ТФКП и ОИ (МУ, Лекции и Семинары по ТФКП), страница 2

Такие функции называются многозначными или многолистными.Например, при z = −8 имеем: w1 =1 + 3i , w2 =−2, w3 =1 − 3i.Понятия предела функции комплексного переменного (в частности, пределапоследовательности) и непрерывности вводятся аналогично тому, как это сделано для функцийдействительного переменного. Отличие заключается только в том, что вместо абсолютнойвеличины действительного числа везде следует понимать модуль комплексного. Таким образом,число C = a + bi является пределом функции=w f=( z ) u( x, y ) + iv ( x, y ) при z → z0 = x0 + iy0 ,или lim f ( z ) = C , если ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀z : 0 < z − z0 < δ ⇒ f ( z ) − C < ε .z → z0Замечания.

1) Понятие предела ФКП (как и ФНП) является более сложным, нежели дляфункции одной действительной переменной. Это обусловлено существенно болеемногообразным стремлением аргумента ФКП (ФНП) к своей предельной точке.2) Существование предела комплексной функции эквивалентно существованию пределов удвух действительных функций u( x,иy ) ( , v )x приy ( , )x y ( →, x).0 y0Легко показать, что выполнены все арифметические свойства пределов.Функция называется непрерывной в т.

z0 , если lim f ( z ) = f ( z0 ). Это равенство эквивалентноz → z0непрерывности функций u(x, y) и v(x, y) в т. (x0, y0). Из предыдущего сразу следует, чтовыполняются все арифметические свойства непрерывных функций.-7-1.6 Ряды в комплексной области.Существование понятия предела последовательности (1.5) позволяет рассматривать ряды вкомплексной области (как числовые, так и функциональные). Стандартно определяютсячастичные суммы, абсолютная и условная сходимость числовых рядов. При этом сходимостьряда предполагает сходимость двух рядов, один из которых состоит из действительных, адругой из мнимых частей членов ряда:∞∑ ck =∞∑ (ak + ibk ) =k 1=k 1=∞∞∞∑ ak + i ∑ bk .

Например, рядk 1 =k 1=∞i i1сходится абсолютно, а ряд ∑  + − расходится (за счет мнимой части).n +1+ n +1n =1  n !n =1Если действительная и мнимая части ряда сходятся абсолютно, то абсолютно сходится и сам∑nn2a 2 + b2 ≤ a + b . Верно и обратное: из абсолютной сходимости комплексного рядаряд, т.к.следует абсолютная сходимость действительной и мнимой части: a ≤ и ab2 + b2ab≤2+2.Аналогично функциональным рядам в действительной области определяются комплексныефункциональные ряды, область их поточечной и равномерной сходимости. Без измененияформулируется и доказывается признак Вейерштрасса равномерной сходимости.

Сохраняютсявсе свойства равномерно сходящихся рядов.При исследовании функциональных рядов особый интерес представляют собой степенныеряды:∞∑ cn ( z − z0 )n , или после замены ζ = z − z0 :n =0∞∑c ζn =0nn. Как и в случае действительнойпеременной, верна теорема Абеля: если степенной ряд (последний) сходится в т. ζ0 ≠ 0, то онсходится, и притом абсолютно, для любого ζ , удовлетворяющего неравенству ζ < ζ 0 .Таким образом, область сходимости D этого степенного ряда представляет собой круградиуса R с центром в начале координат, где R − радиус сходимости − точная верхняя граньзначений ζ 0 (Откуда и появился этот термин).

Исходный степенной ряд будет, в свою очередь,сходиться в круге радиуса R с центром в т. z0 . При этом, в любом замкнутом круге K ⊂ Dстепенной ряд сходится абсолютно и равномерно (последнее утверждение сразу следует изпризнака Вейерштрасса (см. курс “Ряды”)).Пример.

Найти круг сходимости и исследовать на сходимость в тт. z1 и z2 степенного ряда( z − 1 + 2i )2 n,=z1 0,=z2 1.∑4n nn =1∞Решение.lim 2 nn →∞( z − (1 − 2i )) 2 n< 1 ⇒ z − (1 − 2i ) < 2 ⇒ область4n nсходимости − круг радиуса R = 2 с центром в т. z0 = 1 − 2i .

z = z1 = 0 : z1 − z0 = 1 − 2i = 5 > 2 ⇒z1 лежит вне круга сходимости и ряд расходится. При z = z2 = 1; z2 − z0 = 2i = 2 , т.е. точкалежит на границе круга сходимости. Подставив ее в исходный ряд, заключаем:∞(2i ) 2 n ∞ ( −1) n− ряд сходится условно по признаку Лейбница.=∑∑4n nn=n 1=n 1Если во всех граничных точках ряд сходится абсолютно или расходится по необходимомупризнаку, то это можно установить сразу для всей границы. Для этого следует подставить в рядиз модулей слагаемых значение R вместо выражения z − z0 и исследовать полученный ряд.( z − 1 + 2i )2 n.∑4nn =1Область сходимости ряда осталась прежней: z − (1 − 2i ) < 2. Подставим в ряд из модулейПример.

