Диссертация (Восстановление операторов разделенной разности последовательности по неточно заданной информации)

РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВНа правах рукописиУНУЧЕК Светлана АлександровнаВосстановление операторов разделенной разностипоследовательности по неточно заданной информации(01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональныйанализ)Диссертацияна соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель—доктор физико-математических наук,профессор К. Ю. Осипенко.Консультант—доктор физико-математических наук,профессор Г. Г. Магарил-Ильяев.Москва—2018ОглавлениеВведение3Предварительные сведения21Глава 1.

Восстановление оператора разделенной разностипо преобразованию Фурье последовательности всреднеквадратичной норме27Глава 2. Восстановление оператора разделенной разностипоследовательности по её преобразованию Фурье вравномерной норме53Глава 3. Восстановление оператора разделенной разности понеточно заданным разностям других порядков71Глава 4. Восстановление производной функции по неточнозаданным производным других порядков и самойфункции85Литература1042ВведениеРабота посвящена вопросам оптимального восстановления оператора разделенной разности последовательности по информациио самой последовательности или ее разделенных разностей другихпорядков, известных точно или приближенно (в той или иной метрике).В различных прикладных задачах часто нужно восстановитькакую-либо характеристику объекта по некоторой (как правило,неполной и неточной) информации о других его характеристиках.Например, требуется восстановить производную функции или интеграл от нее, или саму функцию в той или иной метрике, или еезначение в некоторой фиксированной точке по приближенно известным значениям в других точках или по приближенно известному преобразованию Фурье этой функции.

Существуют различные подходы к решению аналогичных задач. Одним из наиболеераспространенных является регуляризация по А.Н. Тихонову. Вданной работе используется другой подход, основанный на идеяхА. Н. Колмогорова [1] о наилучших средствах приближения классов функций конечномерными подпространствами, суть которогозаключается в том, что ищется наилучший метод восстановленияданной характеристики по априорной информации об объекте среди всех возможных методов восстановления.Одними из первых решались задачи о построении наилучшейквадратурной формулы.

Пусть дан класс W функций, непрерывных на отрезке [a, b] и зафиксированы точки a ≤ t1 < t2 . . . < tn ≤ b.3Для каждой функции f (·) ∈ W известны значения в данных точках. Требуется вычислить приближенное значение определенногоинтегралаZbf (t) dt.aВ качестве методов приближения предлагаются следующие квадратурные формулыZbf (t)dt ≈nXpi f (ti ).j=1aНабор весовых коэффициентов p1 , p2 , .

. . pn , на котором достигается нижняя граньZn bXinf sup f (t) dt −pi f (ti ) ,p1 ,...,pn f (·)∈W aj=1задает наилучшую квадратурную формулу. Важные результаты врешении данной задачи были получены С.М. Никольским [2], который указал оптимальный выбор точек, в которых вычисляетсяподынтегральная функция.Точная постановка задачи оптимального восстановления впервые была сформулирована С.А. Смоляком [3], который исследовал оптимальное восстановление линейного функционала на некотором множестве W линейного пространства по значениям других линейных функционалов. Он же получил первый результатв этой постановке, доказав, что, если W - выпуклое, центральносимметричное множество (W = −W ), то среди всех оптимальных методов восстановления вещественного линейного функционала на W существует линейный.

Аналогичное утверждение длякомплекснозначных функционалов было доказано К.Ю. Осипенко [4]. В дальнейшем этот результат обобщался многими авторами. В обзорах C.A. Michelli и T.J. Rivlin [5, 6] формулируются и4решаются различные задачи оптимального восстановления. В работе A.A. Melkman и C.A. Michelli [7] рассматриваются линейныеметоды восстановления линейных операторов в гильбертовом пространстве.В работе Смоляка объекты были заданы точно, на практикечасто приходится иметь дело с объектами, информация о которыхизвестна приближенно, с некоторой погрешностью.

В начале 2000х годов в работах Г.Г. Магарила-Ильяева и К.Ю. Осипенко былразработан метод оптимального восстановления линейных операторов по приближенной информации ([8, 9, 10, 11] и др. ). Получен критерий существования линейного оптимального метода [12]в достаточно общей постановке.В конкретных задачах восстановления в качестве информационного оператора обычно рассматривают линейные функционалыили операторы, сопоставляющие функции или ее производной значения в точках, коэффициенты Фурье или просто саму функцию.При обработке данных различной природы часто приходится иметьдело с дискретной информацией.

В этом случае производные заменяются на конечные разности, интегралы - на конечные суммы.В диссертации рассматриваются различные задачи восстановленияоператоров разделенной разности последовательности. Во всех задачах информация о последовательности дана неточно.

