ТФКП и ОИ (МУ, Лекции и Семинары по ТФКП)

Оглавление1 Функции комплексной переменной. ........................................................................................ - 2 1.1 Множество комплексных чисел. Основные понятия и определения. ............................ - 2 1.2 Комплексные числа в полярной системе координат. Формула Муавра. ...................... - 3 1.3 Извлечение корня n – ой степени из комплексных чисел..............................................

- 4 1.4 Множества комплексной плоскости. ................................................................................. - 5 1.5 Функции комплексной переменной. .................................................................................. - 6 1.6 Ряды в комплексной области. ............................................................................................. - 7 1.7 Определение основных элементарных функций. Формула Эйлера. .............................

- 9 1.8 Производная ФКП. Аналитические функции. Условия Коши – Римана. ................... - 11 1.9 Гармонические функции. ................................................................................................ - 13 Вопросы для самопроверки. ........................................................................................................ - 14 2 Интегральное исчисление функций комплексной переменной. .........................................

- 15 2.1 Интегралы в комплексной области. ................................................................................ - 15 2.4 Следствия интегральной формулы Коши. ..................................................................... - 18 2.5 Ряды Тейлора и Маклорена. ...........................................................................................

- 19 2.7 Изолированные особые точки аналитической функции. ............................................... - 22 2.8 Бесконечно удаленная особая точка. ..............................................................................

- 23 2.9 Вычет аналитической функции в изолированной особой точке. ................................. - 24 2.10 Применение вычетов к вычислению интегралов. (Основная теорема теории вычетов) . 25 2.11 Вычет функции в бесконечно удаленной особой точке.............................................. - 26 Вопросы для самопроверки. ........................................................................................................ - 27 3. Операционное исчисление.

...................................................................................................... - 28 3.1. Интеграл Фурье .................................................................................................................. - 28 3.2. Преобразование Лапласа и формула обращения ............................................................

- 30 3.3. Основные определения операционного исчисления .................................................... - 32 3.4 Основные свойства изображений и оригиналов.......................................................... - 34 3.5 Основные теоремы операционного исчисления .......................................................... - 38 3.6 Теоремы разложения ..............................................................................................................

- 43 3.7 Интегрирование линейных дифференциальных уравнений с постояннымикоэффициентами методами операционного исчисления ...................................................... - 45 3.8 Изображение периодической функции............................................................................. - 47 Вопросы для самопроверки.

........................................................................................................ - 49 Л И Т Е Р А Т У Р А.......................................................................................................................... - 50 --2-ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ иОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ1 Функции комплексной переменной.1.1 Множество комплексных чисел. Основные понятия и определения.Определение 1.

Комплексным числом называется выражение z = x +iy, где x, y ∈ ℜ , а iназывается мнимой единицей и определяется следующим образом: i 2 = −1 . Число x называетсядействительной частью комплексного числа: x = Re z , y – мнимой частью: y = Im z.Два комплексных числа z=x1 + i y1 и z=x2 + i y 2 называются равными, если их12действительные и мнимые части, соответственно, равны друг другу: z1 = z2 ⇔ x1 = x2 , y1 = y2 .Таким образом, одно комплексное равенство эквивалентно двум действительным.Комплексное число z = x + i y равно нулю, если x = y = 0.Суммой и произведением двух комплексных чисел называются комплексные числаdefdefz1 + z2 = ( x1 + x2 ) + i (y1 + y2 ); z1 z2 = ( x1 y1 − x2 y2 ) + i ( x1 y2 + x2 y1 ) соответственно.Операции вычитания и деления определяются как действия обратные сложению и умножению,что приводит к следующему результату:zx x + y1 y2x y −x yz1 − z2= ( x1 − x2 ) + i ⋅ ( y1 − y2 ) , 1 = 1 22+ i ⋅ 2 21 12 2 .2z2x2 + y 2x2 + y 2Таким образом, арифметические операции над комплексными числами производятся пообычным правилам действий с двучленами, с учетом того, что i 2 = −1 .

