ТФКП и ОИ (МУ, Лекции и Семинары по ТФКП), страница 7

Найдем связь между F ( p )+∞определению изображения имеем: F1 ( p ) =∫e− ptи F1 ( p ) . Поf ′(t )dt .0Выберем здесь p так, чтобы одновременно выполнялись неравенстваRe( p ) > c0 , Re( p ) > c0′ . Выполняя в правой части интегрирование по частям, причем− pt=u e=, dv f ′(=t )dt (v f (t )) , находимF1 ( p ) =f (t )e+∞− pt0+∞+ p∫e− pt+∞f (t )dt =− f (0) +0∫e− ptf (t )dt =− f (0) + pF ( p ) .0Таким образом, из соотношения f (t )F ( p ) следует:pF ( p ) − f (0)f ′(t )(2.2)Предполагая, что оригинал f (t ) дифференцируем n раз и что f(n).(t ) также являетсяоригиналом, методом индукции из формулы (2.2) получим следующий результат:F ( p ) следует соотношениеИз соотношения f (t ){Пример.}p n F ( p ) − p n−1 f (0) + p n−2 f ′(0) + ...

+ f ( n−1) (0) .f ( n) ( p)Изображениеобразом: sh α t =1αf (t ) = sh α tфункции(ch α t )′Интегрирование оригиналаможно(2.3)получитьследующим1pα;p1−=α  p 2 − α 2  p 2 − α 2Примем без доказательства, что еслиf (t ) может служить оригиналом, то оригиналомtнекоторого изображения будет и функцияϕ (t ) = ∫ f (τ )dτ .0tНайдем теперь изображениеϕ (t ) = ∫ f (τ )dτ .Так как f (t ) = ϕ ′(t ) , то полагая0ϕ (t )Φ ( p ) , по формуле (2.2) находим связь междуΦ( p) и F ( p) :F ( p ) =p Φ ( p ) − ϕ (0) =p Φ ( p ) (ϕ (0) =0) ,1pоткуда Φ ( p ) =F ( p ) . Таким образом, из соотношения f (t )t∫ f (τ )dτ0Примеры.

1. f (t ) = h(t )F ( p ) следует1F ( p) .p(2.4)t1F ( p ) = , следовательно − t = ∫ dτp011 1.=p  p  p 2- 36 -n!, n ∈ Ν, Re p > 0.p n +1По индукции легко получить: t nt2. sin ω t = ω ∫ cos ω t dt0ωωp=; Re p > Re ω.p p +ωp2 + ω 2⋅22Дифференцирование изображенияВ теории функций комплексного переменного доказывается, что несобственный интегралϕ ( z) =+∞∫f ( z , t )dt , в котором f ( z , t ) есть регулярная функция комплексного переменного zaв замкнутой области D и непрерывная функция вещественного переменного t приможно дифференцировать под знаком интеграла:ϕ ′( z ) =+∞∫at>a ,∂f ( z , t )dt , если интеграл этот∂zсходится равномерно относительно z .

При этом теорема остается верной и для несобственногоинтеграла, в котором подынтегральная функция f ( z , t ) становится неограниченной.Говоря о свойствах изображения, было установлено, что изображение являетсярегулярной функцией комплексного переменного p в полуплоскости Re > c > c1 > c0 и что вэтой полуплоскости дифференцирование изображения можно выполнять под знаком интеграла+∞Лапласа. Поэтому из равенства F ( p ) =∫e− ptf (t ) dt следует, что0d n F ( p)=dp n+∞∫e− pt nt (−t ) n f (t ) dt . в правой части равенства стоит изображение функции0(−1) n t n f (t ) . Таким образом, из соотношения f (t )(−1) t f (t )n nПримеры.

1. −teα t 1 p −α2. −t sin ω tF ( p ) следует, чтоd n F ( p)dp n′1−⇒ teα t =2()p−α(2.5)1, Re p > Re α .( p − α )2 α′2 pα=− 2⇒ t sin α t 22 ( p + α 2 )2 p +α 2α t, Re p > Re α( p + α 2 )22Интегрирование изображенияПусть функцияf (t )является изображаемой по Лапласу, т.е.

