Физические основы квантовых вычислений, страница 5

С другой стороны, если рассматривать вектор |piкак состояние системы с определенным импульсом, данный матричный элемент есть не что иное, как волноваяфункция частицы с определенным импульсом. но определенным импульсом обладает свободная частица, следовательно это – волновая функция свободной частицы. Можнопостулировать вид этой волновой функции, тем более, чтоисторически это и был один из первых постулатов квантовой механики: волна де-Бройля, однако мы останемся наболее общих позициях и останемся в рамках принятых постулатов, а именно: коммутационных соотношений (4.11),исходя из которых получим выражение для искомой матрицы перехода-плоской волны.Решение задачи носит формальный характер и получается с помощью некоторого искусственного приема.

Введем38оператор¡¢bQ(a)= exp −i~−1 ap̂ ,(8.3)где a – пока некоторый произвольный параметр.Вычислим коммутатор, используя соотношение (4.12):hib∂Qbbr̂, Q = i~= aQ.∂ p̂(8.4)Подействуем теперь на собственный вектор оператора координаты произведением операторов:³´b 0 i = Qr̂b + aQb |r0 i = (r0 + a)Q|rb 0ir̂Q|rb 0 i есть собственныйТаким образом видим, что вектор Q|rвектор оператора координаты с собственным значением (r0 +a). Из эрмитовости оператора координаты сразу вытекает требование действительности параметра a. Таким образом оператор (8.3) оказывается унитарным, а, следовательно, обратный совпадает с эрмитовски сопряженным.Никаких других ограничений на параметр a нет, поэтомуспектр оператора координаты оказывается непрерывным инеограниченным.

Соответственно получаем:b + Q|rb 0 i = hr0 |r0 i.hr0 + a|r0 + ai = hr0 |Q(8.5)Собственные векторы с непрерывным спектром нормированы на δ-функцию, а из последнего соотношения видно,что нормировка не зависит от собственного значения оператора координаты.Выберем в качестве параметра какое-либо собственноезначение оператора координаты (радиус-вектор) и подействуем оператором (8.3) на собственный вектор операторакоординаты с собственным значением, равным нулю:¡¢−1bQ(r)|0i(8.6)r = exp −i~ rp̂ |0ir = |ri.39Таким образом любой собственный вектор оператора координаты может быть получен действием оператора сдвига(8.3) на “основной” собственный вектор оператора координаты.Упражнение.b + (a)r̂ Q(a)?bЧему равен оператор QПроделаем теперь аналогичные выкладки для собственных векторов оператора импульса.

Введем оператор сдвигав импульсном пространстве:¡¢Pb(k) = exp i~−1 kr̂ .(8.7)Легко показать, чтои, соответственно,hip̂, Pb(k = kPb(kPb(k)|p0 i = |k + p0 i.(8.8)Pb(p)|0ip = |pi.(8.9)Как и для собственных векторов оператора координаты,любой собственный вектор оператора импульса (состояниес определенным импульсом) можно получить, подействовав оператором сдвига (8.7) на “основной” собственный вектор оператора импульса:Теперь мы готовы вычислить матричный элемент искомой матрицы перехода:hr|pi = hr|e(i~−1 pr̂) |0i .pДалее вспомним, что если fˆ|f i = f |f i, то F (fˆ)|f i = F (f )|f i,поэтому−1−1hr|e(i~ pr̂) = e(i~ pr) hr|.40Таким образом получаем:hr|pi = e(i~−1 pr) hr|0i .pВыразим в полученной формуле вектор бра через “основной” и получимhr|pi = e(i~−1 pr) h0|e(i~−1 rp̂) |0i = e(i~−1 pr) h0|0i .

(8.10)rprpОсталось найти константу r h0|0ip . Для этого воспользуемся условием нормировки и полноты системы собственныхвекторов:Z00δ(p − p ) = hp|p i = drhp|rihr|p0 i.Подставляя полученное выражение для матрицы перехода(8.10), получаем:Z−10|r h0|0ip |2 dre(i~ (p −p)r) = δ(p − p0 ).Подставляя известное значение интеграла, получаем искомый нормировочный множитель:|r h0|0ip |2 = (2π~)−3 .(8.11)Теперь можем записать окончательное выражение для матрицы перехода или нормированной на δ-функцию волновую функцию свободной частицы:hr|pi = ψp (r) =1−1ei~ pr .(2π~)3/2(8.12)Подставим теперь в формулу (8.5) полученное выражениедля матрицы перехода (8.12). Поскольку матрица оператора импульса в собственном представлении есть δ-функция,один интеграл по p0 сразу "снимается"и получаем:Z1−100hr|p̂|r i =dppei~ p(r −r) =3(2π~)41∂= i~ 0∂rµ1(2π~)3Zdpei~−1 p(r0 −r)¶= i~∂δ(r − r0 ).