Полученыоптимальные методы восстанвления.Приведем общую постановку задачи оптимального восстановления. Пусть X− линейное пространство, W ⊂ X− класс элементов,Y, Z− нормированное пространство, I− линейный оператор такой,что I : X → Y. Элементы из W известны приближенно, то есть∀x ∈ W известен y ∈ Y : kIx − ykY ≤ δ, δ ≥ 0. По этой информации хотим восстановить значение линейного оператора Λ : X → Z.Схематично задачу можно изобразить так:5Λ-W ⊂XZϕAI AAUYМетодом восстановления назовем любое отображение ϕ : Y →Z. Его погрешностью называем величинуe(W, Λ, Y, δ, ϕ) =supkΛ(x) − ϕ(y)kZ .x∈W,y∈YkIx−ykY ≤δПогрешностью оптимального восстановления называется величинаE(W, Λ, Y, δ) = inf e(W, Λ, Y, δ, ϕ),ϕ:Y →Zгде нижняя грань берется по всевозможным методам ϕ. Методы, накоторых достигается нижняя грань, называются оптимальнымиметодами восстановления.Задачу нахождения оптимального метода и оптимальной погрешности будем называть задачей оптимального восстановленияоператора Λ на классе W по информации I.Краткое содержание работыВ диссертации рассматриваются задачи оптимального восстановления операторов разделенной разности последовательности понеточной информации об этой последовательности.В первой главе рассматриваются две задачи одновременноговосстановления операторов разностей различных порядков в среднеквадратичной норме на классе последовательностей с ограниченной n-ой разделенной разностью.

В первой задаче преобразование6Фурье последовательности приближенно задано на отрезке. Аналогичная задача восстановления производной какого-либо порядка ( или самой функции) на соболевском классе рассмтривалась вработе [13]. Во второй задаче неточно задана сама последовательность. Задача, когда k-ая разделенная разность восстанавливаласьв фиксированной точке, расссматривалась в работе [14]. Некоторый частный случай рассматриваемой задачи был получен в работе [15]. В диссертации используется другой метод, позволяющийнайти семейство оптимальных методов для одновременного восстановления сразу нескольких операторов разделенной разности любого порядка. Предельным переходом из полученных результатоввытекает непрерывный случай, исследованный в работах [11], [13]и [16].

Решение данной задачи изложено автором в работе [21].Перед формулировкой теорем дадим определения. Пусть l2,h (Z),h > 0 - пространство последовательностей x = {xj }j∈Z таких, чтоP|xj |2 < ∞, с нормойj∈Z!1/2kxkl2,h (Z) =hX| xj |2.j∈ZОператор разделенных разностей определяется равенством:xj+1 − xjm−11,∆mx .∆h x = ∆h x =h x = ∆h ∆hhj∈ZПреобразованием Фурье последовательности x = {xj }j∈Z ∈l2,h (Z) является функция(F x)(ω) = hXxj e−ijhω ∈ L2 ([−π/h, π/h]),j∈Zа оператора разделенной разности - функцияF (∆h x)(ω) = hX xj+1 − xjj∈ZhF (∆mh x)(ω) =e−ijhω =eihω − 1F x(ω),h(eihω − 1)mF x(ω).hm7Пусть n ∈ N.

Рассмотрим класс последовательностейnW2,h= {x ∈ l2,h (Z) : k∆nh xkl2,h (Z) ≤ 1}.Ставится задача одновременного оптимального восстановленияоператоров всех разностей(∆1h x, ∆2h x, . . . , ∆hn−1 x)nпоследовательности x ∈ W2,h, при условии, что её преобразованиеФурье на отрезке [−σ; σ], 0 ≤ σ ≤ π/h нам известно с точностьюдо δ :kF x(ω) − y(ω)kL2 ([−σ;σ]) ≤ δ,δ > 0.В качестве методов восстановления рассмотрим всевозможныеотображенияϕ(y) = (ϕ1 (y), ϕ2 (y), .

. . , ϕn−1 (y)),ϕk (y) : L2 ([−σ; σ]) → l2,h (Z),1 ≤ k ≤ n − 1.Обозначим∆ = (∆1 , ∆2 , . . . , ∆n−1 ).Погрешностью метода ϕ называется величинаne(W2,h, F, ∆, δ, ϕ) =supn , y∈L ([−σ;σ])x∈W2,h2kF x(ω)−y(ω)kL2 ([−σ;σ]) ≤δvu n−1uXtpk k∆k x − ϕk (y)k2hl2,h (Z) .k=1Здесь p = (p1 , p2 , . . . , pn−1 ), pk ≥ 0, 1 ≤ k ≤ n − 1, — весовыекоэффициенты, варьируя которые можно отдавать предпочтениеболее точному восстановлению оператора какой-либо разности.8Погрешностью оптимального восстановления называется величинаnE(W2,h, F, ∆, δ) =infϕ: L2 ([−σ;σ])→(l2,h (Z))nne(W2,h, F, ∆, δ, ϕ).Метод ϕ,b на котором достигается нижняя грань, назовем оптимальным методом.Пусть x - положительный корень уравнения n−kn−1n−1XXkk δ2 npk x n =pkx,n 2πk=1k=112hx 2n21arcsin, x 2n <2hh,σb=21π ,x 2n ≥hhωh4 sin22 , ω = t (σ) .t(ω) =σh2Теорема 1.1.

