TM-10 (Лекции)

10-Динамика материальной точки-1Лекция 10-1Движение точки по прямой.Уравнение движения в общем случае: m&x& = F (t , x, x& ) . Предположим, что F = F (x) , тогдаx∂V ( x)∂V ( x)сила потенциальна: F = −, где V = − ∫ Fdx и уравнения движения имеют вид m&x& = −.∂x∂xx0Закон сохранения энергии:mx& 2mx& 2+ V ( x) = h = const . Так как≥ 0 , то движение с данной22постоянной энергии h может происходить лишь в областиDh = {x ∈ R : h − V ( x) ≥ 0}Dh называется областью возможности движения (иногда употребляется термин – область возможного движения).

Это замкнутое множество в R . Оно состоит из не более чем счетного числа отрезков(возможно бесконечных, или вырождающихся в точку).Определение. Фазовой плоскостью системы “точка на прямой” называется плоскость2R = {( x, x& )} , т.е. плоскость пар – “положение – скорость”.Определение. Фазовым портретом системы m&x& = −уровня интеграла энергии γ h = {( x, x& ) :∂V ( x)называется семейство кривых∂xmx& 2+ V ( x) = h} на фазовой плоскости R 2 = {( x, x& )} , ориен2тированных естественным образом.

Кривые γ h могут быть несвязными, т.е. разбиваться на несколько отдельных замкнутых компонент (т.н. связных компонент). Из закона сохранения энергии следует,что система все время двигается по кривой γ h , на которой движение началось. Подмножество γ h ,которое заметается при неограниченном во времени (вперед или назад) движении системы – это фазовая кривая уравнений движения.Замечание.

О естественной ориентации кривых γ h . В верхней половине фазовой плоскости,где x& > 0 , координата x монотонно растет, а в нижней половине фазовой плоскости, где x& < 0 , координата x монотонно убывает. Значит, кривые γ h ориентированы так, что в верхней полуплоскостидвижение по ним происходит слева-направо, а в нижней – справа-налево. При этом, компоненты γ h ,являющиеся замкнутыми кривыми ориентированы по часовой стрелке.Утверждение.1. Проекция γ h на ось Ox совпадает с Dh .2. Крайние точки связных компонент Dh лежат на γ h .3. γ h симметричны относительно оси Ox .Доказательство. Сразу вытекает из формулы.

x& = ±вершено.Фазовый портрет удобно строить под графиком V .2h − V ( x) . Доказательство заm10-Динамика материальной точки-2Второй этаж в этой трехэтажной картине обычно пропускают.Замечание. Направление стрелок в верхней полуплоскости - вправо, в нижней - влево.Определение. Критическая точка функции потенциальной энергии – это точка, x0 , где∂V ( x0 )= 0 . Критическое значение энергии (или интеграла энергии) – это такое, что Dh со∂xдержит критическую точку потенциальной энергии.Критические точки потенциальной энергии являются положениями равновесия системы, т.е.

x(t ) = x0 является решением уравнений движения.Сепаратриса соответствует критическому значению энергии при котором достигается локальный максимум потенциальной энергии.Утверждение. Пусть функция V (x) гладкая и ее критические точки невырождены(т.е. в точках, где V ′( x0 ) = 0 , выполнено V ′′( x0 ) ≠ 0 ).

Тогда1. Для любого не критического уровня энергии h кривая γ h состоит из гладких несамопересекающихся компонент.2. Если h соответствует локальному максимуму V , то у γ h есть особенность типа.3. Если h соответствует локальному минимуму V , то соответствующая фазовая кривая является связной компонентой γ h и вырождается в изолированную точку.Доказательство.1.