(8.13)∂r0Итак, матрица оператора импульса в координатном представлении есть производная от δ-функции.УпражнениеПоказать, чтоhp|r̂|p0 i = −i~∂δ(p − p0 ).∂p0(8.14)Теперь можно вернуться к определению вида неизвестной функции χ(r). Подставляя формулу (3.12) в подынтегральное выражение (3.17), получае쵶Z∂∂00χ(r) = dr i~ 0 δ(r − r ) ψ(r0 ) = −i~ ψ(r). (8.15)∂r∂rТаким образом действие оператора импульса на волновуюфункцию сводится к ее дифференцированию.УпражнениеПоказать, чтоhr|p̂2 |r0 i = −~2∂2δ(r − r0 ).∂r0 2(8.16)Запишем теперь уравнение Шредингера в координатном представлении. Для этого спроектируем уравнение (2.2)на произвольный базисный вектор оператора координаты.Получаем∂bi~ hr|Ψi = hr|H|Ψi.(8.17)∂t42Оператор, стоящий справа, следует преобразовать по ужезнакомой схеме.

"Расщепим"его единичным операторомZZ000bbbhr|H|Ψi = hr|H 1̂r |Ψi = dr hr|H|r ihr |Ψi = dr0 H(r, r0 )Ψ(r0 ).Как и следовало ожидать, уравнение формально имеет интегральный вид, однако подставляя результаты, полученные в упражнениях, легко видеть, что уравнение Шредингера в координатном представлении имеет "привычный"дифференциальный видi~~2∂Ψ(r, t) = −∆Ψ(r, t) + U (r)Ψ(r, t).∂t2m(8.18)Рассмотрим теперь уравнение Шредингера в импульсном представлении.

Как мы видели только что, необходимопросто получить вид стационарного уравнения Шредингера, поскольку оператор дифференцирования по времениникаких проблем не вызывает. Итак, по известной схемепроводим преобразования:Zbbb 0 ihp0 |Ψi =hp|H|Ψi = hp|H 1̂p |Ψi = dp0 hp|H|p=Z³´b |p0 i Ψ0p .dp0 hp|Tb|p0 i + hp|UС оператором кинетической энергии разобраться также просто, как и с оператором потенциальной в координатном представлении:Zdp hp|Tb|p0 iΨ0p =0Zdp0p2p0 2δ(p − p0 )Ψ0p =Ψp . (8.19)2m2mНемного сложнее обстоит дело с оператором потенциальb (r̂)|p0 i намной энергии, поскольку матричный элемент hp|U43пока неизвестен. Вновь поступим в соответствии со знакомой схемой: "расщепим"его единичными операторамиZZ00bbb (r̂)|r0 ihr0 |p0 i.0hp|U (r̂)|p i = hp|1̂r U (r̂)1̂r |p i =drdr0 hp|rihr|UВновь появился знакомый матричный элемент операторапотенциальной энергии в координатном представлении исоответствующие волновые функции.

После одного интегрирования по координате r0 получаемZ1−100bhp|U (r̂)|p i = dre−i~ (p−p )r U (r) =3(2π~)1Up−p0 .(8.20)=(2π~)3Итак, матричный элемент оператора потенциальной энергии в импульсном представлении есть образ Фурье. Уравнение Шредингера становится интегральным. Сделаем замену переменной: p − p0 = q, тогда p0 = p − q и dp0 = dq.ПолучаемZdqp2Ψp +Uq Ψp−q = EΨp .(8.21)2m(2π~)3Как видно из структуры уравнения, в потенциале частица получает или передает импульс, но так, чтобы полныйимпульс сохранился.ПримерНайти уровень энергии и волновую функцию связанного состояния частицы в поле одномерной δ-ямы:V (x) = −~2κ0 δ(x)m44Решим задачу в p-представлении.

Для этого прежде всегозаметим, что образ Фурье от потенциала есть просто const:Z~2Vq = e−iqx/~ V (x)dx = − κ0 .mТаким образом, уравнение Шредингера в импульсном представлении принимает простой видp2~κ0ψp −2m2πmОбозначим+∞Zdqψp−q = Eψp .−∞+∞+∞ZZdpψp = C.dqψp−q =−∞−∞Поскольку E < 0, получаем выражение для функцииψp =~κ0 C.2πm(p2 /2m + |E|)Согласно определению константы C, получаем уравнение,из которого находится уровень энергии:C=+∞Z−∞~κ0 Cdp.2πm(p2 /2m + |E|)Вводя безразмерную переменную p/~κp 0π 2m|E|+∞Z−∞p2m|E| = z, получаемdz= 1.+1z2Поскольку интеграл равен π, получаем уровень энергии:E=−~2 κ02.2m45Волновая функция равнаψp =~κ0 C.+ ~2 κ02 )π(p2Неизвестная константа C определяется из условий нормировки:+∞Z|ψp |2 dp = 1,−∞или |C|−2=µ~κπ+∞¶2 Z−∞dp.(p2 + ~2 κ02 )2Интеграл легко вычисляется с помощью методов ТФКП:следует взять вычет в полюсе второго порядка, напримерв верхней полуплоскостив точке z = i~κ0 , после чего полу√чаем C = 2π~κ0 , и, соответственно, нормированная волновая функция в p-представлении имеет видr21.· 2 2 2ψp =π~κ0 p /~ κ0 + 11.9Уравнение Шредингера в произвольном представленииМы получили вид основных операторов в координатном(x-представлении) и в импульсном (p-представлении).

