Кловский Д.Д. Теория электрической связи. Сборник задач и упражнений (1990), страница 12

Найти корреляционную функцию и энергетический спектр выходного процесса. 57 .ч.4.о. На вход синхронного петен- л, р (зер м, О р дукт которого подвергается низкочастотной фильтрации) поступает случай- „® аг у(т) ный процесс 2 (1) =)там Ь (1) соз (юо(+оро) + Рис 3 4 Схема линейной цепи + Хв (1) соз юо(+ Уо (1) 51п шо1 (к задаче 34.7) который представляет собой аддитивную смесь БМ-,сигнала и флуктуационного шума*. Здесь юо — несушая частота; Ь(1)— модулируюший сигнал с нулевым матеманичеоким ожиданием и полосой частот Р;, Х„(1) и У.(1) — независимые, квадратурные компоненты гауссовокого шума, у которых Й 2 р ,-~-о; в,< о=в„вр-вр,р- в,р, Опорный сигнал и,(1) =У„соз(шо1+ррт). Фильтр нижних частот в полосе Р, будем считать идеальным с единичным коэффициентом передачи.

Определить: одномерное распределен~не выходного продукта У(1), его математичесркое ожидание птя(1), дисперсию а'„(1); корреляционную функцию и энергетический спектр для флуктунруюшей части У(1); ОТНОШЕНИЕ СИГНВЛ"ШУМ Иа ВХОДЕ Рв» И ВЫХОДЕ Рвм» ДЕТЕКТОРВ, выигрыш в отношении сигнал-шум д=р. „ррр„. 3.4.10. На вход синхронного детектора поступает смесь сигнала с угловой модуляцией и флуктуационного шума г(1) =(1 ( .1+В(1)+ф,)+Х.(1)005ю,1+ + У,(1)5!и юо1р где 6(1) =АррЬ(1) прн ФМ; 6(1) =Аш)' Ь(1)т(1 при ЧМ. Опрределнть те же характерристнки, что и в задаче 3.4.9, полагая, что прн детектировании ЧМ-сигнала к синхронному детекто~ру подключается еше идеальная дифференцируюшая цепь.

3.4.11. На вход безынерциожного нелинейного устройства с характеристикой у=х' поступает стационарный гауссовский шум с корреляционной функцией В,(т) =аз»)с»(т) =аз„е "1'1. Определить одномерную плотность вероятности выходного продукта У(1), математическое ожидание пт„(1), корреляционную функцию В„(1, 1+т) и энергетический спектр Оя(1). 3.4.12. На вход линейного амплитудного детектора с характеристикой йх при х)0, у= 0 при х(0, о Свойства шума счнтакррся одинаковыми для всех нижеследующих задач этого раздела.

88 поступает случайный процесс Х(1) = (()„а()+тпЬ(1) ) +Х„(1) ~ )С ХСОзюо1+У,(1)5!П Шаг, КОтОрЫЙ Прсдетанпяст Оабай адднтнВНУЮ смесь АМ.овгвала и стационарного гауссовского шума с равномерным энергетическим спектром 1трв в полосе частот канала Р,= =2Р,.

Определить при Ь(1) =0: отношение сигнаал-шум рвм» ~на Выходе идеального ФНЧ, пОд ключенного к линейному детектору; отношение сигнал-шум на входе детектора р„; НЫнтоРЫШ В отноше~ин СИГИВЛ-ШУМ Д=Р»м»/Рв». З,б. УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ, МАРКОВСКИЕ МОДЕЛИ КАНАЛОВ СВЯЗИ Уравнения состояния Х«) и наблюдения У«) для л-мерной динам~ввозной системы (канала) в матричном виде имеют вид х(т) =Г(Д х«))х(ю)+б(б х«Ц11«), У«) =н(б х«цх«), г~(„х«о) =х., (321) х «) Ха «) где Х «) = — вектор состояний со скалярными компонентами; Х„(О Х (О ; и«)= и,«) и„«) — вектор внешних воздействий; х«) = и„«) Х„«) Г, б, Н вЂ” матрицы, размерность которых согласована с размерностями Х(Г), и«), характеризующие свойства системы (канала). Если внешнее воздействие (порождающий процесс) случайный гауссовский процесс типа белого шума с нулевым математическим ожиданием и корреляционной матрицей (322) И (Д т+т)=б«)1)т«+т)=об(т), где Т вЂ” знак транспонировання матрицы; б — симметричная, неотрицательно определенная матрица, а функции (матрицы) Г«), б«), Н«) удовлетворяют условиям непрерывности и ограниченности.