имеет место соотношение:t- 37 +∞f (t )t∫e0e − ptинтеграломЗаменим функциюt− ptf (t )dt .t∞ − qt∫pf (t )e dq :t∫{+∞∞}f (t ) ∫ e − qt dq dt0pи изменим в правой части порядок интегрирования:∞f (t )t+∞гдеF (q) =∫e− qt∫p+∞∞ − qt ∫ e f (t ) dt  dq = ∫ p F (q)dq , 0f (t ) .f (t ) dt0Таким образом, если F ( p )∞∫pПример.sin ω ttω∫f (t ) и функцияF (q )dq∞pf (t )изображаема по Лапласу, тоtf (t ).tdqp∞ πp.arctgarctg==−ω p 2ωq2 + ω 2(2.6)- 38 -3.5Основные теоремы операционного исчисления3.5.1 Теорема подобияи a const > 0 . В этом случаеF ( p )=Пусть f (t )1  pF  .a af (at )+∞∫eДоказательство. f ( at )(3.1.)f (at ) dt .

Сделаем замену: at =τ ⇒ dt =− pt01aтогда f ( at )+∞∫ep− τadτa1  pF .a af (τ )dτ , или f (at )0Из формулы (3.1) следует, что увеличению независимой переменной оригинала в a раз,соответствует уменьшение в a раз как независимой переменной изображения, так и самогоизображения.3.5.2Теорема запаздыванияОпределение. Функция, f (t − τ ) , где τ > 0 некоторая постоянная величина, называетсяфункцией запаздывающего аргумента (относительно функции f (t ) , (рис.3.1)).Обозначим функцию f (t − τ ) через fτ (t ): fτ (=t ) f (t − τ ) . (Если t − время, то функция fτ (t )описывает процесс с запаздыванием на время τ)xx = f (t )=x f (t − τ )1τtРис.

3.1.Зная изображение F ( p ) функции f (t ) , можно найти изображение Fτ ( p ) функции+∞fτ (=t ) f (t − τ ) , пользуясь формулой f ( p ) = ∫ e − pt f (t )dt .0Так как f (t −=приτ) 0Fτ ( =p)+∞ − pt∫0ef (t − τ )=dtt < τ , имеем:+∞ − pt∫τe⋅ f (t − τ )dt.Применяя подстановку t −=τ t1 , =dt dt1 , (приt = τ , t1 = 0 и t = ∞ , t1 = ∞ ), имеем- 39 +∞ − p ( t +τ )1∫0Fτ (=p)e+∞f (t1 )=dt1 e − pτ ∫ e − pt1 f (t1 )=dt1 e − pτ ⋅ F ( p ) .0Таким образом: Fτ (=p) e− pτ⋅ F ( p ) , то есть e − pt ⋅ F ( p )f (t − τ )Теорема смещения3.5.3Если функция f (t ) является оригиналом, то при любом вещественном или комплексномα оригиналом будет являться и функция eα t f (t ) , так как из оценкиf (t ) < Mec0tвытекаетeα t f (t ) < Me[ 0c + Re(α ) ]tпри t > 0 .Найдем изображение этой функции+∞ − pt α t∫0eα t f (t )+∞e f (t )dt = ∫ e − ( p −α )t f (t )dt .e0Интеграл в правой части последнего равенства отличается от интеграла Лапласа,определяющего изображения F ( p )f (t ) лишь тем, что в последнем аргумент изображенияp заменен на ( p − α ) .Таким образом, если f (t )cos ω tПример.F ( p ) , то eα t ⋅ f (t )F( p −α).p −α( p − α )2 + ω 2p⇒ eα t cos ω t22p +ωИзображения основных элементарных функций3.5.4Приведём таблицу изображений основных элементарных функций, которые былиполучены в предыдущих разделах в качестве примеров, либо их обобщений.

