TM-14 (Лекции), страница 2

Ему соответствует дифференциальное уравнениеСогласно определениюg s (q 0 ) = q( s ) = q 0 + v(q 0 ) s + O( s 2 )(*-1)Пусть теперь есть кривая q 0 (t ) . Обозначим вектор скорости q& 0 =g& s (q 0 ) = q& = q& 0 +∂vq& 0 s + O( s 2 )∂q q 0Во втором члене – матрицаd 0q (t ) . Иdtt =t0(*-2)∂v.∂q q 0Итак, мы имеем, зависящее от s , преобразование фазового пространства(q, q& ) → ( g s (q), g& s (q, q& ))Определение. Лагранжиан L инвариантен относительно этих преобразований, еслиL(q, q& , t ) = L( g s (q), g& s (q, q& ), t ) .Условие инвариантности (из (*)) : ∂L ∂g s ∂L ∂g& s  ∂L∂L ∂v =v+q& ≡ 0(**)L = +∂q& ∂qs =0 ∂q ∂s ∂q& ∂s  ∂qВ этом случае (т.е., в случае инвариантности) v(q) называют полем симметрий лагранжевой систе∂∂sмы.Теорема.

(Ли-Нётер) Если v(q ) - поле симметрий лагранжевой системы, то у нее имеетсяпервый интеграл движения∂Lv.∂q&Доказательство. Уравнения Лагранжаd ∂L ∂L−= 0 домножим v(q) :dt ∂q& ∂q14-Вариационные принципы-6∂L d  ∂L   ∂L dv ∂L  d  ∂L   ∂L ∂v v  − +v  =  v  − q& +v = 0∂q dt  ∂q&   ∂q& dt ∂q  dt  ∂q&   ∂q& ∂qd  ∂L  v  = 0 . Доказательство завершено.Но [K] = 0 согласно (**). Следовательноdt  ∂q& Пример. Пусть qn - циклическая координата, т.е.

L = L(q1 , K qn −1 ) . Положим v = (0, K ,0,1) .Тогда сдвиг фазового потока таков (q, q& ) → ( g s (q ), g& s (q, q& )) = (q + (0, K ,0, s ), q& ) . Очевидно, что Lинвариантен относительно таких преобразований. Это же можно было проверить с помощью (**).∂L∂Lv=.∂qn∂q&Задача. Пусть v(q ) - полк симметрий, и v(ξ ) ≠ 0 . Тогда в окрестности точки ξ можно вве-Интеграл Ли-Нётер совпадаетс циклическим интеграломсти обобщенные координаты так, что интеграл Ли-Нётер станет циклическим.Указание. Воспользоваться теоремой о выпрямлении векторного поля в окрестности неособойточки. Воспользоваться инвариантностью уравнений Лагранжа при замене координат.Замечание. Заметим, что для натуральных систем ( L = T − V и T - квадратично по скоростям) интегралы Ли-Нётер линейны по скоростям.Вопросы к материалу Лекция 14-2.• Вариационные принципы для периодических решений.• Периодические движения двойного маятника.• Поле симметрий.• Теорема Ли-Нётер..