Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 80

Выражая р и р в бюисе{/>Ь). I>Ьj_)}, получимIIP- 1>//,,VZP- p)l(p- р)=tr=tr.,j(p-p) 2_/[ J-- trУ=/а/ 2-а•р=-a(:f' ]-1;3/ 22_-457РЕШНШЯ УПРАЖНЕНИЙ К ГЛАНR 5- tr \ /[ISI'-aiJ' ]' _-о' f3 -1,31 2~ tr ,/ [ liJI 4 + 1al'lf31'у0[ lfЗI' О() 11'1'=tr~21/JI.-оlm 4 + lai'ISI']~] _-Однако при jЗ f О расстояние между состояниями 1•1>) и 1~·)III1J!) -IV\)11 ~ 11(1- aJIФ)- iJIФj_)ll22= Vl1- al + 11'1 ~=Таким образом, сс.1и ,вА поскольку при :З =j11'11+=11-al'сIBI' 3 181,О, тоUто, иснользуя результат части (Ь), мы находим, чrоа6.4.Поиск в базе данных в непрерывном времениа) Посюмьку rамилыuпиан Н не зависит от времени, формальное интегри­рование нсстаuионарнurо уравнения Шре;:rингера дает·(Т)) =- е --iH'l'l VJo, ).11fJВ рассмаrриваемом случае IФо) ~ls)_Гамилыониан Н ограничивает эволюцию поднространствомс (нснормированным) базисом собственных состоянийlш),{ls) +{lw), ls)}ls) -lw)}458РЕШЕНИЕ УliРАЖНЕНИЙ '(Представьте, например, сферу Блоха, чтобы убедиться в этом.) Вычисляясобственные значения Н, находимН(ls)± l"-'))+ ls)(sl)(ls) ± lw)) =~ E(l"-')(wl(ls) ± lw)) + ls)(sl(ls) ± l"-'))]~ E((ls) ± l"-')) ± тnf2(is) ± l"-'))] =~ E(lw)(wl~ E(l~± T"l 2)(is) ± l"-') ), .ГI\С мы подставили перскрытие (slw) = 2-n/ 2 .Записывая ls) ~ ~(ls) + lw)) + ~(ls) - lw) ), вредставим состояниесистемы в момент времели Т в виде11/>(Т)) ~ e-iHTis)==!e-iET(l+T"i')(is)=e-iET [cosЧтобы+ lw)} + !e-iET(l-2-ni')(is) -lw})-(;~) !s)- isin (;~) l"-')].онтимизироватьвероятностьуспешногоопределенияlw),необходимо максимизировать вероятность р ~ 1("-'IФ(Т)) 1'- Непосредствен­ная проверка показывает, что значение р =ственных векторов различаются нае-iET(1+2-nf 2 )__-1е-iE?'(l-2-n/ 2 )ЕТ · 2-"/ = -ЕТ · z-п/2Т=2,+ (2k -J·l)r.,(2k.

+ l)r. n/ 22 .2ЕОчевидно, на.\1: хотелось бы определитьму выбиремдостигается, сс;ш: фазы соб­180':1'-V)как можно быстрее~ поэто­k = О и получим гранипу Гровера:Т= ..!!..._2n/2.2ЕЬ) Можно поJfучить весьма общую граниву квадратичного ускорения по­иска в базе ланных в непрерывном временн, подобно тому, как это былосделано для поиска в базе данных в дискретном времени. Фактически мыувидим. что это, но существу, та же самая граница.РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ К ГЛАВЕ 5459Допустим, что мы имеем алгоритм А который применяет гамильтони­ан Н~ Hw + H'(t) к состоянию /Ф 0 ) и спустя время Т со стопроцентнойнадежностью онреде11яет состояние /w).

Так как /w) может принять любоеиз2"рюличных значений, гШiьбертово пространсnю, СОJ\ержащее резуль­тат вычисления !Фт), должно иметь размерность как минимум 2n. Болееrom, так как А должен быть способным идеалыю различать все альтерна­тивы, множество{IФт) IIФ~-) представляет ответ А(/Ф 0 )) =а}до.1жно образовывать ортогональный базис.Теперь рассмотрим (скорее <<плохой>>) алгоритм 7), который пытаетсяопределить/w),путем применения лншъ гамилътониана Н ~к со­H'(t)стоянию !Фо) в течение времени Т. Так как мы неявне предполагаем, чтоH'(t)не имеет определенной зависимости оталгоритмVw,кажется невероятным, чтобудет успешным.