Напомним, чтовсе функции удовлетворяют условиям, сформулированным в пункте 2.1.1, tp1eα t1,p21;p −αsh α t =t neα tωsin ω tp +ω22eα t − e −α t2eα t cos ω t2,p3t2n!( p − α ) n+1; Re p > Re ω.αp2 − α 2p −α,( p − α )2 + β 2;n!p n+1tn; Re p > Reα .p;Re p > Im ω.p2 + ω 2cos ω tch α t =, Re p > 0eα t + e −α t2eα t sin ω tp;Re p > Reα .p2 − α 2β,( p − α )2 + β 2- 40 -p −α,( p − α )2 − β 2eα t ch β teα t sh β t2 pω; Re p > Re ω.2( p + ω 2 )2t sin ω tsin ω ttπ2− arctgt cos ω tβ( p − α )2 − β 2p2 − ω 2;Re p > Im ω.22 2( p +ω )pωПриведём ещё несколько свойств оригиналов и изображений, используемых как дляопределения изображений, так и для восстановления оригиналов.3.5.5.

Теорема свертыванияОпределение. Сверткой двух функций f1 (t ) и f 2 (t ) называется функция f (t ) , определяемаяформулойf (t=)t∫0 f1 (τ ) ⋅ f 2 (t − τ )dτ .(Операцию получения свертки часто называют свертыванием двух функций).Если в интеграле заменить t − τ =θ ; dτ =−dθ , (τ = 0 ,0∫tформула примет вид: f (t ) =−илиf (=t)t∫0θ = t ; τ = t , θ = 0 ) тоtf1 (t − θ ) ⋅ f 2 (θ )dθ =∫ f1 (t − θ ) ⋅ f 2 (θ )dθ0f1 (t ) ⋅ f 2 (t − τ )d=τt∫0 f1 (t − τ ) ⋅ f 2 (τ )dτ ,т.е. функции f1 (t ) и f 2 (t ) , входящие в свертку, равноправны.Поставим теперь задачу выразить изображение F ( p ) свертки f (t ) через изображенияF1 ( p ) и F2 ( p ) свертываемых функций f1 (t ) и f 2 (t ) .Теорема.

Изображение свертки двух функций равно произведению их изображений.Еслиили f (t )f1 (t )F1 ( p ) ,аf 2 (t )F2 ( p ) ,тоF1 ( p ) ⋅ F2 ( p )t∫0 f1 (τ ) ⋅ f2 (t − τ )dτ ,F=( p ) F1 ( p ) ⋅ F2 ( p ) .Доказательство. Определим изображение функции f (t ) :=F ( p)+∞∫0e − pt t f (τ ) ⋅ f (t − τ )dτ  dt ,2∫0 1Причем областью интегрирования является часть первого координатного угла, ограниченнаяпрямыми τ = 0 и τ = 1 (рис. 4.1).- 41 -ττ =ttРис. 4.1.Изменим порядок интегрирования в полученном интеграле.f 2 (t − τ )e − pt dt  dτ =+∞f1 (τ ) ⋅  ∫ f 2 (t − τ )e − p (t −τ ) d (t − τ )  e − pτ dτ = τ +∞f1 (τ ) ⋅ e − pτ dτ ⋅  ∫ f 2 (t − τ ) e − p (t −τ ) d (t − τ=)τθF ( p) = ∫+∞0=∫+∞0=+∞∫0=+∞∫0f1 (τ ) ⋅  ∫ τ+∞+∞f1 (τ ) ⋅ e − pτ dτ ⋅ ∫ e − pθ f 2 (θ )dθ=0= F1 ( p ) ⋅ F2 ( p ),(т.к.=F1 ( p )+∞∫0+∞− pτf1 (τ ) ⋅ e=dτ и F2 ( p )Таким образом, F=( p ) F1 ( p ) ⋅ F2 ( p ) илиf (t=)t∫0 f1 (τ ) ⋅ f 2 (t − τ )dτe − pθ f 2 (θ )dθ∫=0+∞ − pt∫0ef 2 (t )dt .)F1 ( p ) ⋅ F2 ( p ) =F ( p)1.( p − 1)( p 2 + 1)11= F1 ( p ) и f 2 (t ) = sin t= F2 ( p ) ,p −1p2 + 1Пример.