Используя стандартную схему, нетрудно получить и другиерезультаты, позволяющиe связать общий подход дираковского формализма с представлениями волновой функции.Изложенное выше можно применить для произвольного представления. Пусть есть некоторый базис |fn i, скажем, набор собственных векторов эрмитова оператора (оператора какой-либо физической величины) fˆ:fˆ|fn i = fn |fn i.46(9.1)Пусть нужно решить стационарное уравнение ШредингераbH|ψi= E|ψi,тогда вектор состояния |ψi в представлении собственныхсостояний оператора fˆ имеет видX|ψi =an |fn i, где an = hfn |ψi.(9.2)Запишем стационарное уравнение Шредингера в “f -предстaвлении”. Для этого спроектируем его на произвольныйвектор базиса |fn i так же, как мы это делали для p- илиx-представлений:bhfn |H|ψi= Ehfn |ψi = an E.(9.3)В уравнении (9.3) “расщепим” матричный элемент единичным операторомXXb 1̂n |ψi =b n0 ihfn0 |ψi =hfn |Hhfn |H|fHnn0 an0 .n0n0Подставляя результат в уравнение (9.3), получаем однородную систему алгебраических уравнений относительно“переменных"an :X¡¢Hnn0 − Eδn,n0 an0 = 0,(9.4)n0которое имеет нетривиальное решение, если¡¢det Hnn0 − Eδn,n0 = 0.(9.5)Уравнение (9.5), как хорошо известно, называется секулярным.

Собственные значения матрицы Hnn0 определяют энергетический спектр, а коэффициенты an определяютнужные суперпозиции для собственных состояний гамильтониана. Эта схема очень полезна для численных расчетов.47Рассмотрим теперь, как осуществляется формальныйпереход от одного представления к другому. Иными словами, если заданы состояние |ψi и оператор Fb в представлении состояний |fn i (в f -представлении), какой вид ониимеют в представлении состояний |gα i (g-представлении)?Вновь сделаем стандартное преобразование:Xfhfn |gα ihgα |F |gα0 ihgα0 |fn0 i. (9.6)hfn |F |fn0 i = Fnn0 =α,alpha0С другой стороны очевидно, чтоXX|fn i =hgα |fn i.|gα i =Sαn |gα i,α(9.7)αгде Sαn – матрица перехода от одного базиса к другому.Тогда уравнение (7.16) перепишется в видеXf−1 gSnαFαα0 Sα0 n ,(9.8)Fnn0 =α,alpha0гдеgFαα−0 = hgα |F |gα0 i– g-представление оператора Fb .Иными словами:Fb (f ) = S −1 (f ← g)Fb(g)S(f ← g).Очевидно, S –унитарная матрица.48(9.9)(9.10)Глава 2Гармоническийосциллятор2.1ГамильтонианЭта система хорошо всем известна из классической механики: частица движется под действием гармонической силы F = −kr.

Поскольку F = −∇U (r), в этом случае потенциальная энергия есть U (r) = kr2 /2. Это изотропныйгармонический осциллятор. Нам нужно определить спектри состояния осциллятора, а для этого необходимо решитьстационарное уравнение Шрёдингера:µ 2¶p̂b+ U (r) ψ(r) = Eψ(r).(1.1)2mВидно, что в данной задаче разделяются переменные, посколькуµ¶1 2122222(p̂ + p̂y + p̂z ) + k(x + y + z ) ψ(r) = Eψ(r). (1.2)2m x2Будем искать решение в виде произведения ψ(r) = ψ1 (x)ψ2 (y)ψ3 (z),тогда задача (1.1) распадается на три совершенно одина49ковых одномерных задач趵 2p̂α1 2+ kx ψα (xα ) = Eα ψα (xα );2m 2 αE=XEα .

(1.3)αТаким образом задача свелась к решению одномерного уравнения Шредингера, которое в координатном представлении имеет вид:−~2 d2 ψ(x) kx2+ψ(x) = Eψ(x).2m dx22(1.4)Прежде чем приступить к решению уравнения, вспомнимосновные свойства решения одномерного уравнения Шредингера.1. Поскольку U (x)|x→∞ → ∞, движение финитно (существуют только связанные состояния);2. cпектр только дискретный и3. при этом невырожден.2.2Операторы a и a+Как хорошо известно,p классический осциллятор колеблется с частотой ω = k/m, при этом потенциальная энергияравна U (x) = mω 2 x2 /2. Уравнение удобно решать, введябезразмерные (“осцилляторные") единицы.