10 (Лунёва)

Семестр 3. Лекция 10.Лекция 10. Основные положения электромагнитной теории Максвелла.Уравнения Максвелла для электромагнитного поля. Вихревое электрическое поле. Ток смещения. Закон полного тока. Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной формах.Закон электромагнитной индукции ФарадеяidB,dSdt Sили rot ECT  Btсвидетельствует о том, что изменение магнитного поля приводит к появлению сторонних сил впроводнике, действующих на носители тока.

Как показывает пример с проводником, поступательно движущимся в магнитном поле, эти сторонние силы аналогичны силам, действующим наэлектрические заряды со стороны электрического поля. Поле сторонних сил является вихревым,поэтому его называют вихревым электрическим полем.Первая гипотеза Максвелла состоит в том, что появление вихревого электрического поля из-заизменяющегося во времени магнитного поля в некоторой области пространства не зависитот наличия в этой области проводника или носителей тока. При этом электрическое поле влюбой области пространства является суперпозицией электростатического (кулоновского) поля (снапряжённостью Eq ), создаваемого электрическими зарядами, и вихревого электрического поля(с напряжённостью EB ), создаваемого переменным магнитным полем.

Напряжённость суммарного электрического поля равна: E  Eq  EB .поля. Так как div Eq 0Найдём дивергенцию суммарного электрического div EB  0 , тоиИз соотношений Eq   grad    и    div E  div Eq  div EB .0 rot Eq  rot   grad      0 следует равенство:  rot E  rot Eq  rot EB  B.tТок смещения. Теорема о циркуляции для вектора напряжённости магнитного поля имеет вид: rot H  j .    div  j  .

Левая часть этогоПрименим к обеим частям этого равенства дивергенцию: div rot H    0 ,соотношения равна нулю: div rot Hно правая не равна нулю: div  j   непрерывности электрического заряда). Откуда следует, что(уравнениеt 0 , т.е. объёмная плотность заt ряда не зависит от времени. Следовательно, равенство rot H  j применимо для случая, когда1Семестр 3. Лекция 10.div  j   0 .

В этом случае векторное поле плотности тока j является вихревым, поэтому линиитока замкнутые.Рассмотрим теорему о циркуляции вектора напряжённости H вокруг замкнутого проводни-  H ,dl   I . Линиика, в котором течёт постоянный ток:S2S1S3тока в этом случае замкнутые, поэтому если взять несколько поверхностей S1, S2, S3, S4 имеющих вид мешков,HГобщим горлом которых является контур Г, то должно вы-Hполняться равенство:IS4  H ,dl     j ,dS     j ,dS     j ,dS     j ,dS   I ,S1S2S3S4т.к. сила тока в любом сечении проводника одинаковая.Теперь поместим в цепь конденсатор С.

Пусть по цепиS2протекает постоянный ток I. Поверхность S3 проведёмS1S3конденсатора. Так как в конденсаторе нет тока проводи-HГтаким образом, чтобы она охватывала одну из обкладокмости, тоH  j ,dS   0 ,CS3IS4но по-прежнему  H ,dl     j ,dS     j ,dS     j ,dS   I .S1S2S4Но расположение конденсатора можно поменять так, чтобы одна его обкладка находилась внутриповерхности не S3, а, например, S2. Тогда получим следующие равенства:  j ,dS   0иS2  H ,dl     j ,dS     j ,dS     j ,dS   I .S1S3S4Получаем противоречие – циркуляция векторного поля по контуру Г, не охватывающемуучасток цепи с конденсатором, зависит от произвольного выбора места расположения конденсатора. Чтобы снять это противоречие, Максвелл выдвинул гипотезу о том, что наряду с токомпроводимости существует ток смещения, который также создаёт магнитное поле (втораягипотеза).

