9 (982528), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Коэффициент пропорциональности L при отсутствии ферромагнетиков является постоянной величиной и называется индуктивностью контура или коэффициентом самоиндукции контура. Единица измеренияиндуктивности – Генри (Гн).Пример. Найдем индуктивность длинного соленоида, внутри которого нет ферромагнетика (но,возможно, есть диамагнетик или парамагнетик). Будем предполагать, что длина соленоида значительно превосходит его диаметр, поэтому можно считать, что магнитное поле внутри соленоида является однородным. Пусть N – число витков, l – длина соленоида, R - радиус. Еслисила тока, протекающего в соленоиде равна I, то модуль вектора магнитной индукции внутрисоленоида равен:B   0 IN.lМагнитный поток через поверхность, ограниченную одним витком   BS   0 Iкосцепление во всем соленоиде    N    0 ILNR 2 , потоlN2R 2 .

Тогда индуктивность соленоида равнаlN2  0R 2 .IlПри изменении силы тока I в контуре будет изменяться и магнитный поток Ф черезплощадку, ограниченную контуром, поэтому в контуре появится индукционный ток Ii, направление которого определяется правилом Ленца. Этот ток будет направлен так, чтобы скомпенсировать изменение магнитного потока, т.е. основного тока I. Это явление называется самоиндукцией. Согласно закону Фарадея   ddt , поэтому ЭДС самоиндукции (если L=const):i6si LdI.dtСеместр 3. Лекция 9.Пример.

В замкнутой цепи, содержащей катушку индуктивности (соленоид) с коэффициентомсамоиндукции L, резистор сопротивлением R и источник с ЭДС (внутреннее сопротивлениеисточника r = 0), протекает постоянный ток силой I0. Найдём, как изменяется сила тока в цепис течением времени после размыкания ключа К. Когда ключ замкнут, сила тока в цепи постоянна и равна I 0 L.RЭДС самоиндукции в катушке равна ну-лю. После размыкания ключа сила тока начнёт меняться, в ка-RKтушке появиться ЭДС самоиндукции, поэтому по закону ОмаIIsiRR tdIRL dI. Откуда,  dt и I  Ce L (C=const).R dtILС учётом начального условия - в момент размыкания клю-I0ча (т.е.

при t =0) сила тока в цепи была I  I 0 - получаемI  I 0etR tL. Т.е. ток в цепи не прекращается сразу, а убываетпо экспоненциальному закону: I  0 при t   .Так как цепь разорвана ключом К, то в месте разрыва начнут накапливаться разноимённые электрические заряды. Это приводит к тому, что напряжённость электрического поля вэтом месте нарастает и, например, в воздушной среде (практически сразу после разрыва цепи)между контактами ключа проскакивает электрическая искра (электрический пробой воздуха).Предположим, что пробоя воздуха нет, поэтому вся запасённая в контуре энергия переходит в тепло. По закону Джоуля-Ленца мощность тепловыделения на сопротивлении R равна:P  I 2 R . Тогда полное количество теплотыQ   I Rdt   I e20202RtL0LI 02  2LR t  2 R  LI 02Rdt e dt.2 02 L Таким образом, энергия магнитного поля, создаваемая в катушке индуктивности Lэлектрическим током силой I, определяется зависимостьюWM LI 2.2Пример.

Найдем период электрических колебаний в идеальном колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивности L и конденсатора ёмкости С.Сила тока в контуре равна скорости изменения заряда конденсатора:LCIdqdU.Cdtdt7Семестр 3. Лекция 9.Напряжение на конденсаторе равно ЭДС самоиндукции на катушке: U   Lдиняя последние два соотношения: I  CLdI. В итоге, объеdtd 2I, получаем уравнение для силы тока в контуре:dt 2d 2I1I  0.2dtCLЭто уравнение описывает свободные незатухающие колебания с циклической частотой1. Период колебаний T  2 LC (формула Томсона).LCВ случае свободных незатухающих колебаний полная энергия в контуре сохраняется:CU 2 LI 2W const .22(Сопротивление R в контуре отсутствует, поэтому нет тепловых потерь.)Объёмная плотность энергии магнитного поля.Пусть длина катушки равна l, радиусR, число витков N.

