Автореферат (Коэрцитивная разрешимость задачи коши и нелокальных задач для параболических уравнений)

На правах рукописиУДК 517.95, 517.98Ханалыев Аскер РесуловичКОЭРЦИТИВНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬЗАДАЧИ КОШИ И НЕЛОКАЛЬНЫХ ЗАДАЧДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙСпециальность 01.01.02 –«Дифференциальные уравнения, динамические системыи оптимальное управление»АВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукМосква – 2017Работа выполнена на кафедре прикладной математики факультета физикоматематических и естественных наук ФГАОУ ВО «Российский университетдружбы народов».Научный руководитель:Россовский Леонид Ефимович,доктор физико-математических наук, доцент,профессор кафедры прикладной математики РУДННаучный консультант:Ашыралыев Аллаберен,доктор физико-математических наук, профессор,профессор математического факультетаБлижневосточного университета,Лефкоша (Никосия), ТРСК,Института математики и математическогомоделирования, г.

Алматы, КазахстанОфициальные оппоненты:Тихонов Иван Владимирович,доктор физико-математических наук, профессоркафедры математической физики факультета ВМКМГУ имени М.В.ЛомоносоваЧерепова Марина Фёдоровна,доктор физико-математических наук, доцент,профессор кафедры математическогомоделирования НИУ «МЭИ»Ведущая организация:ФГБОУ ВО «Воронежский государственныйуниверситет»Защита состоится 17 апреля 2017 года в 15 ч.

30 мин. на заседаниидиссертационного совета Д 212.203.27 в Российском университете дружбынародов по адресу: 117419, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, ауд. 495а.С диссертацией можно ознакомиться в Учебно-научном информационномбиблиотечном центре (Научной библиотеке Российского университета дружбынародов) по адресу: 117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д.6 и на сайте«Диссертационные советы РУДН» в сети интернет (http://dissovet.rudn.ru).Автореферат разослан «______»___________________ 2017 г.Ученый секретарьдиссертационного совета Д 212.203.27,доктор физико-математических наукСавин Антон Юрьевич2ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫАктуальность темы.

Изучение надземных месторождений нефти и газа, рядзадач механики жидкости, математической биологии, финансовой математикиприводят к решению различных локальных или нелокальных краевых задач дляпараболических уравнений. Поэтому изучение этих задач не теряет своейактуальности. Коэрцитивная разрешимость – одно из актуальных направленийв теории дифференциальных уравнений с частными производными. А именно:- коэритивные неравенства широко применяются при изучении линейныхзадач (см.1);- коэрцитивность помогает изучить безусловно устойчивые разностныесхемы (см.2,3,4);- коэрцитивность дает возможность построить разные аналитикочисленные методы решения задач (см.1);В литературе представлены различные результаты по точным оценкам,максимальной регулярности, коэрцитивной разрешимости.

Классическиерезультаты даны в работах О. А. Ладыженской, В. А. Солонникова,Н. Н. Уральцевой, П. Е. Соболевского и др.Диссертационнаяработапосвященакоэрцитивнойразрешимостипараболических уравнений. Во-первых, изучается коэрцитивная разрешимостьзадачи Коши(1)v(t )  A(t )v(t )  f (t ) (0  t  1), v(0)  v0для дифференциального уравнения с действующим в банаховом пространствеE линейным неограниченным, сильно позитивным оператором A(t ) , имеющимне зависящую от t , всюду плотную в E область определения D  D( A(t )) ипорождающим аналитическую полугруппу exp{sA(t )}(s  0) .

Доказываютсяабстрактные теоремы и рассматривается их применение. Во-вторых,исследуется коэрцитивная разрешимость нелокальных задач как с постояннымоператором(2)v(t )  Av(t )  f (t ) (0  t  1), v(0)  v( )   (0    1),так и с переменным оператором(3)v(t )  A(t )v(t )  f (t ) (0  t  1), v(0)  v( )   (0    1)для параболических дифференциальных уравнений и приводятся приложенияполученных абстрактных результатов.Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравненияпараболического типа. – М.: Наука,1967.2Ашыралыев А.

Исследование разностных схем для параболических уравнений в пространствахгладких функций // Дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.02. – Воронеж, 1983.3Ашыралыев А., Соболевский П.Е. Теория интерполяции линейных операторов и устойчивостьразностных схем // Тезисы докладов школы по теории операторов в функциональных пространствах.– Минск, 1982. – С.17–18.4Ашыралыев А., Соболевский П.Е. Исследование устойчивости разностных схем в пространствеГёльдера. – Воронеж: ВГУ, 1982. – Деп.