Отсюда следует, чтооперации над комплексными числами подчинены обычным законам арифметики:коммутативности, ассоциативности и т.д.Комплексные числа заполняют всю плоскость XOY, которую называют в этом случаекомплексной плоскостью. Множество комплексных чисел, обычно, обозначают буквой Κ.Определение 2. Число z= x − iy называется комплексно сопряженным к z.Определение 3. Величина mod z = z = x 2 + y 2 называется модулем комплексного числа.Т.е. mod z равен расстоянию от начала координат до т. z. Нетрудно видеть, что z = z ⋅ z .22 − 3i; 2) Последовательность {i n } = {i, −1, − i,1, i, −1,} .3 + 4iЗамечание. На множестве комплексных чисел не определено отношение ‘больше – меньше’.Комплексные числа можно сравнивать между собой только по модулю.Примеры: 1) z =-3-1.2 Комплексные числа в полярной системе координат.

Формула Муавра.В предыдущем параграфе было рассмотрено представление комплексных чисел в декартовойсистеме координат. Рассмотрим теперь комплексные числа в полярных координатах.Как известно, декартовы координаты выражаются через полярные следующим образом:yrM(x, y) = M(r, φ).φxr ⋅ cos ϕ r ≥ 0x = y =r ⋅ sin ϕ − π ≤ ϕ < π .Отсюда получаем: z =r ⋅ (cos ϕ + i sin ϕ ) −тригонометрическая форма комплексного числа.Здесь:r= модульz − комплексного числа( так как cos ϕ + i sin ϕ =cos2 ϕ + sin 2 ϕ = 1).Рис. 1φ – аргумент комплексного числа : φ = arg z.Рассматривается два стандарта изменения φ: 0 ≤ ϕ < 2π и − π < ϕ ≤ π .Иногда приходится пользоваться понятием Arg z = ϕ + 2π n, n = 0, ±1, ±2,.Ясно, что величина самого комплексного числа при этом никак не изменяется.yarctg x , x > 0arctg y + π , x < 0, y ≥ 0xФормулы для стандарта -π < φ ≤ π имеют вид:==z ϕ argarctg y − π , x < 0, y < 0xππпри=x 0 : , y > 0; − , y < 0.22(Для стандарта: 0 ≤ φ < 2π формулы будут немного отличаться)Аргумент числа z = 0 не определен.Примеры: − 2 ; i ; 1 − i 3 .

{2, π ; 1, π/2 ; 2, −π/3 или 5π/3 }Рассмотрим произведение 2-х комплексных чисел: z1z2 = r1 r2( cos ϕ1 + i sin ϕ1 )( cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) == r1r2 (cos ϕ1 cos ϕ 2 − sin ϕ1 sin ϕ 2 + i (sin ϕ1 cos ϕ 2 + sin ϕ 2 cos=ϕ1 )) r1r2 (cos(ϕ1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ 2 )).Т.е. модуль произведения комплексных чисел равен произведению их модулей, а аргумент –сумме аргументов. Отсюда следует формула Муавра:(cos ϕ + i sin ϕ ) n =cos nϕ + i sin nϕ .-4-1.3 Извлечение корня n – ой степени из комплексных чисел.По определению:( c)nn= c.

На множестве действительных чисел для однозначности вводитсяпонятие арифметического корня: корень четной степени – неотрицателен. В комплекснойобласти такого ограничения быть не может (см. замечание в п. 1.1). Вообще говоря, всезначения корня считаются равноправными. Из формулы Муавра следует, что одним из корнейиз числа r (cos ϕ + i sin ϕ ) будет числоnr (cosnr (cosϕϕ+ i sin ). Нетрудно видеть, что любое из чиселnnϕ + 2π kϕ + 2π k+ i sin) также являются корнями из этого числа ∀k ∈ Ν . При этом всеnnони будут различны для значений k = 0,1,…, n −1. Для последующих значений k числа начнутповторяться. Окончательная формула имеет вид:ϕ + 2π kϕ + 2π kn+ i sin) , k = 0,1,2,…,n − 1.z = n r (cosnnВсе полученные значения располагаются в вершинах правильного n−угольника.Замечание.

