5 (Лунёва)

Семестр 3. Лекция 5.Лекция 5. Магнитное поле в вакууме.Вектор индукции магнитного поля. Закон Био-Савара. Принцип суперпозиции магнитныхполей. Поле прямого и кругового токов. Теорема о циркуляции вектора индукции магнитного поля в интегральной и дифференциальной формах. (Расчѐт магнитного поля тороида исоленоида).Исследуя экспериментально силовое воздействие магнитного поля на проводник с током,А. Ампер установил, что сила dF , действующая на элемент Idl линейного проводника с током со стороны магнитного поля с индукцией B , определяется следующей зависимостью: dF  I  dl , B  .Это соотношение получило название закона Ампера.Опыт показывает, что электрические токи взаимодействуют между собой.

Закон Амперапозволяет рассчитать силу взаимодействия (на единицу длины) в вакууме двух прямолинейныхтонких параллельных проводников с токами I1 и I2 , расстояние между которыми равно b:Fl  kI1 I 2.bОдинаково направленные токи притягиваются, противоположно направленные – отталкиваются.Константа в вакууме имеет вид k 0, где 0  4 107 Гн/м (Генри/метр) – магнит2ная постоянная.Замечание. Полезное соотношение:1 c 2 , где c  3 108 - скорость света в вакууме. 0 0Замечание.

Закон Ампера связывает механическое понятие силы с единицами измерения силытока и электрического заряда.По современным представлениям токи взаимодействует между собой посредством промежуточной среды, которая называется магнитным полем.Магнитное поле характеризуется вектором магнитной индукции B . Величина ин-дукции измеряется в Теслах (Тл). Силовой линией магнитного поля называется линия в пространстве, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением вектора B .Магнитное поле проявляется в действии на движущиеся заряды (токи).

На покоящиеся заряды магнитное поле не действует.Магнитное поле не имеет источников - оно создается только движущимися зарядами(электрическим током), поэтому силовые линии магнитного поля являются замкнутыми линиями.1Семестр 3. Лекция 5.Принцип суперпозиции для магнитного поля: вектор индукции магнитного поля,создаваемого системой движущихся электрических зарядов (электрических токов), равенвекторной сумме индукций магнитных полей, создаваемых каждым из движущихся электрических зарядов (токов) в отдельности:B   Bi .iАналогом пробного заряда для магнитного поля является пробный контур с тоnком очень маленьких размеров.

Этот контур является ориентированным – направление нормали к площадке, ограниченной контуром, согласовано с направ-Iлением тока в нѐм правилом буравчика (правого винта). Опыт показывает, что напробный контур действует вращающий момент сил, зависящий от угла между вектором индукции магнитного поля и вектором нормали к площадке, ограниченной контуром, а также от силытока и величины площадки. Максимальное значение момента даѐтся выражением M MAX  ISB .Поэтому величину индукции магнитного поля в данной точке определяют какBM MAX.ISОпределение.

Магнитным моментом контура (с постоянным) током называется векторнаявеличинаpm  ISn ,где S- величина площадки, ограниченной контуром, I – сила тока. Единица измерения магнитного момента: Ам2 (Амперм2).Закон Био-Савара-Лапласа.Опыт показывает, что магнитная индукция dB , создаваемая в вакууме линейным элементом тока Idl проводника с током, определяется законом Био-Савара-Лапласа:  0 I  dl  r dB .4 0r3Модуль индукции магнитного поля: dB dl 0 Idldl.Здесь- касательный вектор к линииsin4 r 2rdB2Семестр 3. Лекция 5.тока, направленный в положительном направлении для тока, (dl – длина малого элемента проводника), I – сила тока в проводнике, r - вектор, проведенный от начала вектора dl в точку, где определяется вектор индукции магнитного поля,  - угол между векторами dl и r .

Векто  ры dl ,r ,dB образуют правую тройку векторов.1) Рассмотрим магнитное поле, создаваемое длинным тонким прямым проводом, по которому течет постоянный ток силой I.Найдѐм величину и направление вектора магнитной индукции в точке, находящейся на расстоянии R от провода.

Применим принцип суперпозиции ,BdBdldl Idlrгде dBdl  0  3  - вектор магнитной индукции, создаваемый элементом тока Idl .4 0rВекторы dB в выбранной точке от всех элементов Idl направленыодинаково (перпендикулярно плоскости, образованной векторами dl ,r ), поэтому можно перейти от векторной суммы к сумме ве-+IdBR0xличин dBdl :BdBdl , где dBdl dlr 0 Idl sin .4r2Введѐм координату х, отсчитываемую от точки пересечения прово-dxда и перпендикуляра к проводу, восстановленного из точки наблю-dlдения.

Тогда r  x 2  R 2 , r sin   R , dx  dl , поэтому IRdx  IRdxB  0 3  0 .4 r4   R 2  x 2 3 2НоdxR2x32 22(см. лекцию № 1).R2Окончательно, величина индукции магнитного поля на расстоянии R от тонкого длинного прямого провода с постоянным током I определяется соотношением:BBBI0 I.2RСиловые линии магнитного поля, создаваемого током вбесконечно длинном прямом проводнике, представля3Семестр 3. Лекция 5.ют собой окружности, лежащие в плоскости, перпендикулярной проводу, и с центром на осипровода. Направление вектора B определяется по правилу правого винта. (Или правой руки:если обхватить правой рукой провод так, чтобы большой палец был направлен по току, то остальные пальцы покажут направление «закрученности» В.)2) Рассмотрим магнитное поле, создаваемое круговым контуром с постоянным током, наоси контура.По контуру течѐт ток силой I, радиус контураR.