Рассмотрим ряд из последнего примера, изменив один сомножитель:полученный радиус сходимости:∞-8∞22 n ∞= ∑1 − ряд расходится по необходимому признаку на всей границе.∑4n n 1n 1==Если обозначить сумму ряда∞∑ cn ( z − z0 )n через f(z), т.е. f(z) =n =0∞∑c (z − z )n =0n0n(естественно, вобласти сходимости), то этот ряд называют рядом Тейлора функции f(z) или разложениемфункции f(z) в ряд Тейлора. В частном случае, при z0 = 0, ряд называется рядом Маклоренафункции f(z) .-9-1.7 Определение основных элементарных функций. Формула Эйлера.∞zn. Если z − действительная переменная, то он представляет∑n =0 n !собой разложение функции e z в ряд Маклорена и, следовательно, удовлетворяетα+βϕ (α )ϕ ( β ) ⇔=ϕ (t ) Ca t ,)характеристическому свойству показательной функции: ϕ ( =2Рассмотрим степенной ряд∞αn ∞ β n(α + β ) n.=∑∑ n! ⋅ ∑2n n ! =n 0=n 0n 1 n!=Это и является основанием для определения экспоненциальной функции в комплексной области:def ∞zn=Определение1.

e z ∑ , z ∈ Κ .n =0 n !Аналогично определяются функции sin zи cosz :т.е.∞def ∞z 2 n +1z 2n, cos=; z ∈ Κ.z ∑ ( −1) n(2n + 1)!(2n )!=n 0=n 0Все три ряда сходятся абсолютно и равномерно в любой ограниченной замкнутой областикомплексной плоскости.defzОпределение 2. sin=∞∑ ( −1)nИз трех полученных формул простой подстановкой выводится формула Эйлера:=e iz cos z + i sin zОтсюда сразу получается показательная форма записи комплексных чисел:z =a + bi =r (cos ϕ + i sin ϕ ) =r ⋅ e iϕ =z ⋅ earg z .Формула Эйлера устанавливает связь между обычной и гиперболической тригонометрией.1Рассмотрим, например, функцию f ( z ) = cos z : cos z = ( e iz + e − iz ) = chiz.

Аналогично получаются2остальные соотношения. Итак:cos( i z ) =ch z ; sin( i z ) =i ⋅ shz ; ch(i z ) =cos z ; sh(i z ) =i ⋅ sin z.Примеры. Представить указанные выражения в виде a +гдеbi, a b , ∈ℜ.1. sin(π13 13− 2i ) = ⋅ cos(2i ) − sin(2i ) ⋅= ⋅ ch2 − i⋅ sh2.62222iππ−i2 i π2 222. i =⋅1eee.==(выражение в скобках представляет собой число i , записанное в показательной форме)i3. ( −1)2=(1 ⋅ eiπ )2=e iπ2=cos π 2 + i sin π 2.4. Найти линейно независимые решения линейного ДУ 2 – го порядка: y ′′ − 4 y ′ + 13 y =0.Корни характеристического уравнения равны:=k1,2 2 ± 3i =⇒ y1 e 2 x (cos 3x + i sin 3=x ), y 2 e 2 x (cos 3x − i sin 3x ).Так как мы ищем действительные решения уравнения, то в качестве фундаментальной системырешений можно взять функции2xy1 e=cos 3x u y2 e 2 x sin 3x.Определим, в заключение, логарифмическую функцию комплексной переменной.

Как и вдействительной области, будем считать ее обратной к показательной. Для простоты рассмотримтолько экспоненциальную функцию, т.е. решим уравнение z = e w относительно w , которую и- 10 -назовем логарифмической функцией. Для этого прологарифмируем уравнение, представив z впоказательной форме:w= ln z= ln( z ⋅ e i arg z =) ln z + i ⋅ arg z.Если вместо arg z написать Arg z (1.2), то получим бесконечнозначную функциюLn=z ln z + i ⋅ Arg=z ln z + i (arg z + 2π k ),=k 0, ±1, ±2,.- 11 -1.8 Производная ФКП.

Аналитические функции. Условия Коши – Римана.Пусть w = f (z) – однозначная функция, определенная в области G ⊂ K .Определение 1. Производной от функции f (z) в точке z ∈ G называется предел отношенияприращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:dwf ( z + ∆z ) − f ( z )= f ′( z ) = lim∆z →0dz∆zФункция, имеющая производную в точке z, называется дифференцируемой в этой точке.Очевидно, что выполняются все арифметические свойства производных.( z + ∆z ) 2 − z 2Пример.

f ( z ) = z 2 ; f ′( z ) = lim= lim (2 z + ∆z ) = 2 z.∆z →0∆z →0∆zС помощью формулы бинома Ньютона аналогично выводится, что ( z n )′= n ⋅ z n −1 , ∀n ∈ Ν.Ряды для экспоненты, синуса и косинуса удовлетворяют всем условиям почленногодифференцирования. Непосредственной проверкой легко получить, что:( e z )′ = e z , (sin z )′ = cos z , (cos z )′ = − sin z.Замечание.

Хотя определение производной ФКП формально полностью совпадает сопределением для ФДП, но, по существу, является более сложным (см. замечание в п. 1.5).Определение 2. Функция f (z) , непрерывно дифференцируемая во всех точках области G,называется аналитической или регулярной в этой области.Теорема 1. Если функция f (z) дифференцируема во всех точках области G, то она являетсяаналитической в этой области. (б/д)Замечание. Фактически, эта теорема устанавливает эквивалентность регулярности идифференцируемости ФКП на области.Теорема 2. Функция, дифференцируемая в некоторой области, имеет бесконечно многопроизводных в этой области.

(б/д. Ниже ( в п.2.4 ) это утверждение будет доказано приопределенных дополнительных допущениях)f ( z ) u ( x, y ) + iv ( x, y ).Представим функцию в виде суммы действительной и мнимой частей: =Теорема 3. ( Условия Коши − Римана ). Пусть функция f (z) дифференцируема в некоторойточке z ∈ D . Тогда функции u (x,y) и v (x,y) имеют в этой точке частные производные, причемu′x = v′y и u′y = −v′x , называемые условиями Коши – Римана.Доказательство. Так как значение производной не зависит от способа стремления величины∆z к нулю, выберем следующий путь: ∆x → 0, ∆y = 0 ⇒ ∆z = ∆x + i ⋅ 0 = ∆x.