Доказательство П-теоремы показало также, что один из показателей в произведении без размерности может быть избран произвольно. Мы особенно заинтересованы в скорости и, потому выберем показателем для нее единицу и составим произ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
