Физические основы квантовых вычислений

Оглавление1 Дираковская формулировка квантовой механики1.1 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2 Дираковская формулировка квантовой механики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3 Временная эволюция состояний. . . . . . . . .1.4 Гамильтоновы системы. Квантование. . . .

.1.5 Представления Шредингера и Гайзенберга .1.6 Представление взаимодействия . . . . . . . .1.7 Представления основных операторов . . . . .1.8 Матрица перехода, волновая функция свободной частицы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.9 Уравнение Шредингера в произвольном представлении . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .2 Гармонический осциллятор2.1 Гамильтониан . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2 Операторы a и a+ . . . . . . . . . . . . . . . .2.3 Спектр и состояния осциллятора. Энергетическое представление . . . . . . . . . . . . . .2.4 Волновые функции . . . . . . . . . . . . . . .2.5 Когерентные состояния осциллятора .

. . . .3668152026303237464949505255583 Матрица плотности3.1 Определение матрицы плотности . . . . . . .3.2 Свойства матрицы плотности . . . . . . . . .3.3 Эволюция во времени. Уравнение Лиувилля3.4 Равновесная матрица плотности . . . . . . . .4.5 Уравнение для матрицы плотности в координатном представлении . . . . . . . .

. . . . .62626971734 Представления матрицы плотности4.1 Функция Вигнера . . . . . . . . . . . . . . . .4.2 Некоторые свойства преобразования Фурье.Уравнение Мойала для функции Вигнера . .4.3 Томографическое распределение . . . . . . .4.4 Уравнение эволюции для томографическогораспределения . . .

. . . . . . . . . . . . . . .7979778388955 Представление вероятностей для дискретногоспектра на примере момента количества движения995.1 Оператор момента импульса, собственные состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.2 Углы Эйлера и матрица поворота . . . . .

. . 1055.3 Сложение моментов. Коэффициенты КлебшаГордана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.4 Матрица поворота для j = 1/2 и 1 . . . . . . 1165.5 Угловой момент и система двух осцилляторов 1205.6 Представление матрицы плотности для системы с моментом j . . . . . . . . . . . . . . . 1225.7 Инвариантная формулировка томографии состояний момента . . . . . . . . . . . . . .

. . . 1266 Перепутанные состояния (entanglement)1286.1 Сепарабельные и перепутанные состояния . . 1286.2 Критерий сепарабельности . . . . . . . . . . . 13146.3Состояние Вернера . . . . . . . . . . . . . . . 1327 Системы многих частиц7.1 Cистема связанных гармонических осцилляторов . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .7.2 Cистемы тождественных частиц . . . . . . . .7.3 Операторы рождения и уничтожения. . . . .7.4 Представление чисел заполнения . . . . . . .7.5 Представление основных операторов . . . . .7.6 Матрица плотности в представлении чиселзаполнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.7 Большой канонический ансамбль . . .

. . . .7.8 Понятие о парастатистике . . . . . . . . . . .5135135139143147152155158163Глава 1Дираковскаяформулировкаквантовой механики1.1ВведениеОдин из основных постулатов квантовой механики – принцип суперпозиции. Вспомним его суть: пусть задан какойлибо базис. Этот базис можно связать с собственными функциями соответствующего оператора физической величины.Тогда разложение функции состояния (волновой функции)системы по данным базисным функциям будет определятьсостояние в "системе координат", которая определена данной физической величиной. В таком случае состояние полностью определяется коэффициентами разложения Фурье.Соответственно, вместо функции состояния достаточно рассмотреть только коэффициенты разложения, которые представляют его в данном базисе.

Иными словами, выбираябазис, мы выбираем представление, в котором описываемлюбое состояние квантовой системы. Выбор базиса неод6нозначен, причем не только с формальной стороны, но ипостольку поскольку физических величин много и им соответствуют, вообще говоря, различные базисные функции. Всоответствии с этим и выбор представления данного состояния неоднозначен.Перейдем к операторам. Задавая базис представления(состояния), мы полностью определим действие оператора на произвольное состояние, если известна матрица оператора в данном базисе или, что то же, в данном представлении.