Фактически, при извлечении корня пришлось использовать величину Arg z.Примеры. 1) 4 −16 . { 2(1 + i ); 2 ( −1 + i ); 2( −1 − i ); 2(1 − i )} .2) Рассмотрим квадратный корень из положительных и отрицательных действительных чисел вкомплексной области. Корни из положительного числа а2 будут, очевидно, равны: a 2 = ± a ,что легко показать и формально. Отрицательные числа имеют аргумент, равный π . Отсюдаπ 3πаргументы значений корня будут равны u⇒ − a 2 =± i ⋅ a.22Следствием полученного результата являются формулы для корней квадратного уравнения в−b ± i − Dслучае отрицательного дискриминанта:=x1,2, ( D < 0).2a-5-1.4 Множества комплексной плоскости.В п.1.1 было показано, что z равен расстоянию от начала координат до т. z.

Таким образом,геометрический смысл модуля в комплексной области совпадает с геометрическим смысломмодуля в действительной области. Легко видеть, что и модуль разности 2-х комплексных чиселобладает тем же свойством: z − z0 =( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 = d ( z, z0 ) . Где d(z,z0) – расстояние отт. z до т. z0 на комплексной плоскости. Отсюда следует, что уравнение z − z0 =R описываетокружность с центром в т.z0 радиуса R, неравенства 1 ≤ z − i < 4 кольцо ширины 3 с центром вт.i , без внешней границы. Уравнение arg z = π/3 описывает луч из начала координат под углом в600 к оси ОХ. Неравенства π/6 ≤ arg z ≤ π/4 –множество точек между лучами под углом в 300 и450 к оси ОХ (угол в 150 с границами). Вспомнив геометрический смысл кривых 2го порядка,можно сказать, что неравенство z − z1 − z − z2 < 4 описывает множество точек между ветвямигиперболы с фокусами в тт. z1 и z2, а z − z1 + z − z2 ≤ 9 − внутренние точки эллипса и самэллипс.В комплексной области вводится комплексное число z = ∞.

Комплексная плоскость вместе сединственной бесконечно удаленной точкой называется расширенной комплекснойплоскостью. По умолчанию, говоря о комплексной плоскости, будем считать ее расширенной.Понятие области в ТФКП имеет более конкретный смысл нежели в теории функцийдействительной переменной. Областью называется открытое связное множество точеккомплексной плоскости (т.е. открытое множество, 2 любые точки которого можно соединитьнепрерывной кривой, принадлежащей этому множеству). Напомним, что т. z называетсявнутренней точкой области, если существует окрестность этой точки, целикомпринадлежащая области и граничной точкой, если любая ее окрестность содержит как точкиобласти, так и точки области не принадлежащие.

Множество граничных точек называетсяграницей области. Замкнутой областью называется ограниченная область вместе с границей.Область G называется односвязной, если любой замкнутый без самопересечений контур l ⊂ Gограничивает некоторую область D ⊂ G , и многосвязной в противном случае.Определение. ε – окрестностью т. z0 :U ε ( z0 ) называется открытый круг радиуса ε с центром вт. z0 : z − z0 < ε . ε – окрестностью бесконечно удаленной т. z = ∞ : U ε ( ∞) называетсямножество точек расширенной комплексной плоскости, удовлетворяющих неравенству: z > ε .-6-1.5 Функции комплексной переменной.Пусть в комплексной плоскости задана некоторая область G и правило, по которому любомуz ∈ G ставится в соответствие определенное число w ∈ W .

В этом случае говорят, что наобласти G задана однозначная функция w = f ( z ) , отображающая область G на W. Если одномузначению z соответствует несколько чисел w , то такая функция называется многозначной.Функция f(z) может быть представлена в следующем виде : w = f (z) = u(x,y) + iv(x,y),где u(x,y) = Ref (z), v(x,y) = Imf (z) – действительные функции двух переменных, являющиесядействительной и мнимой частями комплексной функции f (z).Примеры. 1) f ( z=) z=x 2 + y 2 − функция комплексной переменной, принимающая толькодействительные значения.2) f ( n ) =fn =(1 + 2i ) n , n =1, 2,3, − последовательность комплексных чисел.( z ) z n , n ∈ Ν − каждому значению аргумента z соответствует одно комплексное значение3) f =функции. Такие функции называются однозначными или однолистными.4) =w f (=z ) 3 z − каждому значению аргумента z соответствует три комплексных значенияфункции (п.1.3).