ТФКП и ОИ (МУ, Лекции и Семинары по ТФКП), страница 3

Получаем:f ( z + ∆z ) − f ( z )u ( x + ∆x, y ) − u ( x, y )v( x + ∆x, y ) − v( x, y )f ′( z ) = lim= lim (+i⋅= u ′x + i ⋅ v′y .∆z → 0∆x → 0∆z∆x∆xАналогично, при ∆x = 0, ∆y → 0 имеем: f ′( z ) = v′y − i ⋅ u′y , что и доказывает теорему.Верно и обратное утверждение:Теорема 4. Если функции u (x,y) и v (x,y) имеют в некоторой точке непрерывные частныепроизводные, удовлетворяющие условиям Коши – Римана, то сама функцияf (z) –дифференцируема в этой точке.

(б/д)Теоремы 1 – 4 показывают принципиальное отличие ФКП от ФДП.Теорема 3 позволяет вычислять производную функции по любой из следующих формул:f ′( z ) = u′x + i ⋅ v′x = v′y − i ⋅ u′y = u′x − i ⋅ u′y = v′y + i ⋅ v′x .При этом можно считать х и у произвольными комплексными числами и вычислятьпроизводную по формулам: f ′( z ) =u′x + i v′x x = z =v′y − i u′y x =0 .y =0y=z- 12 -Примеры. Проверить функцию на регулярность. Если функция регулярна – вычислить еепроизводную.1. f ( z ) =v′y =−v′x =sin 3z =sin 3x ⋅ ch3y + i cos 3x ⋅ sh3y; u′x =3cos 3x ⋅ ch3 y , u′y =3sin 3x ⋅ sh3 y ⇒функция регулярна; f ′( z )= 3cos 3x ⋅ ch3 y − 3i sin 3x ⋅ sh3 y.2.

f ( z ) = z + z = 2 x; u′x = 2 ≠ v′y = 0 ⇒ функция не дифференцируема.Замечание. Нетрудно видеть, что любая действительная функция комплексного аргумента – недифференцируема.- 13 -1.9Гармонические функции.Напомним определение гармонических функций, данное в курсе «Теории поля» :Определение. Функция u (x,y) называется гармонической, если она удовлетворяет уравнениюЛапласа: u′′xx +=u′′yy 0,или =∆u 0.f ( z ) u ( x, y ) + iv ( x, y ). Эта функцияПусть на области G задана аналитическая функция =удовлетворяет условиям Коши – Римана: u′x = v′y , u′y = −v′x (п.

1.8). Так как аналитическаяфункция бесконечно дифференцируема, то и функции u и v так же бесконечнодифференцируемы. Продифференцируем первое условие по x , второе по y и сложимполученные равенства:u′′xx + u′′yy = v′′yx − v′′xy = 0, т.е. действительная часть аналитической функции – гармоническая. Еслиусловия продифференцировать по у , по х и вычесть, то легко убедиться в гармоничностимнимой части.

Таким образом, доказанаТеорема. Действительная и мнимая части аналитической функции являются гармоническими:′′yy v0′′xx + =′′yy 0.u′′xxи+ vu=Ясно, что две произвольные гармонические функции, вообще говоря, не будутдействительной и мнимой частями некоторой аналитической функции. Для этого они должныеще удовлетворять условиям Коши – Римана.

Однако, по любой гармонической функции можнос точностью до константы определить вторую часть аналитической функции (т.е. самуаналитическую функцию)., y ) ch2 x ⋅ cos 2 y может быть действительной частью аналитическойПример. Доказать, что u( x=функции и определить эту функцию.Решение.

1. u′′xx + u′′yy =гармоническаяфункцияx ⋅ cos 2 y =0 ⇒ u( x, y ) −4ch2 x ⋅ cos 2 y − 4ch2.u′x 2sh2 x ⋅ cos 2 y; v =2sh2 x ∫ cos 2 ydy =sh2 x ⋅ sin 2 y + C ( x ).2. v′y ==Из 2-го условия К – Р: 2ch2 x ⋅ sin 2 y + C ′( x ) =2ch2 x ⋅ sin 2 y ⇒ C ′( x ) =0 ⇒ C =const.f (=z ) ch2 x ⋅ cos 2 y + i ⋅ sh2 x ⋅ sin 2=y ch(2 x + 2i=y ) ch2 z.- 14 -Вопросы для самопроверки.1. Являются ли следующие множества точек областями?1) 2 < z − 3 < 4; 2) 0 < arg z < π / 3; 3) z < 1  z ≥ 3; 4) 0 < Im z ≤ 1;2. Записать комплексные числа в тригонометрической и показательной форме.1) z =−3; 2) z =2i ; 3) z =3 − 4i ;3.