Действительно, пусть ψn – базисные функциипредставления, тогда оператор fˆ, действуя на них, вообщеговоря, изменяет их:Xfˆψn = ϕ =fmn ψm ,(1.1)mгдеfmn =Z∗ϕdrψm=Z∗ ˆψmf ψn dr.Подействуем на произвольное состояниеXΨ=an ψn(1.2)(1.3)nоператором fˆ:fˆΨ = Φ =Xan fˆψn =nXfmn an ψm .(1.4)n,mКак видно из этого примера, вместо волновой функции Ψдостаточно рассмотреть вектор-столбецa1 a2  a3 (1.5)a= ...

 an ...7Тогда действие оператора на состояние полностью определяется правилами умножения матрицы оператора на столбец, стоящий справа. Рассмотрим теперь среднее значениеоператора в данном состоянии. Сперва заметим, чтоX∗Ψ∗ =a∗m ψm.(1.6)mПолучаем:ZZXX∗ ˆ∗ˆ∗ˆf ψn dr =a∗m fmn an .hf i = Ψ f Ψdr =am an ψm(1.7)m,nm,nТаким образом, сопряженная волновая функция полностьюопределяется вектором-строкой с элементамиa∗ = (a∗1 , a∗2 , . . .

, a∗m , . . . ).(1.8)Далее видим, что необходимое число получается опять всоответствии с правилами матричного умножения линейной алгебры.1.2Дираковская формулировка квантовой механикиИтак, в предыдущем параграфе мы увидели, что, во-первых,описание состояния квантовой системы с помощью волновой функции не представляется единственным способом,во-вторых, необходимые физические величины получаютсяв линейном векторном пространстве, в котором состоянияпредставлены векторами, а операторы – матрицами.

Такимобразом, основные постулаты квантовой механики можносформулировать в более общем виде: в виде дираковскойформулировки квантовой механики.81. Множество всех состояний квантовой системы составляет пространство состояний, элементы этого пространства – вектора состояний – будем обозначать как |ψi.2. В силу принципа суперпозиции, пространство состояний линейно. Т.е. если два состояния |ψ1 i и |ψ2 i – какиелибо два вектора состояний, то линейная комбинация |ψi =c1 |ψ1 i+c2 |ψ2 i тоже вектор состояния из этого же пространства.

Пространство состояний полное.3. Согласно представлениям о взаимодействии макроскопической системы с микросистемой измерение какойлибо физической величины связано, вообще говоря с изменением состoяния квантовой системы. Иными словами,при извлечении значения физической величины f состояние |ψi → |ϕi.

Процедуре изменения состояния долженсоответствовать оператор fˆ, определенный в этом же пространстве состояний, который соответствующим образомизменяет состояние: fˆ|ψi = |ϕi.4. Значение физической величины получается в результате сравнения состояния системы до и после измерения.Как хорошо понятно, существенной характеристикой вектора является его направление, поэтому от несущественныххарактеристик следует избавиться.

В линейной алгебре длявыделения существенной характеристики вводится понятие скалярного произведения. Мы видели, что при задании состояния в виде векторов нам понадобились векторастолбцы и сопряженные к ним вектора-строки. Соответственно, наряду с "прямым"пространством состояний следует определить также и сопряженное пространство состояний, элементы которого будем обозначать как hψ|. Тогда|ψi+ = hψ|.Вектор |ψi называют кeт-вектором, а сопряженный к немуhψ| – бра-вектором в соответствии с двумя "половинка9ми"английского слова bracket. 1Теперь можно ввести скалярное произведение двух векторов |ψi и |ϕi в комплексном векторном пространстве состояний какC = hϕ|ψi; C ∗ = hψ|ϕi.Соответственно, если|ψi = c1 |ψ1 i + c2 |ψ2 i,то hψ| = c∗1 hψ1 | + c∗2 hψ2 |.Согласно определению скалярного произведения1) hϕ|(c|ψi) = chϕ|ψi,2) hϕ|(c1 |ψ1 i + c2 |ψ2 i) = c1 hϕ|ψ1 i + c2 hϕ|ψ2 i.Поскольку число hψ|ψi = kψk2 конечно, будем полагать всевектора состояний нормированными на единицу kψk2 = 1.Вновь вернемся к действию оператора на вектор состояния: fˆ|ψi = |ϕi, очевидно, что, вообще говоря, изменяетсякак "направление"вектора, так и его норма: kϕk2 6= 1.

