TM-07 (Лекции), страница 2

Доказательство завершено.внешнПример. Палочка на льду.Px = Fx = 0A x&C = const - проекция центра масс на ось Ox движется с постоянной скоростью. То же и для другой оси.В частности, если в начальный момент палочка покоилась, то xC = const .Напоминание. Кинетический момент относительно точки Oxy: Сдвигаем начало координат вO , тогдаK O = ∑ [rj , m j r&j ]jКинетический момент относительно направленной оси l , проходящей через точку C : Пусть e - направляющей вектор оси ϕ, тогдаK l =< K O , e >Задача.

Покажите, чтоhне зависит от выбора точки O на оси.07-Общие теоремы динамики для систем со связями-6Решение.K l = ∑ < [rj , m j r&j ], e > = ∑ < m j r&j ,[e , rj ] > = ∑ < m j r&j , [e , r j + λe ] >jjjАналогично определяется момент сил относительно точки и осиM O = [r j , F j ] , M l =< M O , e >∑jТеорема. (Об изменении кинетического момента относительно оси).Если связи, наложенные на систему, идеальны и допускают поворот всей системы как твердого тела вокруг оси l , то скорость изменения кинетического момента относительно этой оси равнамоменту внешних активных сил относительно этой оси.K& l = M l , M l =< [r j , F j ], e >∑внешнСледствие. Если связи допускают поворот всей системы как твердого тела вокруг точки O ,то скорость изменения кинетического момента относительно этой точки равна моменту внешних активных сил относительно этой точки.K& O = M OДоказательство теоремы.

По условию теоремы среди виртуальных перемещений есть такие:δr j = [e , r j ] , , j = 1,2,K, nэто скорости точек при повороте системы вокруг оси с единичной угловой скоростью. Подставляемэто виртуальное перемещение в принцип Даламбера-Лагранжаn∑ < m &r& − F ,[e , r ] > = 0j jj =1jjЗамечаем, чтоd< e , [r , r& ] >=< e , [r& , r& ] > + < e , [r , &r&] >=< e , [r , &r&] >=< &r&, [e , r ] >dtЗначитn∑ < m j &r&j ,[e, rj ] > =j =1d n< e , [r j , m j r&j ] > = K& l∑dt j =1Кроме того, для внутренних сил Fkj = − F jk || (r j − rk ) , поэтомуn∑ [r , F ] = ∑ [r , F ] + ∑ ([r , Fj =1=jjjjвнеш∑ [r , F ] + ∑ [rjjвнешвнутрjkj] − [rk , Fkj ]) =внутрj− rk , Fkj ] = ∑ [r j , F j ]внешЗначитn∑ < F ,[e, r ] > = ∑ < e ,[r , F ] >j =1jjjjвнешЭто и доказывает теорему.Пример.

Физический маятник.K& z = M zЗадача. Доказать, чтоа) M z = − mgl sin ϕ . б) K& z = I zϕ&& , где I z > 0 - некий коэффициент.07-Общие теоремы динамики для систем со связями-7Вопросы к материалу Лекция 07-02.• Общие теоремы динамики для систем со связями.• Теорема об изменении импульса.• Кинетический момент относительно точки и оси.• Теорема об изменении кинетического момента.Лекция 07-03Определение. Возьмем какое-нибудь движение системы r (t ) = (r1 (t ),K , rn (t )) , удовлетворяющее наложенным связям. Действительным перемещением в точке r (t ) называется вектор скорости движения в этой точке r& (t ) , т.е.

вектор с компонентамиδr j = r&jНазвание этого вектора происходит от того, что при бесконечно малых δt вектор с компонентамиδr j = r&j δtявляется бесконечно малым перемещением вдоль траектории движения.Замечание. Действительное перемещение не всегда находится среди виртуальных перемещений (т.е., не всегда им является).

Препятствием является зависимость связей от времени. Пусть насистему наложены связиf (r1 ,K, rn , t ) = 0 ,rf ∈ RkПодставим в уравнения связей траекторию движения – они будут тождественно удовлетворятся.Продифференцировав по времени получим<∂f &∂f &∂fr1 + Krn > +=0∂r1∂rn∂tЕсли в точке r = (r1 ,K, rn ) в момент времени t выполнено∂f≠ 0 , то для любой траектории, про∂tходящей через эту точку в данный момент, действительное перемещение не является виртуальнымперемещением.