Но в то же самое время похоже, что в сред­нем1 резу;rыат IФт) апгоритма А до;пкен отличаться от резупыата I'Рт)алгоритма 1) на величину, ограниченную неко·юрой функцией от Т. («Втечение ограниченного интервала времени оракул [гамильтониан] можетmпько увести нас от нашей плохой догадки».)Мы :можем усилить наше tюдозрение, выполнив такой же анализ, чтои в дискре-rном с.'I)'Чае: разобьем .А на отдельные шаги и опрел.елим грани­пу того, как далеко от !'Р,) берется I1Ьi") на каждом шаге. (Но теперь шагиинфинитези'dальны!)Унитарные операторы, которые применяются алгоритмами А и'Dна:каждом «шаге времени», представляют собойА: IФ~) __, •Ю./Фr),I'Pt) --> dU;/4',)-1) :Действис А на <<плохое>> состояние !'Р,) в момент времениdU t I'P,)=i'Pt)tимеет вид+ 1Е,),IДСIЬ'J =(du,- dU;)I\",)~=((1-iHdt) -(l-iН'dt)I'P,)­=-i(H- H')i'P,)dt== -iЕ/:ц) (w/'J',)dt.----:--------::-1Среднеt: :щесь представляет собой среднее 110 ансамблю всех возможных значений1""')-РЕШЕНИЕ УПРАЖНЕНИЙ460Как иR дискретном случае, спустя Rремя Т мы получаем непрерывныйаналог уравненияIФт) ~ l'l'т)~ I'Рт)из лекций:(6.65)+ IЬ'т) + dUтiEт-dt) + .

-t dUт ... dU 0 IE0 ) ~+ e-iH·OIEт) !· e-iHdtiEт-dt) +.-. + c-iHTIEo) ~Jт·~ l'l'т)1e-iHtiE1 . ,)dt~от=JJl'l'т)- iE е iН'Iw)(wi.Pт,)dt=от=l'l'т)- iEe-iH(T-t)lw)(wi,P,)dt=оJe-iН(T-tJiw)(wle iН'ti~J0 )dt.т=l'l'т)- iEоВооруженные зтим выражением, мы можем вывсети границу для рас­стояния между IV:т) и I'Pтl· (Лнал01· «зловещсгт> уравнения за номе­ром (6.66) в лскциях 1 .)J~-iН(T-t)lw)(wli,,),ttтIII>P'f)-l'l'т)ll=-iEот,;;Е ]lie-iН(T-t)lш)(wiФ,)II dtотj~Е lllw)(wiФ,)IIdtот=Еj 1\wi>P,)Idt.оl Подходящее для ·задания на пятницу 13-ro, не nравда :rn?='(РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ К I"JIABE 5461Возводя это соотношение в квадрат, находимlll~·r) -1Pт)ll 2 ~ Ь'2 (jl(cvl~·,)ldt)2~т~ Е Т j ll'-"lv··,)l 2 dt.2оУсредняя этот рез~ыат по все"' возможным оракулам, мы находим, что,в подтверждение наших ранних 1юдозрений, среднеква.цратичное расстоя­ние между консчJIЫ\Нf состояниями алгоритмов А и((d(A, D))212n) =L 1117/'т) -1Рт)112DограниченоCllcpxy:~wт~d"t: TL j(w,lw)(шl1/.•1 )dt2wоК счасп~ю .для нас, ~то сре.J.нсквал:ратичное расстояние также ограни­чено и снизу.

Так как состояния {IФ·Г)} образуют ортоrона.1ьный базис,они не моrут все ско.л, уruдно близко сконцентрироваться вокруг некото­роrо определенного фиксированного состояния. В частности, они не могутвсе скоНI~ентрироваться вокруг I'Рт) и, спедователъно, среднеквадратичноерасстояние между конечными состояниями а.лорипюn А иснизу уравнениемVограничено(6. 159) из лсщий:Сравнивая эти верхнюю и нижнюю границы, мы, как и было обещано,получаем квадратичную по времени границу 1роверовского типа:Е2 Т2 )2 · 2" - 2.j2n,Т?f12n/2J]-т ;"J22n/2::...-Е.2-n/2,РRШЕНИ:Е УПРАЖНЕНИЙ462Поско.оьку/2 "'1,41, а ~ "" 1,57, эта общая rраниuа сильнее текущеговремени явного алгоритма из части (а) наJr/2-/2/2"'11%.Зто то же разmrчие, что и найденное нам~ в исходном (то есть дис­крепюм) алгоритме Гравера. Поскольку в дискрепюм случае бо;~ее тонкиеграницы демонстрировали насыщение а.шоритма, у нас есть все основанияожидать, чrо и для непрерывного алгоритма подобное улучшение границытакже будет демонстрировать оптимальность.Прескилл ДжонКВАНТОВАЯ ИНФОРМАЦИЯ И КВАНТОВЫЕВЫЧИСЛЕНИЯТом1Дизайнер М.