процессы х«), х(т), У«), определенные лроделью (321), (3.22), являются марко~зеками Их переходные плотности вероятности ш(х, 1(хо, б) и рю(х, у, р(хо, уо, !о) подчинены соответствую. щим дифференциальным уравнениям в частных производных Колмогорова— Фоккера — Планка (2 14). Если гауссовский порождающий процесс воздействует на линейную цепь (матрицы Г, б, Н не зависят от Х«)), то и выходной процесс У«) будет гауссовским. Он будет также стационарным, если формирующая система является линейной с постоянными параметрами (Г, б, Н не зависят от ХОО и 1). Распределение процесса будет негауссовским, если он сформирован нелинейной системой.

Таким образом, метод переменных состояний позволяет представить случайр. ный процесс У«) его марковским приближением. Часто при использовании ме. тода переменных состояний для моделирования процессов в каналах со случай- но меияюшимися параметрами уравнения пзблюдспия пишут в виде г[е) =н[е, х[е))х[е)+м[е), где зт[Е) — зддптивяый [обычно гауссовский) шум, сопровождающий наблюде- ние По заданному скалярному (одномериому) уравнению состояния [321) ко. зффпписпты сноса А,[х, Е) и диффузия Аз(х, Е), взодяшкс в урзвненяс Кол- могорова — Фоккера — Планка (2 14), определяются формулами А, (х, Е) = Ит — М ( [х (Е + й Š— х (Е)1[х [ЕЦ, 1 зе зЛЕ А,(х, Е) =[пи — М([х[Е+ ЬЕ) — х [Е)1з1х(Е)).

Ы 0 дЕ случайный вйзоцесс на выходе системы У(Е) с энергетическим спектром Д(/) зЕз [К( ю)(з йЕО Лз[Е )" +Лз(/ю) +- +Лп 2 ~ 0,)п[„р [,)и — з 1 +, при воздействии на вход случайного стационарного белого гауссовского шума Ле(/) с энергетическим спектром /1/з/2 при нулевых начальных условиях. З.5.4. Покаионте, что скалярное дифференциальное уравнение п-го порядка, полученное в задаче (3.6.3), дается следующей скалярной системой уравнений состояния и наблюдения: А (Е) = — чрзХ, (Е) + Х, (Е) +Х,п(Е); Хз (Е) = — фзХз (Е) + Хз (Е) +/лзп (Е); 3 адаччз 35./. Напряжение в цепи описывается при внешнем воздействии и(Е) =1(Е) у~ра~внением п-го порядка с нулевыми начальными условиями и(0) е ио1(0) =имз(0) = ...

=и<я-Е1(0) =О. Написать уравнения состояния и наблюдения в скалярном и матричном виде и схему зналогового вычислителя, которая их реализует 3.5 2 Случайные процессы на выходе двух каналов свив~и описываются уравнениями состояния и наблюден~ия 5[, (Е) = Р, (Е, Х, (Е)) Х, (Е) + О, [Е, Х, (Е)) [), (Е)1 У,(Е) =Н, [Е, Х,(Е)) Х,(Е); Х, (Е) = гз [Е, Х, (Е)) Х, (Е) + ззз !/, Х, (Е)) %/з (Е); Уз(Е)=нз[Е, Хз(Е))Хз(/); Х,(0)=Х„; Х,(0)=Х„„. Покажите, что эти случайные процессы можно представить как выход векторною канала, описываемого уравнением состояния и наблюдения (321) с матрицами Р, 0 О, 0 Х (Е) О, 0 х,-) "/.

