П.У. Бриджмен - Анализ размерностей (1934) (1155753), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Это следует из того, что производная относительно Е" равна нулю Действительно Да з,» = д191 + 392 + '- + зп-19» -1+ 9» = ы'Ф1'+ 1"%3'+ - + Е»9»' Последнее выражение равно нулю, так как чисчитель является просто левой частью уравнения (С) в другой форме. Поэтому функция у (г,Е', гзЕ"»...) действительно зависит только от п — 1 я-ов и, мы можем написать: ~(а» Я» „Е»), (з,Е азЕ г) ) (з, вз Я,) где ф есть функция только л — 1 аргумеитов, в то время каку зависит от и аргументов. Более того, так как все величины д", ..Е' по определению зависят только от первой степени — первой первичной величины, то зсе отношейия го х,,... не имеют размерности относительно первичной величины.
Рассуждение можно теперь повторять сначала, если положить: (зо см...,г„1) = О, что следует из (А), поскольку доказано, что ф тождествеино у. П-твоввмл Но уравнение ф = 0 есть уравнение того же типа как (А) с тем отличием, что один аргумент исчез из функции и одна первичная величина из аргументов. Повторение прежнего приема с дифференцированием ф относительно хз исключает вторую первичную величину из аргументов и снижает число аргументов еше на одно, Процесс, очевидно, может повторяться до полного исключения первичных величин.
Каждое исключение первичной величины сопровождается уменьшением числа аргументов иа одно, и таким образом окончательная функция становится функцией и — т аргументов. Рассмотрение характера подстановок, применяемых при осушествлеиии редукции обнаруживает характер аргументов окончательной функции, Мы имели дело с двумя типами замены переменных, с возведением в степень или с составлением отношения. Ясно, что комбинация таких подстановок можетдать только произведения первоначальных переменных в некоторых степенях. Отсюда мы получаем окончательный результат.
Если уравнение ~у (а, р, Т....)=0 есть полное уравнение, то решение имеет вид: г (п„п„...)=о, где П вЂ” являются независимыми произведениями аргумент ов а, р, Т,..., которые не имеют размерности относительно основных единиц. Результат, формул»рованный таким образом, известен под названием П-теоремы и в явной форме был высказан, повидимому, впервые Бэкннгэмом (4), эквивалентный результат применялся Джинсом (3), однако без отчетливой формулировки. Последнее уравнение может быть разрешено относительно любого из произведений, и новая форма прежиего результата будет; а '=й" т*...ф(п„П„...), где х таковы, что ар ' Т "',...
не имеет размерности. В этой форме результат есть математическое выражение принципа размерной однородности. Произвольная функция в правой части есть функция аргументов с нулевой размерностью, и таким образом каждый член результирующей функции должен сам по себе ие иметь размерности. Каждый член этой функции должен быть умножеи на член той же размерности, каковую имеет левая сторона уравнения, с тем, чтобы каждый член правой части имел такую же размерность как и левая часть.
Члены анализ елзмвэноствй могут быть перегруппированы любым способом, но при какой угодно перегруппировке размерность всех членов будет та же самая. Это положение известно под названием п р ни ци па размерной однородности. Часто делаются попытки дат, непосредственное доказательство принципа размерной однородности с точки зрения иа фор мулу размерности, как на выражение „физической сущности" некоторой величины. Так говорят, например, что уравнение, являющееся адэкватным выражением физических фактов, должно быть верным при любом изменении размеров основных единиц, ибо физическое соотношение не может зависеть от произвольного выбора единиц.
Если же уравнение верно при любом выборе единиц, то размерность всех членов должна быть одной н той же, иначе мы приравнивали бы друг другу величины различного физического характера, Например, согласно этому взгляау мы не можем иметь с одной стороны уравнения вели: чину с размерностью длины н величину с размерностью площади н~ другой стороне уравнения, ибо равенство плошади длине является абсурдом. Шаткость этой точки зрения будет ясной, если вспомнить, что уравнение может быть только уравнением между числами, являющимися мерой некоторых физических величин.