Найти оригинал f (t ) , зная его изображение: F ( p ) =Решение. Обозначим: f1 (t ) = etПо теореме умножения функций F1 ( p ) ⋅ F2 ( p )f (=t)t∫0 f1 (t − τ ) ⋅ f 2 (τ )dτ.t −et −τ cosτ − cosτ et −τ dτ  =− ∫ e d cosτ =f (t ) =e ⋅ sin τ dτ =∫∫ 000t t −τt t −τttt=− cos t + et − ∫ et −τ d sin τ =− cos t + et − et −τ sin τ + ∫ sin τ et −τ dτ  =000t=− cos t + et − 0 − ∫ et −τ sin τ dτ .0t t −τ∫0Итак: f (t ) = e()1⋅ sin τ dτ = et − cos t , т.е.2- 42 -f=(t )1 t 1e − cos t22F ( p) =1.( p − 1)( p 2 + 1)Проверим:(1 te − cos t2)1 1p  1  p2 + 1 − p2 + 1 1, что иF ( p) = − 2== 22  ( p − 1) ( p + 1)  2  ( p − 1)( p + 1)  ( p − 1)( p 2 + 1)требовалось доказать.- 43 -3.6 Теоремы разложенияТеоремы разложения применяются для нахождения оригинала f (t ) , когда известноизображение F ( p ) . Каждая из этих теорем справедлива лишь при определенных частныхусловиях, накладываемых на изображение F ( p ) .

Однако классы функций, удовлетворяющихэтим условиям, являются весьма широкими; вычисления же, связанные с применением теоремразложения, настолько просты, что использование этих теорем при решении многих конкретныхзадач оказывается весьма эффективным.3.6.1. Первая теорема разложенияПредположим, что данное изображениеF ( p) =F ( p)может быть разложено в ряд по степенямa0 a1a+ 2 + ... + nn+1 + ...

=p pp∞a∑ p nn+1 ,1:p(5.1)n =0сходящийся при p > R .Если к каждому отдельному члену этого ряда применить операционное соотношение:tnan(n = 0,1,2,...) ,n!то оригинал f (t ) определяется формулой:anp n+1tt2t3+ a2 + a3 + ... =1!2!3!11Пример.

F ( p ) = arctgразлагается в ряд:pp111(−1) nF ( p) =−+− ... ++ ...(2n − 1) p 2 np2 3 p4 5 p6f (t ) = a0 + a1∞∑ ann =0tn.n!(5.2)По первой теореме разложенияt3t5t71f (t ) = t −+−+ ... + (−1) n−1+ ... =3 ⋅ 3! 5 ⋅ 5! 7 ⋅ 7!(2n − 1)(2n − 1)!t∫0sin ττdτ .3.6.2. Вторая теорема разложенияДля того, чтобы найти оригинал функции f ( p ) , изображение F ( p ) которой заданнодробно-рациональной функциейF=( p)R( p)R( p),=k1Q( p ) ( p − p1 ) ( p − p2 ) k2 ...( p − pm ) km(степень числителя меньше степени знаменателя), разлагаем изображениеэлементарные дроби, после чего находим оригинал каждой дроби.pf (t ) = ?( p + 1) ( p 2 + 2 p + 2)pABCp + D,F ( p=)=++ 2222p +1 p + 2 p + 2( p + 1) ( p + 2 p + 2) ( p + 1)A=−1, B =1, C =−1, D =0.Пример. F ( p ) =2F ( p ) на- 44 -Получим: F ( p=)−11( p + 1) − 1.+−( p + 1) 2 p + 1 ( p + 1) 2 + 1Запишем оригинал:f (t ) =−t ⋅ e −t + e −t − e−t cos t + e −t sin t =(−t + 1 − cos t + sin t )e −t .3.6.3. Третья теорема разложенияЕсли изображением F ( p ) искомой функции f ( p ) служит функция комплексногоаргумента, регулярная справа от прямой Re p = σ 0 , а на этой прямой и слева от нее неимеющая других особенностей, кроме конечного множества полюсов и существенно особыхточек, то оригиналом для этой функции служит функция f (t ) , определяемая по формулеn{}f (t ) = ∑ Res e pt F ( p ) .k =1p = pkp2Пример.