Плотность тока смещения задаётся скоростью изменения вектора электрического смещения:jCM 2D.tСеместр 3. Лекция 10.Плотность полного тока – векторная сумма плотности тока проводимости и плот-jПОЛН  jПРОВ  jСМ .ности тока смещения:Найдём дивергенцию вектора плотности полного тока. Учтём закон сохранения электрическогозаряда: div  jПРОВ   t и теорему Гаусса для вектора электрического смещения: div D   .Сделаем очевидные преобразования:div  jПОЛН   div  jПРОВ   div  jСМ    D    div div D    0. tt tt t t   Таким образом, векторное поле плотности полного тока не имеет источников, т.е.

является вихревым, следовательно, силовые линии полного тока являются замкнутыми.Рассмотрим случай, когда по замкнутой цепи течёт постоянный ток, тогда 0 , откудаt    div  Dt   div  j   0 . div Dt tСМТ.к. цепь замкнутая, то не происходит накапливания электрического заряда ни в одной точке цепис течением времени и поэтому можно считать, что вдоль цепи D  const . Поэтому нет тока смещения:jCM D0tиjПОЛН  jПРОВ .Если цепь содержит конденсатор, то между обкладками отсутствует ток проводимости. Поэтому силовая линия тока проводимости имеет разрыв на обкладках конденсатора – т.е. обкладкиимеют стоки и источники поля векторов плотности тока проводимости div  jПРОВ   0 . Из уравнения непрерывности для тока: div  jПРОВ   следует, что источниками (и стоками) электричеtского тока в цепи являются изменяющиеся электрические заряды на обкладках.

Но, в то же самоевремя, изменение электрического заряда на обкладках служит стоком и источником тока смещения в пространстве между обкладками: D  div  jCM   div div Dtt    t .Т.е. из-за изменения электрического заряда конденсатора (во времени) векторное полеэлектрического смещения в пространстве между обкладками будет изменяться во времени, чтоприведёт к появлению тока смещения в пространстве между обкладками конденсатора. Поэтомумежду обкладками конденсатораjПОЛН  jСМ .Так как сила тока проводимости (с учётом знака) равна потоку вектора плотности тока про-водимости через ориентированную поверхность: I   j ,dS , то, аналогично, можно опредеS3Семестр 3.

Лекция 10.лить и силу тока смещения (с учётом знака) через ориГентированную поверхность:H DI СМ   jСМ ,dS   ,dS  .tSS Если поверхность S неподвижная, тоII D dI СМ   ,dS    D,dS .t dt SS q+qЗакон полного тока: сила полного тока равна сумметока проводимости и тока смещения.DHВывод. Если в теореме о циркуляции для напряжённо-D/tстиH магнитного поля заменить ток проводимостина полный ток, то противоречие будет снято: rot H  jПОЛН  jПРОВ  jСМЕЩ , rot H  j D.tИли, в интегральной форме:  H ,dl   I  dt   D,dS dS- циркуляция вектора напряжённости магнитного поля по любому замкнутому (ориентированному) контуру равна сумме токов проводимости и смещения через ориентированную поверхность, ограниченную этим контуром.

Ориентации контура и поверхности согласованыправилом правого винта (буравчика). Эти соотношения часто называют законом полноготока.Эти соотношения свидетельствуют о том, что магнитное поле может порождаться переменным во времени электрическим полем.Пример. Найдем циркуляцию вектора напряжённости H магнитного поля в пространстве междуобкладками плоского конденсатора, включённого в цепь с постоянным током.Пусть сила тока в цепи равна I. Конденсатор плоский, обкладки – круги радиусом R. Расстояние между обкладками d много меньше R (в этом случае электрическое поле между пластинами в каждый момент времени приближённо можно считать однородным).

Ток в цепи постоянный, поэтому заряды «положительной» и «отрицательной» обкладок линейно зависят от времени:q  I  t  q0 .Пусть n - единичный вектор нормали к пластине с положительным зарядом. Между обкладками вектор электрического смещения направлен перпендикулярно пластинам: D  D  n (отположительно заряженной пластины к отрицательно заряженной).

