П.У. Бриджмен - Анализ размерностей (1934) (1155753), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

пРимеРЫ Анллизл РлзмеРностей Ни олно нз зтнх произведений не солержит 5, которая нас наиболее интересует и, следовательно, в задаче есть какая тз особенность. Она действительно и обнаруживается, если вернуться к системе алгебраических уравнений, от которых зази. сит решение. Если составить матрицу из коэффициентов, полученных из показателей формул размерностей, то оказывается, что кажлый пз трех.рялных детерминантов, полученных из матрицы, равен нулю: 1000 ! 1 0 1 1 1 †1 †! — 2000 — 2 — 2 Это значит, что в данном частном случае имеется ббльшее число произведений без размерности, чем указывается общим правилом.

Это можно было прелвидеть заранее. Прежле всего рассмотрение формул размерности показывает, что М и Т всегда входят в виде сочетания МТ вЂ” л, н, следовательно, эта комбинация вместе может считаться за основную единицу. Таким образом в эалаче имеются всего лве основных единицы вместо трех и четыре пронзвеления без размерности вместо трех.

Далее данная за:ача относится к статика, в которой масса и время в результат входить не могут. Размерности всех величин должны быть написаны в терминах силы и длины, как основных елиниц. Это замечание является физическим эквивалентом математическому соображению о том, что М и Т всегла встречаются в комбинации МТ-л (сила равна МТ-л, умноженному на Ц. Зная теперь, что существует еще одно проиаведение без размерности, можно найти пробой, что оио равно 5 Е! ' и окончательное решение принимает вид: 5 = Еьг !— !ь ~~! ! ' ! ' Е )' Такое решение не дает возможности сделать выводы о зави-. симости жесткости от раамера балки, Но из элементарных соображений теории упругости ясно, что для тонких балок жесткость лолжна быть приблизительно пропорциональной ее ширине, при прочих равных условиях.

Граничные условия таковы, 76 Анализ РазмеРностей ТА вл и ць 16. Формула размерности Мг 1Т М Матт з Название величина Символ давление газа . Масса атома . . . . . . . . . . , . Число атомов в единице объема .. Абсолютная температура ... ... Нам нужно найти произведение без размерности: рщ«АГдбт Находим обычным способом показатели: и=О; р= — 1; Т= — 1, и решение задачи имеет вид: р=сопэ1 Хб.

Это решение совпадает с предыдущим аа исключением отсутствия газовой постоянной, но поскольку в новой системе единиц газовая постоянная равна единице, оба решения тождественны, как зто н следовало ожидать. Такая процедура применима, очевидно, к любой залаче, в решение которой входит газовая постоянная. Температуру можно считать независимой единицей, если желательно, чтобы газовая постоянная фигурировала в явной форме, н наоборот температуру можно опрелелить так, что газовая постоянная будет равной отличается от написанной только тем, что вполне определяется числовое значение константы. В этой.

задаче, как и в других проблемах того же типа, мы могли бы, если захотелн, исключить температуру, как независи. мую переменную, определив ее, как энергию атома. Это вызовет только изменение размера градуса, но не изменит отношения каких-либо двух температур, как это и требуется нашими исходными предпосылками. При таком определении температуры газовая постоянная, разумеется, должна быть положена равной единице.

Мы будем иметь в таком случае три основных единицы и четыре переменные, т. е. снова существует только, одно произведение без размерностей, н мы получим прежний результат. Прослелим, однако, это в деталях, что достаточно поучительно. пгимегы Анализа РАзмяяностзй единице, а температура будет иметь размерность энергии. Тот же прием позволителен и в задачах, решение которых не содержит газовой постоянной. Однако, определяя в таких задачах температуру как кинетическую энергию атома (или, общее,энергию, приходящуюся на олпу степень своболы), и полагая теи самым газовую постоянную равной единице, мы ограничиваем основные единицы без компенсации, Повтому результат хотя и будет верным, поскольку температура действительно пропорциональна энергии одной степени свободы, однако ои будет давать меньше сведений, чем при меньшем ограничении единиц. Ясно, что эти замечания непосредственно применимы к задаче Рэлея о тептопроводности, разобранной в вводной главе.

Многие чувствуют какую то неопределенность в отношении размерности температуры, Это происходит вероятно оттого, что нт формулу размерности смотрят как на некоторое утверждение о физической природе величины, содержагпееся в определении. Абсолютная температура, которую мы только что при. меняли, есть термодинамическая абсолютная температура, определяемая на основании второго начала термодинамики. Трудно представить себе, каким образом сложный комплекс физических операций, связанный с применением второго начала (втой форме как это дано Кельв и но и при определении абсолютной температуры) может найти отражение в простой формуле размерности.