в ВИНИТИ 12.04.1983, №1930-83.13Введем банахово пространство C0 , ( E)  C0 , ([0,1], E) (0     , 0    1) ,полученное замыканием множества всех гладких функций f (t ) , определенныхна отрезке [0,1] со значениями в E в норме(t   ) f (t   )  f (t ) Ef C  , ( E )  f C ( E )  sup.0t t  10Здесь под C(E)  C([0,1], E) понимается банахово пространство определенныхна [0,1] со значениями в E непрерывных функций f (t ) с нормойf C ( E )  max f (t ) E .0t 1Таким образом, при    и   0 пространство C0 ,0 ( E)  C0 ,0 ([0,1], E)(0    1) совпадает с пространством Гёльдера C (E)  C ([0,1], E) (0    1) ,для которого норма имеет видf (t   )  f (t ) Ef C ( E )  f C ( E )  sup. ,А при      пространство C0fC0 , ( E ) fC(E)0t t  1( E)  C0 , ([0,1], E) sup(0    1) с нормой(t   ) f (t   )  f (t ) E0t t  1совпадает с пространством C0 ( E)  C0 ([0,1], E) (0    1) , норма в которомимеет видt f (t   )  f (t ) Ef C ( E )  f C ( E )  sup,00t t  1причем нормы этих пространств равномерно по   (0,1) эквивалентны.В случае произвольного неограниченного сильно позитивного оператора илюбого банахова пространства E коэрцитивная разрешимость задачи (1), (2) и(3) отсутствует в C ( E ) .

Поэтому очень важно выделить функциональныепространства, где эти задачи коэрцитивны.Первые теоремы о коэрцитивной разрешимости для абстрактной задачиКоши получены в 1964 году в работе П. Е. Соболевского для пространствC0 ( E ) (0    1) и Lp ([0,1], E ) (1  p  ) . В его работе5 коэрцитивнаяразрешимость задачи Коши доказывается в пространстве C0 ( E ) при v0  D( A) .В 1972 году В. П. Аносов и П. Е. Соболевский установили коэрцитивнуюразрешимость задачи Коши в пространстве Слободецкого Wp ( E)  Wp ([0,1], E)1(1  p  , 0    ) (см.6).

В 1974 году П. Е. Соболевский и Да Прато показалиpкоэрцитивную разрешимость той же задачи в пространствах C([0,1], E , )(0    1) и Lp ([0,1], E , p ) (0    1, 1  p  ) , где E , p (0    1, 1  p  )Соболевский П.Е. Неравенство коэрцитивности для абстрактных параболических уранений // ДАНСССР. – 1964. – Т. 157, №1. – С. 52–55.6Аносов В.П., Соболевский П.Е. О коэрцитивной разрешимости параболических уравнений // Матем.заметки.

– 1972. – Т. 11. – Вып. 4. – С. 409–419.54банаховы пространства, полученные вещественным методом интерполяции изпары E и D( A) ( D( A)  E , p  E ) (см.7,8,9).Эти результаты стали началом для полученных в дальнейшем результатов окоэрцитивной разрешимости. Коэрцитивная разрешимость задачи Коши впространстве C ( E ) при Av0  f (0) доказана в работе А. Ашыралыева и П. Е.Соболевского (см.10). В 1989 году А. Ашыралыев доказал коэрцитивностьзадачи Коши для параболического уравнения с постоянным оператором впространствах C0 , ( E ) и C0 , ( E  )  C0 , ([0,1], E  ) (0       , 0    1) ,тем самым, в нормах этих пространств были получены коэрцитивныенеравенства (см.11).

Таковы основные результаты коэрцитивной разрешимостизадачи Коши (1) для параболического дифференциального уравнения спостоянным оператором A(t )  A . Вопросы корректности прямых и обратныхзадач для эволюционного уравнения с неоднородным слагаемым специальноговида рассматривались в работе12.Коэрцитивная разрешимость задачи Коши (1) для параболическогодифференциального уравнения с переменным оператором в пространствахГёльдера C0 ( E ) с весом t , Слободецкого Wp ( E ) и в пространствеC( E )  C([0,1], E ) при 0      1 установлены в13,14,15.В диссертационной работе исследуются коэрцитивная разрешимость задачиКоши (1) и нелокальных задач (2), (3) в пространствах C0 , ( E ) и C0 , ( E  ) .Доказываются коэрцитивные неравенства в нормах этих пространств.Цель работы.

Цель диссертации – изучить коэрцитивную разрешимостьзадачи Коши (1) и нелокальных задач (2), (3) для абстрактных параболическихуравнений в пространствах гладких функций, расширить число функциональных пространств, где рассматриваемые задачи коэрцитивны.Соболевский П.Е. Некоторые свойста решений дифференциальных уравнений в дробныхпространствах // Тр.

НИИМ ВГУ. – 1974. – Вып.14. – С. 68–74.8Da Prato G., Grisvard P. Sommes d’operateus lineaires et equations differentielles operationneles// J. Math. Pures Appl. (9) 54 (1975), №.3. – P. 305–387.9Da Prato G., Grisvard P. Equations d’evolution absraites non line aires de type parabolique // C. R. Acad.Sci. Paris Ser.