П.У. Бриджмен - Анализ размерностей (1934) (1155753), страница 17
Текст из файла (страница 17)
чин, то й явно появится в уравнениях электростатического поля, н размерная постоянная й войдет в таблицу переменных, Эадача формулируется теперь так; нельзя отрицать, что соображения такого рола побуждали к ряду опытов, как например это имело место в опытах Лоджа, касавшихся механнческих свойств эфира, ЛИТЕРА ТУРА. 1. Йа у! е! 8Л. Ха!иге. 9э, 66, 1915. 2.
й а у !. е ! 8 Л. Р!Н!. Май, 41, 107, 274, 1871, Несколько разнообразных примеров разобрано встатье С. й ц ц йс. РЛуа. 25. 17, Ю), 1916. Спекуляции о,правильной' размерности электрических величин н зыволы на этой основе о свойствах эфира можно найти э следую- щих статьях: А. цг. й 6 с )с е г. РЛг1. Май. 27, 104, 1889. цг. !ч'! ! ! ! а ш з. РЛ11, Май. 34, 234, 1892. О. Еобйе. РЛ!!. Мад. Ноябрь 1882. !Чагиге. 19 Июля 1888. Книга „Мобегп гТгечгз !п Е1есгг!сцу" (добавление), й. А.
Реза еп бе и. РЛуз. меч. 1О, 1 и 83, !900. К. й. 1оЛпзоп. РЛуз. л5. 5, 635, 1904, А. С. С ге Лог е. РЛуз. Кеч. 14, 440, 1919. О. Р. Р!ггйега16. РЛг!. Май'. 27, 323, 1889. !1Рнводим полную цитату нз последней стагьи:,За последнее время некоторое внимание было обращено на вопрос о размерностн электромагнитных единиц, однако повидимому забыли слелуюшее: Электростатическая система единнц может быть определена азк гакая, в которой предположено, что диэлектрическая нос~алиная нмеет нулевую размерность, а электромагнитная система, как такая, в которой магнитная проницаемость положена имеющей нулевую размерность.
Если взять систему, в которой размерности обеих этнх величии оди- наковы и равны размерности величины обрапгой скорости (ТЕ !), то обе системы делаютсятождественнымн в отношении раем:рностн, отлн- чаясь только числовым коэффициентом, точно такйге кзк отличаются сантиметры и километры. Этот результат кажется естествезным н оправ- дывающим предположение о том, что диэлектрическая постоянная и магнитная проницаемость гблалают природой величнны, обратной ско- рости, Возможно, что онн связаны с обратной величиной квадратного корня иэ энергии эфирного вихря', пгиивнзния к модельным ОпытАЧ 87 ГЛАВА СЕДЬМАЯ. ПРИМЕНЕНИЯ АНАЛИЗА РАЗМЕРНОСТИ К МОДЕЛЬНЫМ ОПЫТАМ.
ДРУГИЕ ТЕХНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ. До сих пор мы применяли анализ размерностей к задачам, которые могут быть разрешены и другими способами, поэтому имелась возможность проверять наши результаты. В инженерной практике встречается большое' число задач, настолько сложных, что точное решение их неосуществимо. При этих условиях анализ размерностей дает возможность получить некоторые сведения о форме результата, которого можно достигнуть на практике, только экспериментируя с необычайно большим количеством аргументов неизвестных функций.
Для применения же анализа размерностей требуется только знать, с какой системой мы имеем пело и каковы переменные, входящие в уравнение; нет надобности даже выписывать уравнения в развернутой форме, еще менее нужно их решать. Во многих случаях такого рола частичные сведения, достигаемые посредством анализа размерно. сгей, можно комбинировать с измерениями, касающимися только части всей физической системы, охватываемой анализом.
Таким образом все нужные данные получаются с значительно мень. шими заботами и затратами, чем без анализа размерностей. Этот метол приобретает все большее значение при технических исследованиях и за последнее время получил особое развитие в связи с нуждзми самолетостроения. Метод широко применяется в Национальной физической лаборатории в Англии и в Бюро стандартов САШ и изложен в многочисленных статьях. В Бюро стандартов особенно активен в этом направлении др, Эдгар Б э к и н г э и, ему удалось дать результатам анализа рззмерно.