Поэтому числоhψ|ϕi = hψ|fˆ|ψi = f(2.1)непосредственно связано с соответствующей физическойвеличиной. Положим, что так получаемое число и есть искомая физическая величина, поэтому соотношение (2.1) надо понимать как определение оператора соответствующейфизической величины.Дальнейшие постулаты о полноте описания квантовойсистемы и об уравнении, которому подчиняются состояния,сформулируем так.1Как рассказывают очевидцы, на семинаре в институте Физических Проблем во время выступления П.А.М.Дирака сам Л.Д.Ландаупереводил тогда новые термины как "ско"и "бка".10Постулат о степени полноты описания квантовой системы : cуществует максимально возможное число физических величин, которые могут быть одновременно точноизмерены для данной системы.

Совокупность этих физических величин называется полным набором. Обычно числовеличин, входящих в полный набор, меньше того, которыйследовал бы из классических соображений. Как правило,поэтому выбор физических величин, входящих в полныйнабор, неоднозначен. Тем не менее, задав какой-либо полный набор, мы задаем полное (с точки зрения квантовоймеханики) описание состояния системы. Возможность различных выборов полных наборов имеет глубокий смысл.Действительно, выбирая различные наборы, мы по-разному(с разных позиций) описываем одно и то же состояние квантовой системы, или иными словами, по разному представляем состояние системы.

С этой неоднозначностью связаноочень большое удобство и преимущество квантовой механики: существование различных представлений.Уравнение, которому подчиняется волновая функция.В нерелятивистской квантовой механике это – уравнениеШрёдингера:∂bi~ |ψi = H|ψi(2.2)∂tb – оператор Гамильтона (энергии). Суть постулаЗдесь Hта заключается в том, что эволюция состояния квантовойсистемы полностью определяется ее энергией. Таким образом, гамильтониан – “главный” oператор в квантовой механике.Перечисленные постулаты не исчерпывают всех постулатов квантовой механики. Более того, в различных пособиях (или учебниках) система постулатов может бытьсформулирована в другой последовательности и в большем объеме, однако здесь представлены наиболее общие11постулаты.

Расширение данной системы связано с развитием уже отдельных постулатов.Вновь вернемся к определению (2.1). Очевидно, чтоf = hψ|(fˆ|ψi) ≡ (hψ|fˆ)|ψi,(2.3)т.е. оператор может действовать как вправо на вектор кет,так и влево на вектор бра. Очевидно также, что, вообщеговоря,hψ|fˆ 6= hϕ|,однако можно найти соответcтвующий операторhϕ|ψi = (hψ|ϕi)∗ = (hψ|fˆ|ψi)∗ ≡ hψ|fˆ+ |ψi,т.е.(2.4)hψ|fˆ+ = hϕ|,где fˆ+ – эрмитовски сопряженный оператор, действующийв сопряженном пространстве так же, как fˆ в "прямом".Поскольку физические величины действительны, соответствующие им операторы эрмитовы.

Как и для волновыхфункций вновь поставим задачу на собственные значения:fˆ|ψi = f |ψi.(2.5)Для оператора физической величины собственные векторасоставляют базис, а собственные значения действительны.Поскольку состояние (2.5) определяется значением физической величины f , вместо "абстрактной"буквы ψ удобнопоставить соответствующее значение физической величины, тогда уравнение (2.5) перепишется в видеfˆ|f i = f |f i.(2.5a)Например, для оператора энергии следовало бы собственные вектора записать так:bH|Ei= E|Ei.12(2.6)Если спектр оператора дискретен, удобно вместо собственного значения записывать его “номер”, т.е. если, например, E → En , тогда |En i ≡ |ni.