4 Алгебраические процессы (Лекции 2016 года)

Операции над изображениями••••ТочечныеПространственныеАлгебраическиеГеометрические1Алгебраические операцииСоставляют новое изображение из поточечныхсумм, разностей, произведений и частных двухисходных изображений.Сумма:C ( x, y ) = A( x, y ) + B ( x, y )Разность:C ( x, y ) = A( x, y ) − B ( x, y )Произведение: C ( x, y ) = A( x, y ) ⋅ B( x, y )Частное:C ( x, y ) = A( x, y ) B ( x, y )+−×/=2СложениеИспользуется для:- осреднения множественных изображенийодной и той же сцены с целью уменьшениявлияния случайного шума;- для выделения содержимого одного образанад другим, создания эффекта двойнойэкспозиции.3Уменьшение шумаПриложение - астрономияDi ( x, y ) = S ( x, y ) + N i ( x, y ), i = 1,K, m - множество образовS ( x, y ) - образ,N i ( x, y ) - шум.Шум некоррелированный и имеет нулевое среднее значение:E [ N i ( x, y ) ] = 04Отношение мощностей сигнал/шум вырастает вm раз:2S ( x, y)P( x, y) =2E[N ( x, y)]При осреднении m образов1 mD ( x, y ) = ∑ ( S ( x, y ) + N i ( x, y ) )m i =1имеемP ( x, y ) =2S ( x, y )m1E  ∑ (S ( x, y ) + N i ( x, y ) ) m i =1m2S 2== m m 2E ∑ N i  + E  ∑ N i ⋅ N j  i =1i , j =1; i ≠ j2=m2S 2m[ ]= m ⋅ P ( x, y )2ENi∑i =15ВыводS ( x, y ) - образ,N i ( x, y ) - шум,1 mD ( x, y ) = ∑ (S ( x, y ) + N i ( x, y ) ) - осреднённый образ,m i =1P( x, y ) = m ⋅ P ( x, y ) - отношение «сигнал/шум» возрастает вm раз.6ВычитаниеИспользуется для- удаления нежелательного образа изизображения (медленно меняющийся фон,периодический шум, другие аддитивныепомехи);- определение изменений между двумяизображениями одной и той же сцены.7Выделение образа на фонеИсходноеизображениеИзображение с вводомконтрастного вещества ивычитанием исходного8Сегментация изображенияФон B ( x, y )Вычитание A( x, y ) − B ( x, y )Образ A( x, y )Умножение k ⋅ A( x, y )9УмножениеИспользуется для выделения с помощью маски областей, которыене должны учитываться при вычислениях.Магнитно-резонансная томограмма шеи человека (слева)умножается на маску (справа), в результате чего выделяютсяпиксели, соответствующие одной из артерий.

Осреднение яркостипикселей внутри выделенной области и умножение на площадьобласти даёт возможность оценить средний кровоток черезартерию.10ДелениеФормирование изображения часто можно рассматривать, какмультипликативный процесс:A( x, y ) = I ( x, y ) ⋅ R ( x, y ) .A( x, y ) - наблюдаемое изображениеI ( x, y ) - низкочастотная помеха (неравномерное освещение)R ( x, y ) - нужная компонента изображения1. Оценить компоненту I ( x, y )2. Разделить A( x, y ) на I ( x, y )На левом рисунке изображениекровотока через шею, полученное спомощью магнитно-резонансноготомографа.

На правом – улучшенноеизображение с помощью операцииделения.11Удаление фонаИзображение и егогистограммаяркости.Фоновые пикселии распределениеих яркостиМодель фоновой яркостии результат деленияизображений12Модель фоновой яркостиB ( x, y ) = a0 + a1 x + a2 y + a3 x 2 + a4 y 2 + a5 xy( xi , yi ), i = 1,K, k - выбранные фоновые пиксели,ci = I ( xi , yi ) - яркость выбранных фоновых пикселей.Аппроксимация по методу наименьшихквадратовk2C (a0 ,K, a5 ) = ∑ (ci − B ( xi , yi ) )i =1∂C= 0, i = 0,K,5 - система линейных уравнений∂ai13Геометрические операцииГеометрические операции меняютпространственные отношения междуобъектами в изображении.14Геометрические операции4.5.6.7.Результат зависит только от координат пикселяРезультат не зависит от окружающих пикселейРезультат не зависит от контекста изображенияПример:I′(x,y) = I(x+a, y+b)15Геометрические операцииx → f x ( x, y ) = x ′y → f y ( x, y ) = y ′I ( x, y ) = I ′( f x ( x, y ), f y ( x, y ) )( x, y )I ( x, y )( x′, y ′)I ′( x′, y ′)16Прямое отображениеx → f x ( x, y ) = x ′y → f y ( x, y ) = y ′ПрообразОбразОсновные проблемы:пропуск или перекрытие пикселей образа17Обратное отображениеx′ → f x−1 ( x′, y ′) = x−1′y → f y ( x′, y ′) = yПрообразОбраз18Пример: растяжение по оси XПрямое отображение:(0,0)x′ = 2 xy′ = y(0,0)ПрообразОбразОбратное отображение:(0,0)Прообразx′x=2y = y′(0,0)Образ19ИнтерполяцияЧто делать, когда значения (x,y) не целые числа?x = f x−1 ( x′, y ′)−1y = f y ( x′, y ′)Интерполяция – генерация нового пикселяна основе анализа окружающих пикселей20Интерполяция по ближайшемусоседу• Яркость определяется по цвету ближайшего пикселя кпрообразу• Достоинство – быстро работает• Недостаток – нарушение непрерывности цветовыхпереходовI ′( x′, y ′) = I (round [ f x−1 ( x′, y ′)], round [ f y−1 ( x′, y ′)])21Пример «поворот»22Пример «масштабирование»23Билинейная интерполяция• Яркость определяется путём интерполяции по цветумежду четырьмя ближайшими к прообразу пикселями24Сравнение двух вариантовинтерполяции «поворот»Интерполяция поближайшему соседуБилинейнаяинтерполяция25Сравнение двух вариантовинтерполяции «масштабирование»Интерполяция поближайшему соседуБилинейнаяинтерполяция26.