БаженоваТехнический редактор А. В. ПlиробоковКомпьютерная верстка Д П. Вакуленко, А. В. МоторинКорректор Г. Г. ТетерrтаПодписано в печать 21.02.2008. Формат 60 х 84 1/ 16 .Печать офсетная. Усл.печ..л.26,97.Уч.изд ..l.25,21.ГарнИlура Тайме. Бумага офсетпая N~l. 311Хаз N~lO.Н~но-издательский центр <<Регулярная и хаотическая динамика>>426034, г. Ижевск, ул. Университетская:, 1.http://shop.rcd.ru E-mail: mail@rcd.ru Тел./факс: (+73412) 500-295Переш1ет выполнен в ГУЛ УР «Ижевский полиграфический комбинаш426039,г. Ижевск, Вотmнское шоссе.180.Уважаемые читатти!ИнтересующиеВаскнигинашегоиздате,тьстваможнозаказатьче­рез наш Интернет-магазин http://shop.red.гu И.'IИ по электронной почrеsubscribe@rcd.ruКнпrи можно приобрести R наших пре,.1ставитеJiы.·твах:МОСКВАИнс1И1)'Т машиноведения им.

А. А Благонравова РАНул. Г.ардина, д.4,корп.к.3,414,тс.т.:135-54--37ИЖIШСКУдмуртский тсударственаый универсип..-тул. Университетская, д.l,корп.4, 2 эт.,к.211,тел./факс:(3412) 500- 295Также кпигв мuжно прнобрести:МОСКВАМосковский государственный университет им. М.В. ЛомоносеваГЗ(1эт-.), Физический ф-тБио.:юrический ф-т(1зт.), Гуманитарный ф-т (О и1 эт.),(1 зт.).Российский государственный униRерситет нефти и газа им. И.

М. ГубкинаГJ(3-4 эт.), книжные киоски фирмы «Арl·умент».Магазины:МОСКВА:<<дом научно~технической книrю'Ленинский пр.,40.тел.:137-06-33«Московский дом книги»р. Новый Арбат,8.тел.:290-45-07(<Библиог:юбус»м. {\...'Iубяпка>), ул. Мясницкая,6. тел.: 928-&7 44ДОШОПРУДНЫЙ:Книжный магазин «Физматкнwrо)новый корп. МФТИ, 1 зт. тел.: 409-93-28САНКТ-ПЕТЕРБУРГ:«Сань.-т-Петербурпi<ий дом книги»Невский просnект,28Из/1;атсльство СПбГУ, ~ага1инУниверситетская иабережная,.N'Q:l7/9R&C'!)rрм~ИШLecture Notes for Physics 229:Quantum Information andComputationJ ohn PreskillCalifornia Institute of TechnologySeptember, 1998Дж. ПрескиллКвантовая информацияи квантовые вычисленияТом2Перевод с английскогоТ.

С. НечаевойПод научной редакциейС. Г. НовокшоноваМосква+Ижевск2011УДКББК22.314.1517.958:530.145.6П73Интернет-магазин~http://shop.rcd.ru••••физикаматематикабиологиянефтегазовыетехнологииПрескилл Дж.Квантовая информация и квантовые вычисления. Том2. -М.-Ижевск:НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ижевский институт компью­терных исследований,2011.-312с.Книга Дж.

Прескилла представляет собой наиболее полное современное введе­ние в новую, бурно развивающуюся область науки -теорию квантовой информациии квантовых вычислений.Вопросы, рассматриваемые во втором томе, объединяет общая тема: защитаквантовой информации от ошибок, возникающих как во время ее хранения и пере­дачи, так и при оперировании с ней. В первой из двух основных глав излагаютсяпринципы детектирования, диагностики и коррекции квантовых ошибок; основныетипы и принципы организации и работы квантовых кодов коррекции ошибок. Кро­ме этого в Приложении помещены две обзорные статьи Дж. Прескилла, в которыхобсуждается проблема реализации отказоустойчивых квантовых вычислений на ос­нове схем, использующих «шумящие» вентили.В отдельной большой главе впервые в русскоязычной литературе рассматри­вается принципиально новый физический подход к проблеме защиты квантовойинформации от ошибок, в основе которого лежит топологическая устойчивостьнекоторых квантовых состояний, реализующихся в низкоразмерных многочастич­ных сильнокоррелированных системах.

Несмотря на сложность обсуждаемых в этойглаве физических и математических идей, ее содержание дает «ясное представле­ние о предмете без доходящих до абсурда упрощений» и вполне доступно читателю,знакомому с нерелятивистской квантовой механикой, основами теории представле­ний групп и самыми элементарными сведениями из топологии.ББКISBN 978-5-4344-0030-5© Дж.