9 (Лунёва)

Семестр 3. Лекция 9.Лекция 9. Электромагнитная индукция.Закон Фарадея. Правило Ленца. Самоиндукция. Взаимная индукция. Вихревые токи. Плотность энергии магнитного поля. Энергия и силы в магнитном поле. Магнитное давление.ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯОпыт показывает, что если взять замкнутый проводник, то при изменении магнитногопотока через площадку, ограниченную проводником, в проводнике появляется индукционный ток – это явление называется электромагнитной индукцией.

Индукционный ток появляется под действием сторонних сил со стороны вихревого электрического поля, возникающего при изменении магнитного потока. Величина ЭДС индукции определяется скоростью изменения магнитного потока:idB,dS .dt SЗнак минус принято писать для согласования с правилом Ленца: индукционный ток направлен так, чтобы создаваемое им магнитное поле компенсировало изменение магнитногопотока.Этот закон носит имя Фарадея (Фарадей (Faraday) Майкл (1791-1867), английский физик,один из основоположников учения об электромагнитном поле, Ленц Эмилий Христианович(1804–1865), русский физик и электротехник).Пример на правило Ленца.

Рассмотрим замкнутый провоВВНЕШВВНЕШдящий контур, находящийся в магнитном поле с индукциейВiВiBВНЕШ , силовые линии которого перпендикулярны плоско-IiIia)б)сти контура. Если величина магнитной индукцииBВНЕШубывает с течением времени, то будет уменьшаться магнитный поток через площадку, ограниченную контуром.Тогда в контуре должен появиться индукционный ток Ii, направленный так, чтобы создаваемое им магнитное поле с индукцией Bi препятствовало изменению магнитного потока, создаваемого внешним полем.

В данном случае вектор Biвнутри контура должен быть направлентак же, как и вектор BВНЕШ (чтобы скомпенсировать уменьшение магнитного потока), поэтомуиндукционный ток направлен по часовой стрелке (рис. а). Если наоборот, индукция внешнегополя увеличивается, то индукционный ток должен стремиться уменьшить увеличение магнитного потока, поэтому вектор индукции Bi создаваемого током магнитного поля внутри контура направлен против вектора BВНЕШ , а сам ток направлен против часовой стрелки (рис. б).1Семестр 3.

Лекция 9.Пример. Рассмотрим плоскийBFМЛ I u=vBпрямоугольныйIпроводящийконтур, одна сторона (перемыч-FМЛ dlnFМЛ uка) которого может свободно пе-dSuремещаться (перемычка скользитdrпо двум направляющим проводникам). Контур находится в однородном магнитном поле, вектор индукции B которого направлен перпендикулярно плоскости контура. Пусть перемычка поступательно движется со скоростью v.

Электроны внутри перемычки перемещаются вместе с перемычкой, и их вектор скорости, перпендикулярный перемычке, равен скорости самой перемычки: u  v . Вектор магнитной силы Лоренца, вызванный этой скоростью u , будет направлен параллельно перемычкеFМЛ _  e v  B . Под действием этой силы электроны приобретут скорость упорядоченногодвижения вдоль перемычки u .

Поэтому положительное направление электрического тока будет направлено в обратную сторону. Пусть направление обхода по контуру совпадает с направлением тока в контуре, а направление нормали n к площадке, ограниченной контуром, согласовано с направлением обхода по контуру (по правилу правого винта, см. рис.).Вектору скорости u будет соответствовать сила FМЛ   e u  B . Вектор суммарнойскорости электронов будет направлен под некоторым углом к перемычке u  u  u . Этойскорости будет соответствовать сила: FЛМ  e u  B  e  u  u   B  e u  B  e u  B  FЛМ _  FЛМ  .СилаECT FМЛ _qбудет создавать в проводнике напряжённость поля сторонних силFМЛ _ v  B . Вектор ECT направлен против движения электронов, т.е.

по поло-жительному направлению тока. В примере направление касательного вектора dl к проводнику и тока совпадает с направлением обхода контура, а также и с направлением вектора ECT .Тогда ЭДС индукции на малом участке проводника (перемычки) будет равна:  EiCT    ,dl  v  B ,dl   v  dl ,B .За малое время dt перемещение поступательно движущегося проводника будет равно dr  vdt .Поэтому можно записать:2i  dr     dl  dt dr  dl ,BdS ,BdB .,B dtdtdt Семестр 3. Лекция 9.В этом выражении знак минус указывает на то, что возникающая ЭДС индукции препятствуетизменению магнитного потока.Можно считать, что за малый промежуток времени dt площадь, ограниченная контуром,изменится на величину dS  lvdt , поэтому магнитный потокBсквозь эту площадку изменится на dФ  BdS   Bl dt, отку-vlда величина ЭДС индукции во всём контуре равна:   ddt = B l .idSИтак, для всего замкнутого контура имеем:   ddtилиi ECT,dl  dB,dSdt S.Ещё раз напомним, что последние соотношения выражают закон электромагнитной индукции Фарадея, согласно которому ЭДС электромагнитной индукции, возникающая в замкнутом контуре, численно равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока, пронизывающего поверхность, натянутую на этот контур.Закон электромагнитной индукции для неподвижного проводящего контура можно представить в виде: (EСТГBdStS, dl )   ,где интегрирование ведётся по произвольной поверхности S, ограниченной неподвижным контуром Г.Пример.