Если по обмоткам катушкипротекает ток силой I, то энергия магнитного поля равна: WM L   0LI 2. Индуктивность катушки2N2NR 2 . Индукция магнитного поля в катушке: B   0 I , напряжённость магнитноllго поля: H BN I , объём пространства внутри соленоида: V  R 2l . Поэтому энергия 0 lмагнитного поля, создаваемая в катушке индуктивности L электрическим током силой I, равна:1N21N N1WM   0R 2 I 2   R 2l  0 I  I   V  B  H .2l2ll2Т.к. поле внутри соленоида можно рассматривать как однородное, то объёмная плотность энергии w Wмагнитного поля определяется соотношением:VB,H 0 H 2BHB2.w22 022Взаимная индуктивностьРассмотрим два контура (расположенных на не очень большом расстоянии друг от друга), по которым текут токи I1 и I2.

Каждый из контуров создаёт в окружающем пространстве8Семестр 3. Лекция 9.магнитное поле и, соответственно, магнитный поток через другой контур. По аналогии с коэффициентом самоиндукции можно записать:магнитный поток Ф2 , создаваемый во втором контуре током I1,I2протекающим в первом контуре, равен:  2  L21 I1 ,I1магнитный поток Ф1 , создаваемый в первом контуре током I2,протекающим во втором контуре, равен: 1  L12 I 2 .Коэффициенты L12, L21 называются коэффициентами взаимной индукции (или взаимной индуктивностью) контуров.

Контуры при этом принято называть (магнитно) связанными.В отсутствие ферромагнетиков выполняется равенство L12=L21. Очевидно, эти коэффициенты зависят от формы и относительного расположения контуров.Энергия магнитного поля, создаваемого парой таких контуров с токами, определяетсязависимостью:W   wdV  VV B  B ,H121 H222VB  B1  B2 и H  H1  H 2 ,Т.к.

по принципу суперпозицииW   B,H  dV .то dV   B ,H  dV   B ,H  dV   B ,H  dV   B ,H  dV .112VV222122V2V12Энергия магнитного поля, создаваемая каждым контуром в отдельности:W1   B ,H  dV  L I121 112V2V2V122 B ,H  dV  L1222 22220121222.поэтомуB2 ,H1IIL II 21 1 2  dV .222V12 1 22 B ,H  dV  L I B ,H      H ,H    H ,B  ,Если в среде нет ферромагнетиков, тоW2  ,Тогда энергия взаимодействия двух контуров с токами может быть записана в виде:W12  L12 I1 I 2 .Силы в магнитном полеНайдём силу взаимодействияFмежду витками (почти идеального) соленоида.

Т.к. вкаждом из витков токи текут в одинаковых направлениях, то витки взаимно притягиваются, т.е.9Семестр 3. Лекция 9.силы взаимодействия стремятся сжать соленоид. Векторы этих сил направлены параллельносиловым линиям магнитного поля в соленоиде, поэтому их принято называть натяжениями вмагнитном поле. Предположим, что при постоянной силе тока длина соленоида очень медленно увеличится на малую величину dl. Тогда работа внешних сил равна изменению энергии соленоида: AВНЕШ  dWM . НоN AВНЕШ   FВНЕШ ,  xi ,i 1cos( FВНЕШ ,  xi )  1 ,где  xi - перемещение каждого из витков. Очевидно, чтоN xi 1i dl .

Очевидно, что внешняясила, растягивающая соленоид, равна по величине силе взаимодействия между витками:FВНЕШ  F , поэтомуNNi 1i 1AВНЕШ   FВНЕШ xi  F  xi .Изменение длины соленоида приведёт к изменению объёма магнитного поля внутри соленоида,а следовательно, к изменению энергии: dW  WK  WH  w  dV  w  S  dl . Здесь w – объёмнаяплотность энергии магнитного поля, S – площадь поперечного сечения соленоида.

Отсюда следует, что сила взаимодействия между витками (натяжения в магнитном поле) F  wS , а величина напряжения натяжения (вдоль силовых линий) равна: p F w - объёмной плотноSсти энергии магнитного поля.Теперь найдём силу F в направлении перпендикулярном силовым линиям магнитногополя внутри соленоида – эти силы «распирают» витки в радиальном направлении. Такие силыпринято называть давлениями в магнитном поле.

Предположим, что при постоянной силе тока радиус соленоида увеличился на малую величину dR. Объём соленоида увеличится – поэтому увеличится и энергия магнитного поля:dW  WK  WH  w  dV  w  S ВНУТР  dR ,где w – объёмная плотность энергии магнитного поля, SВНУТР – площадь внутренней поверхности соленоида. Так как работа силы F равна: A  F dR , то F  w  S ВНУТР , соответственно,напряжение давления равно: p FS ВНУТР w - объёмной плотности энергии магнитного поля.Определение. Силы, действующие на тела со стороны магнитного (или электрического) поля,называют пондемоторными.10.

Характеристики

Список файлов лекций