Пусть n ∈ N, δ > 0. ТогдаnE(W2,h, F, ∆, δ) =1/2 2 n−kn−1nPδpk,σ≥σb,2πk=1kn−1 2 n−k1/2Pδ kn−kk−npk ωσ+ ωσ, σ<σb.2π nnk=1∆k F −1 αk (ω)y(ω) , ω ∈ (−σ; σ)hВсе методы ϕbk (y) =,0,ω∈/ (−σ; σ)где λb1 +θk (ω) , ω ∈ (−σ; σ)b b nαk (ω) = λ1 +λ2 t (ω),0,ω∈/ (−σ; σ)а θk (·) для почти всех ω ∈ (−σ; σ) удовлетворяют условиюn−1n−1XXk2nnkb1 λb2 t (ω) λb1 + λb2 t (ω) −pk t (ω)|θk (ω)| ≤ λpk t (ω) ,k=1k=19в которомb1λb2λ 2 − nkn−1Pδpkσ≥σb,1 − nk ,2πk=1=,k n−kn−1Pkkkpk ωσ1− n , σ <σb,nk=1 n−kn−1P k δ2 npk n, σ≥σb,2πk=1= n−1Ppk ωσk−n ,σ<σbk=1являются оптимальными.Затем рассмотрим задачу одновременного оптимального восстановления операторов всех разностей (∆1h x, ∆2h x, . . . , ∆n−1h x) послеnдовательности x ∈ W2,h, при условии, что последовательность xзадана неточно, то есть известна последовательность y ∈ l2,h (Z)такая, чтоkx − ykl2,h (Z) ≤ δ,δ > 0.В качестве методов восстановления снова рассмотрим всевозможные отображенияϕ(y) = (ϕ1 (y), ϕ2 (y), .

. . , ϕn−1 (y)),ϕk (y) : l2,h (Z) → l2,h (Z),1 ≤ k ≤ n − 1.Положим∆ = (∆1 , ∆2 , . . . , ∆n−1 ).Погрешностью метода ϕ назовем величинуvu n−1uXnte(W2,h , ∆, δ, ϕ) =suppk k∆kh x − ϕk (y)k2l2,h (Z) ,n , y∈lx∈W2,h2,h (Z)kx−ykl2,h (Z) ≤δk=1где p = (p1 , p2 , . . . , pn−1 ), pk ≥ 0, 1 ≤ k ≤ n − 1, — весовые коэффициенты.10Погрешностью оптимального восстановления назовем величинуnE(W2,h, ∆, δ) =ne(W2,h, ∆, δ, ϕ).infnϕ:l2,h (Z)→(l2,h (Z))Метод ϕ,b на котором достигается нижняя грань, назовем оптимальным методом.Теорема 1.2. Пусть k, n ∈ N, 1 ≤ k ≤ n − 1 и δ > 0.

Тогда1/2 nn−1P2(n−k)hpk δ n,,δ≥2k=1nE(W2,h, ∆, δ) =n−1 2k 1/2 nP2hδpk, δ<.h2k=1 nhПри δ <метод ϕ(y)b= ∆kh y является оптимальным. При n 2hвсе методы ϕbk (y) = ∆kh F −1 αk (ω)F y(ω) , гдеδ≥2b1 + θk (ω)λαk (ω) =,b1 + λb2 tn (ω)λ4 sin2t(ω) =h2ωh2 ,а θk (·) для почти всех ω удовлетворяют условиюn−1Xn−1Xknnbbbbpk t (ω) ,pk t (ω)|θk (ω)| ≤ λ1 λ2 t (ω) λ1 + λ2 t (ω) −k2k=1k=1в которомb1 =λn−1Xk=1pk δk−2 nk1−,nb2 =λn−1Xk n−kpk δ 2 n ,nk=1являются оптимальными.Во второй главе рассматривается задача, аналогичная тем, которые рассматриваются в первой главе.

Разница в том, что здесьпреобразование Фурье последовательности известно приближеннов равномерной норме. Задача восстановления функции и ее k-ойпроизводной по неточно заданному преобразованию Фурье этой11функции в равномерной норме рассматривалась в работе [11]. Результат, полученный в данной главе, приведен автором в работе [23] и в предельном случае переходит в результат, полученныйв работе [11].Перед формулировкой теоремы вновь введем некоторые обозначения. Снова рассмотрим пространство последовательностейl2,h (Z), h > 0.