С другой стороны очевидно, что, например, измерения энер. гни входят в применения второго начала, и обычные механические единицы может быть войдут тем нли иным путем в фор. мулы размерности. Но мы видели, что формула размерности только весьма ограниченно отображает различныефиэические опе. рации, входящие в определение, указывая только изменения числовой меры величины при вариации основных елиниц.

Легко понять, что всякие операции того же рода, какие применял Кельвин, определяя абсолютную температуру на основе второго на. чала, не налагают никакого ограничения иа число, измеряющее данную конкретную температуру посредством единиц, в которых, например, выражено тепло или энергия. Величина градуса териодинамической температуры может фиксироваться вполне произвольно; между точкой замерзания н точкой кипении воды можно, например, расположить любое число градусов, совершенно не связывая это с размером каких-либо других единиц. В формуле размерности мы имеем дело с определением на основе второго закона лишь постольку, поскольку это опрелеленне удовлетворяет принципу абсолютного значения АНАЛИЗ РАЗМЕРНОСТЕЙ ПРИМЕРЫ АНАЛИЗА РАЗМЕРНОСТЕЙ относительнои величины, т.

е. принципу, утверждающему, что отношение мер двух конкретных объектов не зависит от размера единиц. Ясно, однако, что термодинамическое определение абсолютной температуры сохраняет отношение двух конкретных температур независимым от размера единиц, Формула размерности температуры поэтому может и не содержать каких-либо иных элементов, и температуре можно приписать ее собственную размерность. Нет необходимости применять именно абсолютную температуру.

Можно, например, определить число градусов в данном температурном интервале как число единиц длины, на которое перемещаетси по капилляру керосин из бутыли при изменении температуры бутыли, Определенная таким способом температура, очевидно, удовлетворяет принципу абсолютного значения относительной' величины, ибо если уменьшить вдвое единицу длины, измеряющей капилляр, то число градусов в каждом температурном интервале соответственно удвоится. Преимущество термодинамической шкалы — в ее простоте. Свойства идеального газа нз основе керосиновой шкалы не могут быть характериаованы с помощью одной только постоянной и уравнения теплопроводности Фурье могут быть написаны с единственным коэффициентом теплопроводности только для очень ограниченной области. Помимо размерности температуры, есть другой вопрос, связанный с применением анализа размерностей к проблемам термодинамики, который способен привести в смущение.

Это— вопрос о так называемых логариф,ических константах. В курсах термодинамики часто встречаются уравнения, на первый взгляд не являющиеся полными и размерно однородными. Эти уравнения содержат постоянные, которые не могут изменяться по числовой величине на некоторый множитель при перемене размера основных единиц, но изменяются сложением с некоторой величиной. Пример можно найти на стр.

6 лекций Нернста „Применения термодинамики кхимии". Там написаноуравнение: !и С = — — "+ —" !и т-!- — ' т-',— '- те — г. лт я л гФ В этом уравнении С вЂ” концентрация данного газа, Л вЂ” некоторое количество тепла, а, Ь, с в размерные постоянные в обычном смысле (характеризовать их подробно нам нет иадоба ности, можно только указать, что — не имеет размерности), а г есть постоянная интегрирования, Ясно, что в написанной форме зто уравнение не допускает изменения размера основных единиц путем обычных перемен различных величин. Однако, можно так перегруппировать члены, что формула примет обычный вид. а Соединим члены !и С, — !я Т и ! з одно выражение: !а та'А ° тле т — новая постоянная. Мы получаем таким образом полное уравнение в обычном смысле слова, причем т имеет размерность такую же, как а СТ Перегруппировки такого рода всегда возможны, если только формула выведена теоретически, как это имеет место в отношении всех формул указанной книги, н поэтому логарифмическая постоянная является только формальным исключением.

Логарифмические постоянные часто встречаются в термодииамических формулах вследствие того, что в большинстве термодинамических выражений фигурирует произвольная постоянная интегрирования, появляющаяся потому, что энергия, работа, энтропия или термодинамический потенциал не имеют абсолютного значения, а суть только разности двух значений; координаты начальной точки, фиксирующей значение энтропии, могут быть например, выбраны по произволу. Формулы термодинамики поэтому часто имеют странный вид, заключая конкретные величины с размерностями в аргументах трансцендентных функций.

На стр. 5 той же книги Нер иста мы находим например такую формулу: "А = йтз — „ ии!!йр и'Т Эта формула получается применением уравнения К л а и е йрона к веществу, пар которого подчиняется закону идеального газа и имеет объем значительно больший чем у жидкости. Несмотря на то, что давление стоит под знаком !и, это уравне. ние, как нетрудно видеть, полное и справедливо для любых размеров основных единиц.

Характеристики

Список файлов книги