Prog2 (Лекции)

Проект программы 2-го семестраУравнения Лагранжа 1-го и 2-го рода1. Принцип Даламбера-Лагранжа. Уравнения Лагранжа со множителями (уравненияпервого рода).2. Уравнения Лагранжа второго рода. Обобщенные силы. Случай потенциальных сил,лагранжиан. Первые интегралы уравнений Лагранжа второго рода: обобщенный интегралэнергии (интеграл Якоби), циклические координаты и циклические интегралы. Понижениепорядка по Раусу (теорема Рауса).**. Преобразования лагранжиана, сохраняющие уравнения. Калибровка. Явный вид уравненийЛагранжа. Символы Кристоффеля.

Кинетическая метрика. Геодезические. Разрешимость уравненийЛагранжа относительно старших производных.Вариационные принципы. Симметрии.3. Поле симметрий. Теорема Нётер.4. Вариационные принципы. Функционал действия и его вариация. Принцип Гамильтона.Принцип Мопертюи-Якоби. Кинетическая метрика. Область возможности движения.Метрика Якоби.

Вариация по Гамильтону и по Мопертюи-Якоби.Устойчивость положений равновесия. Малые колебания.5. Положения равновесия натуральных лагранжевых систем. Устойчивость положенияравновесия по Ляпунову. Теорема Лагранжа-Дирихле. Обобщение теоремы ЛагранжаДирихле для систем с гироскопическими силами.6. Линеаризация уравнений Лагранжа около положения равновесия. Уравнения малыхколебаний. Четность характеристического полинома линеаризованных уравнений.

Парностькорней характеристического уравнения. Формулировка теоремы Ляпунова о неустойчивостипо первому приближению.7. Степень неустойчивости. Теорема о гироскопической стабилизации.8. Влияние диссипативных сил на устойчивость положения равновесия. Диссипативностьсил Релея. Теорема Лагранжа-Дирихле при наложении диссипативных сил.Инвариантная мера9. Инвариантная мера. Мера с гладкой плотностью. Плотность при замене координат.Теорема Лиувилля об инвариантной мере. Построение инвариантной меры намногообразии уровней первых интегралов (Существование инвариантной меры уограничения системы на инвариантное многообразие.)10. Интегрируемость в квадратурах.

Теорема Якоби о последнем множителе.11. Теорема Пуанкаре о возвращении.Динамика твердого тела с ненодвижной точкой12. Динамика твердого тела с неподвижной точкой. Динамические уравнения Эйлера.Уравнения Пуассона. Первые интегралы уравнений Эйлера-Пуассона.13. Инвариантная мера уравнений Эйлера-Пуассона и интегрируемость в квадратурах.Дополнительный первый интеграл в трех классических случаях интегрируемости: Эйлера,Лагранжа и Ковалевской.14. Случай волчка Эйлера.

Фазовый портрет уравнений Эйлера. УстойчивостьСтационарных вращений. Эллипсоид инерции. Геометрическая интерпретация Пуансодвижения волчка Эйлера. Регулярная прецессия в случае Эйлера.15. Случай Лагранжа. Циклические интегралы. Понижение по Раусу. Фазовый портрет. След осидинамической симметрии на сфере.

Регулярная прецессия волчка Лагранжа.Гамильтонова механика I16. Преобразование Лежандра, и его свойства. Канонические переменные. Выводуравнений Гамильтона из уравнений Лагранжа. Уравнения Гамильтона, и их свойства.17. Циклические интегралы и понижение порядка в уравнениях Гамильтона.Инвариантная мера уравнений Гамильтона (теорема Лиувилля о сохранении фазовогообъема)18. Принцип Гамильтона в фазовом пространстве. Лемма об аннуляторе канонической 2формы.

Интегральный инвариант Пуанкаре-Картана. Интегральный инвариант Пуанкаре.19. Инвариантность канонической 2-формы при сдвиге по траекториям. Еще раз теоремаЛиувилля о сохранении фазового объема.20. Канонические преобразования. Производящая функция. Производящая функциятождественного преобразования. Невырожденность преобразований (разрешимость).21. Понижение порядка по Уиттекеру. Автономизация системы.22. Уравнение Гамильтона-Якоби. Полный интеграл. Разрешимость в квадратурах.Гамильтонова механика II23.

Инвариантная форма уравнений Гамильтона. Симплектическое многообразие.Формулировка теоремы Дарбу. Гамильтоново векторное поле.24. Скобка Пуассона и ее свойства. Тождество Якоби. Алгебры Ли. Примеры. Связькоммутатора функций и гамильтоновых векторных полей. Теорема Пуассона о первыхинтегралах.25. Теорема Лиувилля о вполне интегрируемых системах. Формулировка и схемадоказательства. Лагранжевы многообразия.Переменные действие-угол. Переменныедействие-угол для систем с одной степенью свободы. Переменные действие-угол длягармонического осциллятора..