стей такую форму, которая легко применима н уже привела к ряду важных результатов. Характер получаемых этим методом результатов, можно иллюстрировать очень простым примером. Положим, требуется построить очень большой маятник с весьма точно определенным перяодом колебаний. Анализ размерностей показывает, что время колебания всей сисгемы маятника определяется формулой - lг 1=сопя| агг —. г'а' Поэтому лля определения периода какого угодно маятника достаточно определить на опыте только значение константы, входящей в уравнение.
Очевидно, что эта константа может быть найдена из единсгвенного опыта с маятником любой длины. Экспериментальный маятник может быть сд.лан очень простым, и по измерению периода его колебания получится период проек. тируемого большого маятника. Случай маятника особенно прост тем, что в результат не вошла произвольная функция. Теперь рассмотрим более общий случай, усложненный наличием такой функции. Обозначим переменные задачи буквами О>> Оз> О и т. д. и предположим, что произведения, не имеющие раамерности, найдены и приведены к такому виду О! = О! 'Яз ° ° УЯг г»|! ° > >|3 >Оз ' ° ° ° ) При этом аргументы функции и множитель, стоящий отлельно, охватывают все произведения без размерности, т.
е. результат лан в общем виде. Прн переходе от одной физической системы к другой произвольная функция, вообще говоря, меняется не. известным нам образом. Поэгому опыты со случайными моделями дадут мало полезных сведений. Если, однако, модель выбрать так, чтобы все аргументы неизвестной функции имели олно и то же значение как для молели, так и лля оригинала, то при переходе от модели к оригиналу будут меняться только множители, стоящие перез символом функции.
Способ изменения этих множителей лается анализом размерностей. Две системы, связанные одн! с другой так, чго аргументы неизвестной, функции в обеих одинаковы, называются ф и з и- чески полобным и системами. Очевилно, что опыты с моделью могут дать ценные сведения, если модель консгруирована физически подобной ориги. налу. Условие физического подобия включает, вообще говоря, ие только размеры модели, но н все прочие физические переменные. днллиз газмегностяй 88 пгимднения к модельным опытам В виде примера рассмотрим сопротивление, испытываемое телом некоторой определенной формы при лвижении в бесконечной массе жидкости, Частными случаямн этой залачи являются сопротивления, встречаемые снарядом, аэропланом, подводной лодкой в глубоком море или падающей водяной капле».
Проб. лема, очевидно, механическая и связана с уравнениями гилродинамики. Условия задачи чрезвычайно сложны, их трудно формулировать в точной математической форме, но можно вообра. зять себе, что они кем-то осуществлены. Важно отметить что ! в уравнениях гидродинамики нет размерных постоянных, если только применены обычные механические единицы массы длины ! и времени; результат будет содержать поэтому только измеряемые физические переменные. Такими переменнымн являются; сопротивление движению, скорость движения, форма тела, которая может быть характернзована некоторыми абсолютнымн размерами и их отношением к некоторым другим длинам (например форма эллипсоида может быть характеризована ллиной наибольшей оси и отношением к ней других осей) и постоянными жидкости, т.
е. плотностью, вязкостью и сжимаемостью. Вместо послелней величины можно ввести скорость звука в жилкостн, Мы грелполагаем, что тяжесть в результат не входит, т. е. что тело находится в состоянии равномерного движения на постоянном уровне и ра! боты под лействием силы твжести не совершается, 11!ормулируем задачу.
Тлел ицд 18. Формула равмерноее!и М1Т ! 1.Т М1 -з М1 1Т 1.Т Название величины Символ Сопротивление Скорость Абсолютный размер Плотность жидкости . Вязкость жидкости Скорость звука з жидкости ..... факторы формы, фиксирующие форму тела ! „!м... Мы имеем следовательно б переменных, не считая факторы формы, число которых может быть каким уголно в зависимости от геометрической сложности тела.