Пусть точка A = ( x0 , x&0 ) ∈ γ h .Если x&0 ≠ 0 , то в окрестности точки A γ h - это график функции x& =2h − V ( x)m2h − V ( x) ). Под корнем стоит положительная величина (т.к. T > 0 ). Следоваmтельно, эта функция гладкая.Если x&0 = 0 , то h = V ( x0 ) . Поскольку h - некритическое значение, то V ′( x0 ) ≠ 0 .mu+ V ( x) − h = 0 . Поскольку вОбозначим x& 2 = u . Уравнение γ h имеет вид Φ ( x, u ) =2∂Φ= V ′( x0 ) ≠ 0 , то по теореме о неявной функции, это уравнениеточке ( x0 ,0) выполнено∂x(или x& = −10-Динамика материальной точки-3однозначно разрешимо и x(u ) = x0 + g (u ) , где g (u ) - гладкая функция.

Значит, в окрестностиособой точки γ h задается уравнениемx( x& ) = x0 + g ( x& 2 )где g - гладкая функция.Отметим, что g (0) = 0 и в точке x0∂Φ ∂Φ dx m0=+= + V ′′( x0 ) gu′ (0)∂u ∂x du 2т.е.mgu′ (0) = −2V ′′( x0 )Значитmx& 2x( x& ) = x0 ++ O( x& 4 )2V ′′( x0 )т.е. в окрестности A кривая представляет собой (в малом) квадратную параболу.Лемма. (малая лемма Морса?) Пусть f ( x) ∈C k , и x0 ∈ R некая точка. Тогдаf ( x) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) g ( x) , где g ( x) ∈ C k −1 и g ( x0 ) = f ′( x0 ) .Доказательство. Обозначимa( x) = f ( x) − f ( x0 ) .нат: y = x − x0 . Тогда a(0) = 0 . Нам достаточно доказать, чтоСдвинемначалокоорди-a( y ) = yg ( y ) , где g ( y ) ∈ C k −1 и g (0) = a′(0) .da.

Поскольку a(0) = 0 , тоОбозначим a′( y ) =dy1a( y) = ∫0111da (ty )d (ty )dt = ∫ a′(ty )dt = ∫ a′(ty ) ydt = y ∫ a′(ty )dtdtdt0001Обозначим g ( y ) = ∫ a′(ty )dt . Доказательство завершено.0Пустьf ( x) ∈C k ,иx0 ∈ Rнекаяточка.Тогдаf ′′( x0 ).f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 ) 2 g ( x) , где g ( x) ∈ C k − 2 и g ( x0 ) =22. Пусть x0 - точка локального максимума V , причем эта критическая точка невыроСледствие.ждена. Тогда V ( x0 ) = h , V ′( x0 ) = 0 , V ′′( x0 ) < 0 .

Поэтому V ( x) − h = ( x − x0 ) 2 g ( x) , где g (x) гладкая функция, причем V ′′( x0 ) = 2 g ( x0 ) < 0 . Уравнение для γ h имеет видmx& 2mx& 2+ ( x − x0 ) 2 g ( x) = 0 или= −( x − x0 ) 2 g ( x)22Решение имеет две ветвиm x& = ±( x − x0 ) − 2 g ( x)Они называются ветвями сепаратрисы. Модуль тангенса угла наклона этих ветвей к оси Oxравенdx&2 g ( x0 )V ′′( x0 )= −= −dxmmЗамечание. В первом приближении ветви сепаратрисы задаются уравнениемm x& = ±( x − x0 )( − V ′′( x0 ) + O( x − x0 ))Φ( x, x& ) =10-Динамика материальной точки-43. Пусть x0 - точка локального минимума V Тогда V ( x0 ) = h и для всех близких к x0значений x будет V ( x) > h .

Значит в проколотой окрестности точки ( x0 ,0) будетmx& 2mx& 2+ V ( x) > h . Т.е. решений уравнения+ V ( x) = h нет. Значит, точка ( x0 ,0) является изо22лированной точкой γ h .Пример. Математический маятник.Формально – это движение материально точки по вертикальной гладкой окружности в полетяжести. Не совсем строго – это материальная точка подвешенная в вертикальной плоскостина нерастяжимой (и несжимаемой и несгибаемой) нити.