Доказать тождество: ch 2 z − sh 2 z =1.4. Является ли функция f ( z )= z ⋅ Re z аналитической?- 15 -2 Интегральное исчисление функций комплексной переменной.2.1 Интегралы в комплексной области.Пусть функция =f ( z ) u ( x, y ) + iv ( x, y ) непрерывна в области G , а L – гладкая кривая,лежащая в этой области, заданная уравнением z (t=) x (t ) + iy (t ), α ≤ t ≤ β ; z (α=) A, z ( β =) B.Кривую будем считать ориентированной, если заданы начальная и конечная точки кривой.

Приэтом, положительное направление задается изменением параметра t от меньшего значения кбольшему (т.е. А – начало кривой, В – конец ).Напомним, что кривая называется гладкой, если у нее существует непрерывная касательная вкаждой точке, что эквивалентно наличию непрерывных производных x′(t ) u y ′(t ), t ∈ [α , β ],не равных нулю одновременно. Необходимо сделать замечание относительно ориентациизамкнутых кривых, так как начальная и конечная точки в этом случае совпадают.

Еслизамкнутый контур без самопересечений целиком лежит в некоторой области, то обход контураназывают положительным при движении против часовой стрелки.При этом контур обозначают Г+ или просто Г (по умолчанию). В противном случаеориентация контура называется отрицательной и обозначается Г− . Если же контур являетсяграницей области, то его обход называется положительным в том случае, когда область придвижении остается слева.

Например, положительный обход области z − 2 < 3 идет противчасовой стрелки, а области z − 2 > 3 − по часовой. По умолчанию, обход области по границевсегда будем считать положительным.Определение. Интегралом от функции комплексной переменной по кривой L называется:I = ∫ f ( z )dz = ∫ (u + iv )( dx + idy ) = ∫ (udx − vdy ) + i ∫ ( vdx + udy ) .LLLLТаким образом, интеграл от комплексной функции равен сумме двух криволинейных интеграловвторого рода (см.

курс «Теория поля»), которые, в свою очередь, сводятся к вычислению двухβобыкновенных интегралов: I = ∫ [u( x (t ), y (t )) x′(t ) − v ( x (t ), y (t )) y ′(t )]dt +αββαα+ i ∫ [u( x (t ), y (t )) y ′(t ) + v ( x (t ), y (t )) x′(t )]dt =∫ f ( z(t )) z′(t )dt.Примеры. Вычислить интегралы:11.izdz ; ( AB ) :=y x ,0 ≤ x ≤ 1. Решение. I =+( x 2 x 3 )dx + i x 2dx =1+ .∫3( AB )02.∫ z−z∫21Lиdz0∫ ( z − z ) dzn0(n ∈ Ν )по окружности L радиуса R с центром в т.

z0 .LРешение. Запишем уравнение окружности в виде:i ⋅tz − z0 ясно= R ⋅ eчто, 0 ≤z t <z 2π R( t ,т е L −окружность∀, ..0 =dz1) ∫ =z − z0L2π∫0−). Отсюда:2πR ⋅ i ⋅ eit dt= i=∫0 dt 2π i .R ⋅ eit2π2πei ( n +1) t2) ∫ ( z −=z0 ) dz ∫ R i e=dt i R= 0.i ( n + 1) 00LЗамечание.

Значение интегралов во втором примере не зависят от радиуса окружности.nn +1i ( n +1) tn +1- 16 -2.2 Теория интегрирования Коши.Примеры предыдущего пункта во-первых показывают существенное отличие интегрированияв комплексной области от интегрирования в действительной и во-вторых легко обобщаются.Теорема Коши. Пусть f ( z ) − аналитическая функция в односвязной области D , а Г − любойкусочно – гладкий замкнутый контур, принадлежащий этой области. Тогда интеграл от функцииf (z) по контуру Г равен нулю: ∫ f ( z )dz = 0.ГДоказательство. Так как f − аналитическая функция, то ее действительная и мнимая частиудовлетворяют условиям Коши – Римана: u′x = v′y , u′y = −v′x , откуда сразу следует, чтоподынтегральныевыражения udx − vdy и vdx + udy (п.2.1) представляют собой полныедифференциалы (см. ФНП) и, следовательно, соответствующие криволинейные интегралы по0.