Плоский контур, площадь которого S, вращается в постоянном магнитном поле с индукцией B с постоянной угловой скоростью  . Ось вращения лежит в плоскости контура иперпендикулярна силовым линиям магнитного поля. Найти амплитудное значение ЭДС индукции, возникающей в контуре.Решение. При вращении контура угол между нормалью к площадке, ограниченной контуром, ивектором B меняется по закону:    t   0 , (0 – начальный угол, t - время).

Тогда магнитный поток через площадку, ограниченную контуром:  = BScos   t   0  , следовательно, величина ЭДС индукции, возникающей в контуре равна:   t   BS sin   t    .i03Семестр 3. Лекция 9.Поэтому максимальное (амплитудное) значение ЭДС индукции:i max BS . Таким образом,величина ЭДС индукции прямо пропорциональна угловой скорости вращения контура.Замечание. Это пример показывает принцип генерации переменного тока.Если площадь контура ограничена несколькими витками, то суммарная ЭДС индукцииравна сумме ЭДС, возбуждаемых в каждом витке контура:  i _ k , илиNi_k 1Nd k d Nd   k ,dtdt k 1k 1 dtгдеФk - поток вектора B через k-й виток контура.

Следовательно, суммарный магнитный по-ток, охватываемый всем контуром,равен сумме потоков через отдельные витки:N     k =  . Этот суммарный магнитный поток называется потокосцеплением. Тогдаk 1закон электромагнитной индукции принимает вид:  i _ k = Ni_k 1d.dtДифференциальная форма закона Фарадея.Запишем интегральную форму закона электромагнитной индукции (закона Фарадея): ECT,dl  dB,dS .dt SСчитая контур и опирающуюся на него поверхность неизменной, можно записать: (EСТГи с помощью теоремы Стокса: ECTBdStS, dl )      ,dl   rot ECT ,dSполучить дифференциальнуюSформу закона электромагнитной индукции: rot ECT  B.tПри изменении во времени индукции магнитного поля в данной точке пространства, в окрестности этой точки появится поле сторонних сил, ротор векторов которого пропорционален скорости изменения вектора магнитной индукции.Из этого соотношения следует, что появляющееся поле является вихревым, т.е.

силовыелинии этого поля - замкнутые линии.4Семестр 3. Лекция 9.Если в области, где индукция магнитного поля зависит от времени, находится проводящая среда, то, по закону Ома, возникающее поле сторонних сил должно привести к возникновению электрического тока. Запишем закон Ома в дифференциальной форме: j  ECT . Отсюда следует, что силовые линии поля сторонних сил и линии тока совпадают. Но т.к. поле вихре- rot ECT  вое:B 0,tто его силовые линии – замкнутые, поэтому и линии тока:rot  j   rot ECT  B0tбудут замкнутыми.

Т.е. векторное поле плотности тока, возникающее в проводнике при изменении внешнего магнитного поля, тоже вихревое. Такие токи получили название вихревых токов или токов Фуко. Знак минус в этом выражении указывает на правило Ленца – векторплотности вихревого тока в окрестности данной точки направлен так, чтобы создаваемое иммагнитное поле компенсировало изменение индукции внешнего магнитного поля.Токи Фуко возникают, например, при движении проводников в неоднородном магнитном поле.

При этом проводник начинает разогреваться (закон Джоуля-Ленца), на участки проводника с вихревыми токами действуют силы Ампера, тормозящие проводник. (Явление разогрева используют в индукционных печах, явление торможения – в демпферных устройствах,служащих для успокоения колебаний).В тех устройствах, где появление токов Фуко следует предотвращать, применяют специальные приёмы – например в проводнике делают прорези, направление которых перпендикулярно возможному направлению вихревых токов.

Или, вообще, электропроводящие части выполняют из набора тонких пластин (сердечники – магнитопроводы в трансформаторах).Если по массивному проводнику протекает переменный электрический ток с плотностьюj , то внутри проводника он создаёт переменное магнитное поле, вектор изменения которогоB t , в свою очередь, приводит к появлению вихревых токов с плотностью jB , препятствующих изменению магнитного поля. Эти токи направлены так, что внутри проводника они ослабляют основной ток, а у поверхности, наоборот, усиливают.Таким образом, суммарная плотность тока у поверхности проводникаjВjВB/tусиливается, а внутри уменьшается.

Такое явление называют скин-jэффектом. Следовательно, при скин-эффекте, если «выкинуть» внут-jренность проводника, то это не повлияет на его сопротивление перемен-jному току. Поэтому, в устройствах, где протекает ток высокой частоты,проводники выполняют в форме полых трубок, при этом их внешнюю5Семестр 3. Лекция 9.поверхность даже покрывают веществом с большой проводимостью (например, серебром).СамоиндукцияТок, протекающий по замкнутому проводнику, создаёт магнитное поле и, соответственно, магнитный поток через площадку, ограниченную проводником. Если форма проводника постоянная, то между силой тока в проводнике и магнитным потоком через площадку, ограниченную проводником, существует прямая зависимость  B  L  I .