Особо важно отметить, что вышеприведенные рассуждения подлежали крайне существенному, не высказанному явно ограничению. Полагая р (к, р,...) =О, мы неявно предполагали, что это— единственное соотношение между а, р,... и что поэтому частные производные могут быть найдены обычным образом. Ес ~и в, р, т,... связаны и иными уравнениями помимо у (а, р,...,)=- О, то наши рассуждения перестают быть справедливыми и результаты не верны. В обшем случае не важно, что полное уравнение, т. е. уравнение, остаюшееся справедливым прн изменении раз.
мера первичных единиц, размерно однородно, Такое уравнение необходимо размерно однородно только в том случае, если нет других численных связей между переменными кроме самого уравнения. Рассмотрим в виде примера падение тела. Пусть и — егоско. рость, з — путь, пройденный падающим телом, à — время падения, л — ускорение силы тяжести, Эти величины связаны между собою и сушествует не только одно уравнение связи, так как я н з определены, если даны Г и и. Соотношения, связывающие эти з6личины, суть: 'О =йт' П твояямь Н а основании вышесказанного, мы можем ожидать, что полное уравнение, связываюшее э, з, л и Г, не окажется размерно однородным, Результат получается сразу, именно: э — з=у1 — —.
Ф 2' Это очевидно полное уравнение, потому что оно верно н останется верным 'при любом изменении размера основных единиц ллины и времени, На основании этих элементов можно построить уравнение значительно более необычное и очень сложное, на ~ример: Это — снова полное уравнение, оно не является размерно однородным и нарушает наше предвзятое мнение о возможных трансцендентных функциях.
Возможность уравнений такого рода сама по себе опровер- гает интуитивный метод доказательства принципа размерной од- нородности. Уравнение и Г- з =дт + †,- напоминает один нз приемов, применяемых в векторном анализе, в котором три скалярных уравнения могут быть заменены одним векторным, Разумеется можно складывать вместе любое число полных уравнений, полу- чая правильный результат. Если размерности первоначальных уравнений все различны, то получаемое сложное уравнение (полное, но размерно неоднородное) может быть разложено по. авне лобио векторному уравнению на некоторое число более про ур ний, если выбирать части с равными размерностя .
Я сгых знаю вп очем ми. не , впрочем, может ли такой метод сведения результатов в обшую компактную форму принести какие либо практические преимущества. Ве н ерн мся теперь к первой форме нашего результата: Р (П„п,, ...)=О, Рассмотрим произведения П н нх структуру нз переменных. Напишем типичное П в форме ка ~ Тс. а, Ь, с..... дол.кны быть выбраны так, чтобы вто выражение не имело размерности.
Подстановка размерных символов а, р,... Анализ Раэмаэиостей дает столько же уравнений между а, Ь, счч сколько имеется видов основных единиц. Эти урзвнения таковы: я,а+р Ь+1,с+,...= 0 к а+~эЬ+1ас-~-,...=0 „„, +З Ь+..... =0 Имеется лг уравнений, каждое с л членами.
Теорию решения такой системы уравнений можно найти в курсах алгебры. Вообще говоря, л) эг. При этом условии в общем случае будет и — лг независимых решений, т. е. будет и — и нева. висимых произведений без размерности, и произвольная функция Р будет функцией л — щ переменных, В некоторых специальных случаях это заключение лолжно быть видоиэменено. Если например л = лг, то решения, вообще говоря, не будет; оно имеется, однако, в том случае, когда летермииант показателей ~а, 'р1 .
ь '"а Ра =0 Лалее, может быть более чем л — пг независимых решений, Это проивойдет в том случае, когда асе пг-рядные детерминанты показателей равны нулю. Разумеется это — редкий случай, но мы встретимся с одним таким примером. В общем случае, когда имеет я л — гл невависимых решений, вообще говоря, возможно выбрать л — пг из величин а, Ь, с,... полходящим образом, приписать им л — эг независимых зна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