(Пример 2.2 §10).замкнутому контуру (см. ТП) равны нулю ⇒ ∫ f ( z )dz =ГДоказанная теорема легко обобщается на многосвязные области.Теорема. Пусть функция f (z) – аналитическая в многосвязной областиориентированным контуром Г. В этом случае ∫ f ( z )dz = 0.D , ограниченнойГДоказательство (для двусвязной области (Рис.2)):Область D ограничена контуром Г = Г1 + Г2 , ориентированнымв положительном направлении. Соединим контуры Г1 и Г2 линией γ. Ориентируем γ двумяспособами: γ+ и γ− .

В результате получим односвязную область,ограниченную контуром Г 1 + γ + + Г 2 + γ − . По теореме Коши∫f ( z )dz = 0. Так какГ 1 +γ + + Г 2 +γ −∫Г∫fdz +γ+fdz = ∫ fdz +Г1∫Г2γ−=fdz = 0. В общем случае∫ fdzГПри этом, каждый из интеграловГ10, получаем:∫ fdz =∫n +1=∑∫ fdz0.k =1 Г kDg+f ( z )dz может быть и не равнымg Г2-ГkРис.2нулю.Обозначим буквой Г кусочно – гладкий замкнутый контур,ориентированный против часовой стрелки, а тот же контур, ориентированный по часовойстрелке − символом Г − (в этих обозначениях в последней теореме следовало бы писать Г 1 иГ k− , ∀k > 1 ).Следствие.

Пусть область D ограничена внешним контуром Г и внутренними контурамиГ1, … , Гn . В последних обозначениях, для аналитической на D функции имеет месторавенство:∫ГДоказательство.n∫ fdz + ∑ ∫Гk =1 Г −knfdz = ∑ ∫ fdz.k =1 Г kВуказанныхfdz =0. Отсюда:обозначенияхnутверждениетеоремыимеетвид:n− ∑ ∫ fdz =∑ ∫ fdz.∫ fdz =k 1=k 1 ГkГ=Г k−Замечание.

Из полученных результатов следует, что примеры п.2.1 верны для любого кусочно –dz= 2π i и ∫ ( z − z0 ) n dz =непрерывного замкнутого контура Г, содержащего точку z0 : ∫0.z − z0ГГ- 17 -2.3 Формула Коши.Пусть функция f (z) является аналитической в односвязной области G, а z0 – произвольнаявнутренняя точка этой области. Построим замкнутый контур Г ⊂ G и содержащий эту точку.f ( z). ЭтаРассмотрим вспомогательную функцию ϕ ( z ) =Гz − z0Gфункция регулярна во всех точках области D ограниченнойконтуром Г, за исключением т. z0. Проведем окружность γ сцентромDgв т. z0 радиуса ρ, целиком принадлежащую области D. Если обаr .z0контура ориентировать против часовой стрелки, то будет иметьf ( z)f ( z)место равенство: ∫dz = ∫dz (п.2.2).

Так как леваяz − z0z − z0γГчасть равенства не зависит от ρ, то и правая от ρ не зависит. Наконтуре γ =z z0 + ρ eit и интеграл в правой части будет равен:Рис.32π2π2π2πf ( z)∫γ z − z0 dz =i ∫0 f ( z )dt =i ∫0 [ f ( z ) − f ( z0 )]dt + i ∫0 f ( z0 )dt = i ∫0 [ f ( z ) − f ( z0 )]dt + 2π if ( z0 ).Подынтегральная функция в последнем интеграле стремится к нулю при ρ → 0 , а сам интегралот ρ не зависит. Отсюда сразу следует, что этот интеграл равен нулю (если предел постоянной– ноль , то постоянная равна нулю).

Окончательно получаем формулу Коши:f ( z)(2.1)dz 2π i ⋅ f ( z0 )∫Г z − z0 =Формулу Коши можно написать для произвольной точки z0 ∈ G , не принадлежащей контуру Г: f ( zвнутри1f ( z)0 ), z0 − Гdz=, zвне2π i ∫Г z − z000 − Г(равенство нулю сразу следует из теоремы Коши (п.2.2)).Выражение, стоящее в левой части последней формулы, называют интегралом Коши.- 18 -2.4Следствия интегральной формулы Коши.Рассмотрим односвязную область G , ограниченную замкнутым контуром Г.