Найдѐм величину индукции магнитного поля вdl1r1точке, находящейся на расстоянии x от плоскостиdB1Rконтура вдоль его оси.xЛюбые два элемента Idl1 и Idl2 , расположенdB1+dB2IdB2r2ные симметрично относительно центра контура, создают в точке наблюдения два симметричных (относительно оси) вектора dB1 и dB2 . Сумма этих векторовdl2лежит на оси контура. Поэтому при нахождении суперпозиции всех векторов dB надо учитывать только проекцию векторов на эту ось:BdBdl cos  .dlТ.к.

образующая конуса перпендикулярна касательной к основанию, то угол между векторами dl и r - прямой, поэтомуdBdl  0 Idl.4 r 2Для всех элементов dl величины r  R 2  x 2 и cos  BdBdl cos   dldlR2  x2одинаковые. Следовательно,0 Idl I0 Icos   0 2 cos dlcos  2R24 r4 r4 r 2dlилиBBR0IR 2.2  R 2  x 2 3 2С учѐтом определения магнитного момента контура pm  ISn ивеличины площади круга S  R 2 можно записать эту формулу ввиде4Семестр 3.

Лекция 5. 00pmI R 2.B2   R 2  x 2  3 2 2   R 2  x 2 3 2Замечание. Картина силовых линий магнитного поля кольца обладает осевой симметрией, поэтому вектор индукции в каждой точке плоскости кольца направлен перпендикулярно этойплоскости. Кроме того, в каждой точке поля вектор B лежит в плоскости, проходящей черезось кольца (продольной плоскости).Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции.Так как силовые линии магнитного поля замкнутые, то это поле является вихре вым, т.е. rot B  0 , поэтому циркуляция этого векторного поля вдоль любого замкнутого кон- тура Г не равна нулю:   B,dl     rot  B  ,dS   0 .SПример.

Найдем циркуляцию вектора магнитной индукции поля, создаваемого прямым проводом с током. В качестве контура Г возьмѐм какую-нибудь силовую лиIнию (представляющую собой, как нам уже известно, окружность с цен-nтром на оси провода и лежащую в плоскости, перпендикулярной к проBdlводу). Пусть радиус этой линии равен R, тогда величина магнитной индукции на этой линии постоянна и равна B 0 I. Выберем ориента2Rцию на контуре Г так, чтобы векторы dl и B были направлены одинаково. (В этом случаенормаль n к площадке, ограниченной контуром, и направление тока совпадают.) Тогда I  B,dl    B cos  0  dl   Bdl  B  dl  B2R  2R 2R   I .000Выберем ориентацию на силовой линии так, чтобы векторы B и dl были направленыпротивоположно, (при этом нормаль n к площадке, ограниченной контуром, и направление тока тоже будут направлены противоположно).

В этом случае   I0B,dl   B cos 180  dl   Bdl   B  dl   B2R   20R 2R  0 I .Этот результат не является случайным, его можно обобщить в виде теоремы о циркуляции вектора индукции магнитного поля B (в интегральной форме):циркуляция вектора индукции магнитного поля по любому ориентированному замкнутому контуру пропорциональна алгебраической сумме токов, пронизывающих ориентированную площадку, ограниченную контуром. Ориентация контура и площадки согласованы правилом правого винта.

Коэффициент пропорциональности – магнитная постоянная:5Семестр 3. Лекция 5.   B,dl     I0kkСила тока берѐтся со знаком плюс, если угол между направлением тока и направлениемнормали к площадке меньше 90 градусов, и минус - если больше. Если ввести векторное поле плотности тока j так, чтобы  I k   j ,dS , то, исполь-kSзуя теорему Стокса   B,dl     rot  B  ,dS      j ,dS  ,0SSполучаем дифференциальную форму записи теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции:rot B  0 j . Замечание. Хоть магнитное поле и является вихревым, но отсюда не следует, что циркуляциявектора магнитной индукции всегда отлична от нуля.

Например, если контур Г охватывает дваодинаковых по силе тока, но пронизывающих площадку в разных направлениях, то для них  B 0.,ноB,dlII0012Идеальным соленоидом называется бесконечный тонкий проводник, намотанный наповерхность бесконечного кругового цилиндра так, что при этом круговые витки проводника перпендикулярны оси цилиндра.Замечание. В таком соленоиде нет составляющей электрического тока, направленной вдоль осицилиндра, а только круговые токи в каждом из поперечных сечений.

Поэтому можно считать,что соленоид составлен из бесконечного числа одинаковых витков, по которым течѐт одинаковый по направлению и силе ток.Плотностью намотки соленоида n называется величина равная отношению количества витков N на некотором участке соленоида к длине этого участка l: n N.lНайдем величину индукции магнитного поля в какой-нибудь точке А на оси соленоида.Пусть сила тока в соленоиде равна I.