Таким образом должны су. шествовать три произведения бев размерности помимо факторов формы, которые сами по себе не имеют размерности. Одно нз таких произведений, как непосредственно видно, есть в . Мы должны разыскать остальные произведения без размерности спо. собом, наиболее подходящим к конкретной задаче. Нас интересует сопротивление движению, мы выберем для него поэтому показатель, равный единице, и выделим ес изолированно в левой части уравнения. При помощи метола, которым мы уже польэо. вались иного раз, мы нахолим произведения без размерности в зиле таких выражений: — 2 ) — 2 Т вЂ” 1 — 1 Т вЂ” 1 1 1, окончательное решение имеет такую форму: Я=Яд!д1дг( ~~, —, г„гю...).
Эта формула весьма обща и охватывает широкую группу эксперииентальных условий. Если скорость мала, то проблема сводится к задаче о равновесии сил, действующих на твердое тело в жидкости, и сил, определяемых вязкостью жидкости. Сопротивление в этом случае не зависит от плотности жидкости и от скорости звука в ней. Если плотность исчезает из уравнения то аргумент — очевнлно должен выйти из-за знака функ! еЫ ции в виде множителя, и для медленного движения закон сопротивления принимает следующую форму: )Г = Ы 1д У(г„гз,...).
Таким образом при малых скоростях сопротивление пропорционально вязкости, скорости и линейным размерам и помимо этого зависит только от геометрической формы тела. Мы уже имели дело с частным случаем этой задачи в вводной главе при разборе проблемы Стокса о движении сферы. В области больших скоростей плотность жидкости играет важную роль, так как часть силы, действующей на тело, определяется моментом, отводящимся от поверхности тела жидкостью в форме вихрей (этот отводимый момент, очевидно, зависит от плотности жидкости). При этом скорость звука еще не сказывается на результате, т, е.
среда ведет себя все еще подобно несжимаемой жидкости. Эта область скоростей особенно важна и! для самолетов, При этих условиях аргумент —, очевидно, выпадает из функции, и результат приобретает вид: Й = яд)!о(У(-н~, г„гю.„) 90 Анализ РлзмеРностей ИРименения к модельным опытлм 91 Остановимся на этой стадии и посмотрим, какие сведения дает нам это уравнение относительно возможных опытов с мо* делями. Наша цель — измерить сопротивление, испытываемое мо.
зелью при определенных условиях, и вывести отсюда заключение о сопротивлении, встречаемым подлинным объектом. Прежде всего ясно, что неизвестная функция, а следовательно и все ее аргументы, т, е. г„ г,,... и отношение †, должны иметь одно и то же значение для модели и оригинала, Из олинаковости г„ гя, . вытекает геометрическое полобие модели и оригинала. Из одннаковосги ~ следует, что если опыт с моделью проРйу изводится, как обычно, в воздухе, то 9 н и' одинаковы для модели и оригинала, поэтому И1 должно быть одним и тем же, Это значит, что если модель по линейным размерам в десять раз меньше оригинала, то ее скорость должна быть в десять раз больше, Это тр бование практически крайне затруднительно, оно равносильно осуществлению скоростей молел ~ порядка тысяч километров в час, поэтому на первый взгляд кажется, что мы доказали невозчожность модельных опытов такого рола.
Но практически функция от — оказывается РЫ обладающей такими специальными сяойствами, что все же из опыта с моделью можно получить важные данные. Если производить измерения сопротивления, испытываемого моделью, при различных скоростях н вычислять соответствующие значения функции (разделяя измеренные сопротивления на ие7-'д), то оказы. зается, что прн больших скоростях функция 7' асимптотически приближается к постоянному значению. Это значит, что при больших скоростях сопротивление становится постепенно про. порциональным квадрату скорости. Поэтому достаточно осуществить модельный опыт при скоростях, при которых можно найти асимптотическое значение функции, так как тем самым получатся все необходимые сведения о свойствах оригинала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