353. Линейная цеиь п-ю порядка с постоянными параметрами определяется операторным коэффициентом передачи «-1 [Л ч — 21 [Л Е[р) (3.26) р +ф р '+ +ф 0(р) Напишите линейное скалярное уравнение п-го порядка с постоянными коэффициентами, описывающее в установившемся режиме бб Х -~ (Е) = — зР -~Х -з(Е)+Х (Е)+)л„,п(Е). Х (/) = — ф Х (Е)+и п(Е); У(Е) =Х,(Е). (3.26) Нарисуйте аналоговый вычислитель, реализующий уравнение (3.26). 3.55.

Покажите, что система (3.26) реализуется матричным уравнением (3.21) с матрицами — зР,[О ...Π— зрз 0 1 . . . 0 ; н(1 0...0(. г= — зр„оо ... 1 Л„ З.б.б. Покажите, что стационарный гауссовский марковский процесс 5(Е) с ко~рреляционной функцией В (Е Е) р ( а[/ Е [)/О (/) 2Рс ! ) хгсл1 аз+4пз/з [а+ Е 2п/ ! а / можно при нулевых начальных условиях задать уравнением со- стояния З(Е)= — аЯ(Е)+У2иР,[е(Е), 3( — со)=0, (3.27) [з(Е) — центрированный белый шум с единичной спектральной плотностью Воспользоваться методом перехода от изображения К(р) =а/(р+а) * к о~ригиналу.

Принять, что 2Р,/а — спектральная плотность порождающего шума. 61 " Лцпейпзя цепь с постояннымп параметрами (иптсгрпрующзя ЕЕС-цепочка параметром а- — -!еЕЕС) с ломпзел ным козффицпезтом передачи К[Ею) =-а/(а+ -'12л/) или операторным коэффициентом псрсдзчя К(р)=а/[р+а) резлпзуел~л полюс лежит з левой полуплоскостп переменного р], в то время кзк цепь с операторным коэффициентом передачи К[р) =а/[р — а) нереализуема [полюс лежит в правой полуплоскости) (3.28) 1(а,) = — !оа Р(а,). (4.1) 1(а,) = — 1ок»Р(а,).

(4.2) и Н(А) =1(а,) = — Р, Р(а!) (ояР (а»). ! ! Х,(1) = р,Х,(1)+а п(1) Х,(1)= раХ,(1)+а.п(1) (4. 3) (3.30) Х„(1) = р„Х„(1)+ а. и (1) 1 (1) =- Т.Х,(1) к=1 — Н(А)Н1 „,(А) = 1 — Н(А)/1оп К. (4 4) р,О ...О р, а! Н=(1, 1,-, 1) 00..р„ 8.5.7. Стохастнческое дифференциальное уравнение имеет вид Х (1) — »! (х> 1) + 8> (х> 1) и (1)> Х (1э) — Хэ> В„ = †" 8 (1, - 1,). Покажите, что коэффициенты сноса и диффузии определяются уравнениями Ад (х> 1) 1 (х> 1) + '; Аэ (х, 1) 2 )((а Ы (х, 1)> 1 дАэ(х, !) 1 а стационарная плотность вероятности при нулевых граничных уело»виях п»(х) = — 'ехр ~ — ) — »(х).

я(х) д Нэ н(х) 8.5.8. Стохастнческое дифференциальное у>равнение определяет. ся выражением (3.28) прн х)0. Прн какой нелинейной функции 1(х) стац>непарная плотность гн(х) огзределяется ватсоном Рэлея: ы»(х)= — хехр(-х'12о'), х)0. »та 8.5.9. Операторный коэффициент передачи (3.25) реализуемой цепи разлагается на сумму простых дробей К (р) =- ~ а 1(р + рэ), аь = 1. (рь)1(1 (ра). э=! С учетом принципа наложения показать, что дифференциальное уравнение цепи (уравнення состояния) с учетом нулевых начальных условий имеет вид Построить аналоговый вычислитель, реализующий этн уравнения состояния. р .