Т.е. никакое действительное перемещение не является виртуальным перемещением.И обратно, если в точке r = (r1 , K, rn ) в момент времени t выполнено∂f= 0 , то простран∂tство действительных перемещений лежит в пространстве виртуальных перемещений. Т.е. для любойтраектории, проходящей через эту точку в данный момент, действительное перемещение являетсявиртуальным перемещением.Задача. Докажите, что если в точке r = (r1 ,K, rn ) в момент времени t выполнено∂f= 0 , то∂tпространство действительных перемещений совпадает с пространством виртуальных перемещений.Задача. Докажите, что разность двух возможных перемещений – это виртуальное перемещение.

И наоборот, любое виртуальное перемещение можно представить в виде разности двух возможных перемещений.Задача. Сформулируйте условия идеальности связей, используя возможные перемещения.Ответ. Связи идеальны, если элементарная работа реакций связей на любых возможных перемещениях одна и та же.Задача. Сформулируйте принцип Далабера-Лагранжа, используя возможные перемещения.Теорема. (Об изменении кинетической энергии).Если связи идеальны и на траектории движения действительные перемещения являются виртуальными, то скорость изменения кинетической энергии системы равна суммарной мощности всехактивных сил, приложенных к точкам системы (как внутренних, так и внешних).

Т.е.T& = ∑ < F j , r&j >jДоказательство. Применим принцип Даламбера-Лагранжа, взяв в качестве виртуальных перемещений действительные. Тогда07-Общие теоремы динамики для систем со связями-8∑ < m &r& − F , r&jjj>=0jЗамечаем, чтоd 1T& =  ∑ m j < r&j , r&j >  = ∑ m j < &r&j , r&j >dt  2 jjОтсюда очевидно, соедует утверждение теоремы.Задача.

Пусть в любой момент времени на траектории r j = r j (t ) выполняется условие∂f= 0 . Выполняется ли для этой траектории теорема об изменении кинетической энергии.∂tПример. Покажем, что, если связи нестационарны, то, вообще говоря,T& ≠ ∑ < F j , r&j >jМаленький шарик в гладкой трубке, вращающейся вокруг вертикальной оси с постоянной угловойскоростью ω .Составим уравнение связи.

Пусть (ξ ,η ) - координаты в горизонтальной плоскости, и ϕ = ω t- угол поворота трубки (оси x ). Тогда(ξ ,η ) || (cos ϕ , sin ϕ )Значит уравнение связи таково:ξ sin ω t − η cos ω t = 0Связь нестационарная. Виртуальные перемещения определяются из условияδξ sin ω t − δη cos ω t = 0Трения нет значит R ⊥(cos ϕ , sin ϕ ) . Следовательно, < R , (δξ , δη ) >= 0 , т.е., связь идеальная.Мощность активных сил равна нулю.Выпишем теперь уравнения движения в подвижной системе, пользуясь тем, что проекция силтяжести и кориолисовых сил на ось x равна нулю.m&x& = 0 + Fперх + Fкор , m&x& = mω 2 xДомножив на x& получаем первый интегралmx& 2x− mω 2 = h22С другой стороны2vабс= x& 2 + ω 2 xПоэтому2d mvабс= m( &x& + ω 2 x) x& = 2mω 2 xx& ≠ 0dt 2Пример щаверщен.Задача.

Для предыдущего примера найти движение, при котором все-таки выполняется теорема об изменении кинетической энергии.Ответ. x ≡ 0 , поскольку здесь f t′ = 0 .Следствие из теоремы. (Закон сохранения энергии). Пусть связи идеальны и стационарны.Пусть активные силы потенциальны: F j = −∂Vи потенциальная энергия V (r1 , K, rn ) не зависит∂r jявно от времени, Тогда полная энергия системы при движении сохраняется:T + V = const07-Общие теоремы динамики для систем со связями-9Доказательство.

Поскольку связи стационарны, то действительные перемещения лежат среди виртуальных. Применяя теорему об изменении кинетической энергии, получаем∂V &T& = ∑ < F j , r&j > = −∑ <, r j > = −V&∂rjjjДоказательство завершено.Вопросы к материалу Лекция 07-03.• Действительные перемещения и их свойства.• Теорема об изменении кинетической энергии• Закон сохранения энергии..