Нормальная составляющая4Семестр 3. Лекция 10.вектора электрического смещения равна длине этого вектора: Dn  D . С другой стороны, внутриплоского конденсатораDn   qS( q- поверхностная плотность стороннего заряда,SS  R 2 - площадь обкладки конденсатора), поэтому D I  t  q0. Найдём производную от векSтора D по времени:D Dn. D n  nDt tttn 0 и векторtНо n  const , поэтомунам.DDтоже направлен перпендикулярно пластиnttПусть в рассматриваемом случае заряд положительной пластины увеличивается, тогдаDDи D направлены одинаково. 0 и векторыttПоле между пластинами обладает осевой симметрией.

Найдём циркуляцию вектора напряжённости H по контуру Г, который является окружностью с центром на оси симметрии в плоскости, перпендикулярной оси симметрии. Пусть радиус окружности равен r.Контур ограничивает плоский круг S, к которому можно построить вектор единичной нормали n , совпадающий по направлению с направлением вектора электрического смещения D .Поток этого векторного полячерез поверхность, ограниченную контуром Г, равенD D   D,dS  Dr 2 . Поэтому для силы тока смещения получим:SI СМddr222 dD2 I  D,dS   Dr   r rI 2.dt SdtdtSRСиловые линии магнитного поля являются окружностями, лежащими в плоскости, перпендикулярной оси симметрии, центры окружностей находятся на этой оси.

Поэтому выбранныйконтур Г совпадает с какой-то силовой линией. Тогда вектор напряжённости H магнитного поля направлен по касательной к контуру Г в каждой его точке, и модуль вектора H зависит только от радиуса окружности r. Напомним, что направление обхода по контуру Г и направлениенормали n к плоскости, ограниченной контуром, согласованы (правый винт), а направление нормали выбрано совпадающим c направлением векторного поля D . Так как в рассматриваемомслучае векторыDи D направлены одинаково, то направления касательных векторов H и dltсовпадают, поэтому  H ,dl    Hdl  H 2r .Ток проводимости между обкладками конденсатора отсутствует ( I=0 ), поэтому5Семестр 3.

Лекция 10.  H ,dl   dt   D,dS  .dТогда H 2r  Ir2, откудаR2HSIrI. В частности, при r = R получаем H - такое же22R2Rзначение, как если бы между обкладками конденсатора протекал ток проводимости силой I.Уравнения МаксвеллаГипотезы Максвелла позволяют записать систему уравнений электромагнитного поля.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯИНТЕГРАЛЬНАЯФОРМАТеорема ГауссаФОРМА  D,dS   qdivD  для электрического поляSЗакон электромагнитной индукции (закон Фарадея)(теорема оциркуляции вектора напряжён- rot E    E,dl    dt   B,dS BtdSности электрического поля)Теорема Гаусса  B,dS   0divB  0для магнитного поляSЗакон полного тока (теорема оциркуляции вектора напряжён- rot H  j Dtности магнитного поля)  H ,dl   IdD,dSdt SВ материальной среде эти системы дополняются уравнениями (материальные уравнения):ИНТЕГРАЛЬНАЯФОРМАФОРМАЗакон Омаj    E  ECTЗакон сохранения электрического зарядаD  0  E  P ,div  j   tI  R  1  1  12  j ,dS    dt  dV .dSVв однородном изотропном диэлектрикеD  0E ,B  0  H  J , в однородном изотропном магнетикеB   0H .6ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯСеместр 3.

Лекция 10.Условия на границе раздела сред:D2 n  D1n   ,E1t  E2t ,B2 n  B1n ,H 2  H1  (iПОВ ) ,где в правой части граничного условия для касательных компонент вектора H величина iПОВпредставляет собой линейную плотность поверхностного тока проводимости на границе разделамагнетиков. Если токи проводимости на границе раздела отсутствуют, то это условие принимаетвид: H 2  H1 (см.