TM-09 (Лекции), страница 2

имеет в своем составе четыре некомпланарные материальные точки, то оператор инерции тоже невырожден.Решение. (Решить)Утверждение. Для твердого тела с неподвижной точкой выполнено09-Динамика и статика свободного твердого тела-5T=11< K O ,ω >= < I Oω ,ω >22Доказательство. Из (*) и (**)r< I O ω ,ω >=< K O , ω >= ∑ m j < [rj ,[ω , rj ]],ω > == ∑ m j < [ω , rj ],[ω , rj ] >= = ∑ m j r&j2 = 2TДоказательство завершено.Замечание. Оператор инерции – это линейный оператор. Иногда его рассматривают как тензор второго ранга (т.е., билинейный функционал) и называют тензором инерции.Следствие 1.

I l =< I O e , e > для оси l = Oe .Доказательство. Пусть тело вращается вокруг l . Тогда ω = ω e111I lω 2 = T = < I Oω ,ω >= < I O e , e > ω 2222Доказательство закончено.Следствие 2. Так как T > 0 при ω ≠ 0 , то симметрическая матрица I O положительно определена.Утверждение. Пусть I O и I O′ - операторы инерции в системах координат Oxyz и Ox′y′z′ ,причем радиус векторы r и r ′ в этих системах связаны ортогональным оператором Γ , т.е. r = Γr ′ .Тогда I O = ΓI O′ ΓT .Доказательство. Заметим, что для ортогонального преобразования det Γ = ±1 ,Γ[a , b ] = [Γa , Γb ] det Γ .Пусть ω и ω ′ - векторы угловой скорости в данных системах координат. Покажем, чтоω = Γω ′ det Γ(***)Действительно, по формуле Эйлера, ∀A, B r&A′ = r&B′ + [ω ′, rA′ − rB′ ] .

ПоэтомуиΓr&A′ = Γr&B′ + Γ[ω ′, rA′ − rB′ ] = Γr&B′ + [Γω ′, Γ(rA′ − rB′ )] det ΓНо r = Γr ′ , r& = Γr& ′ , поэтомуr&A = r&B + [Γω ′ det Γ, rA − rB ]Вспоминая, что и r&A = r&B + [ω , rA − rB ] , получаем (***).Пусть твердое тело вращается вокруг точки O с угловой скоростью ω (или, в других координатах, ω ′ ), тогда2T =< I 0ω ,ω >=< I 0′ω ′,ω ′ >Поэтому< I O Γω ′, Γω ′ > (det Γ) 2 =< ΓT I O Γω ′,ω ′ >=< I 0′ω ′,ω ′ >Поскольку вектор ω ′ произвольный, тоΓT I O Γ = I 0′ или I O = ΓI O′ ΓTДоказательство завершено.Таким образом, при ортогональных заменах координат матрица I O преобразуется как матрица квадратичной формы.Следствие.

В некоторой (ортогональной) системе координат I O является диагональной матрицей. Это вытекает из теоремы о приведении квадратичной формы к главным осям (см. курс линейной алгебры).Система координат, в которой I O является диагональной матрицей называется главными осями инерции твердого тела.Векторы, направленные вдоль главных осей инерции, являются собственными векторамиоператора I O .09-Динамика и статика свободного твердого тела-6Замечание. Если I O имеет совпадающие собственные значения, то главные оси инерции определены неоднозначно.

(В противном случае неоднозначность сводится лишь к изменению направления осей, или к их переобозначению).Утверждение.а) Пусть твердое тело имеет ось симметрии l , O ∈ l . Тогда ее направляющий вектор el - собственный вектор для I O .б) Пусть твердое тело лежит в плоскости π , O ∈ π . Тогда вектор eπ перпендикулярныйплоскости π - собственный вектор для I O .Доказательство. Пусть твердое тело вращается вокруг l с угловой скоростью ω el . ТогдаK O = ∑ m j [rj , r&j ] = ∑ m j [rj ,[ω , rj ]] = ∑ m j rj2ω − ∑ m j < rj ,ω > rjСуммировать можно по парам точек симметричных относительно l . Посчитаем вклад однойиз таких пар r ′ и r ′′ .

Согласно предположению m′ = m′′ . Следовательно,m′ω r ′2 − m′r ′ < r ′,ω > + m′′ω r ′′2 − m′′r ′′ < r ′′,ω >=r= 2m′ω r ′2 − m′ < r ′,ω > (r ′ + r ′′) || ωСледовательно, K O || ω . Т.к. K O = I Oω = I O elω || el , то а) доказано.б) Пусть твердое тело вращается вокруг оси Oeπ , ω = ω eπ .K O = ∑ m j [rj ,[ω , rj ]]Так как [ω , rj ] ∈ π , то [rj ,[ω , rj ]] ⊥π . Значит K O || ω .

Доказательство завершено.Пример. Главные оси инерции диска относительно точки O , лежащей в его плоскостиOx - ось симметрии , Oy - перпендикуляр к плоскости – это главные оси инерции. Значит, (факт излинейной алгебры) и ось Oz - перпендикуляр к плоскости C∈l - также главная ось инерции.Вопросы к материалу Лекция 09-03.• Свойства моментов инерции.• Теорема Гюйгенса-Штейнера.• Вычисление кинетического момента твердого тела с неподвижной точкой.• Оператор инерции твердого тела.• Связь кинетической энергии, кинетического момента и оператора инерции.• Свойства оператора инерции. Тензор инерции.• Изменение оператора инерции при переходе к другой системы координат.• Главные оси инерции..