Натяжение нити обозначим Fнат потом мы узнаем, что оно называется реакцией связи. Тогда уравнение движения точки выглядит так:m&r& = mg + FнатЧтобы избавиться от реакции связи Fнат , проектируем уравнение на ориентированную касательную к окружности, по которой движется точка, т.е. на вектор eϕ полярной системы координат. Поскольку r = const , r& = 0 , то получимmrϕ&& = −mg sin ϕ“минус” здесь потому, что (на рисунке) ϕ < 0 , а проекция mg - положительна.

(Если ϕ > 0 ,то “минус” сохранится).Уравнение движения для ϕ имеет такой же вид, как и уравнение движения точки попрямой в потенциальном поле сил. Роль потенциальной энергии играет функцияV (ϕ ) = −mg cos ϕ .Интеграл энергииmrϕ& 2− mg cos ϕ = h2Фазовый портрет системыВсе картинки 2π периодичны по ϕ .Квадратуры.Проинтегрируем уравнения движения материальной точки по прямой2x& = ±h − V ( x)m10-Динамика материальной точки-5следовательноxdξ2∫x ± h − V (ξ ) = m (t − t0 )0Отсюда вытекает формула для периода движения по замкнутой фазовой кривойT ( h) =x2 ( h )∫x1 ( h )T ( h) = 2x2 ( h )∫dx2h − V ( x)m+dxx1 ( h )∫x2 (h)dx−= 2m2h − V ( x)mx2 ( h )∫dxh − V ( x)2x1 ( h )h − V ( x)mМожно показать, что этот интеграл сходится и в несобственных точках x1 и x2 , в которыхh − V ( x) = 0 .

Поскольку в окрестности этих точек под интегралом стоит величина обратнаякорню квадратному из линейной функции (с точностью до малых второго порядка).Отметим, чтоx ( h) ∂∂  2∂T ( h) =2 ∫ 2m h − V ( x) dx  =mx&dx =pdx∫∂h  x1 ( h )∂h γ∫h ∂h γ hгде p = mx& - импульс точки.x1 ( h )Вопросы к материалу Лекция 10-1.••••••••••Движение точки по прямой.Закон сохранения энергии. Область возможности движения.Фазовая плоскость системы “точка на прямой”.Фазовый портрет.Ориентация линий уровня и их свойства.Критический уровень.Сепаратриса.Типы точек линий фазового портрета.Математический маятник.Интегрирование в квадратурах и период движения для движения точки по прямой.Лекция 10-2Асимптотики периода колебаний.(1) Малые колебания ( h ≈ min V ).Рассмотрим движение в окрестности невырожденного минимума потенциальной энергии.

Вэтом случае, обычно не исследуют интеграл (квадратуры), а линеаризуют уравнения. Делают это так.Мы интересуемся движениями, при которых x ≈ x0 , где в точке x0 V имеет локальный минимум.Мы рассматриваем невырожденный случай, т.е. V ′( x0 ) = 0 , V ′′( x0 ) > 0 . Положим ξ = x − x0 ≈ 0 .Тогда уравнение движения m&x& = −∂Vперейдет в∂x10-Динамика материальной точки-6mξ&& = −V ′( x0 + ξ ) = −V ′( x0 ) − V ′′( x0 )ξ + O(ξ 2 )Отбрасывание нелинейностей в уравнении называется его линеаризацией.

Линеаризуем это уравнение. ПолучимV ′′( x0 )mξ&& = −V ′′( x0 )ξ , или ξ&& = −ω 2ξ , где ω 2 =>0mОбщее решение этого уравнения имеет вид гармонических колебанийξ = a sin ωt + b cos ωt = A cos(ω t + B)V ′′( x0 )m, а период равен 2πV ′′( x0 )mИтак, частота малых колебаний равна (приближенно)Сдвиг координаты x и добавление константы к потенциальной энергии не изменяет уравнений движения. Поэтому, не нарушая общности будем считать, что V ( x0 ) = 0 и x0 = 0 .