Диссертация (Численное обращение интегрального преобразования Лапласа функций специального вида), страница 7

Таким образом заметим, что при β = 1 на фронте волны имеется убывающий по мере удаления от начала стержня скачок напряжения, при0 < β < 1 он отсутствует, что характерно для всех слабосингулярных ядер [4].52Далее возникает задача обращения получившегося образа с целью нахождения решения поставленной изначально задачи о распространении полубесконечного импульса нагрузки в полубесконечном вязкоупругом стержне.

В работе[4] данная задача решается с помощью метода асимптотического расширенияинтервала. Покажем, что для нахождения оригинала функции σ(p) можно воспользоваться описанным выше методом КФНСТ.Находить оригинал по известному образу по Лапласу, как отмечалось вГлаве 1 данной работы, можно различными способами, но для выбора подходящего метода необходимо исследовать изображение с целью определениярасположения особых точек.Так, при применении квадратурный формул для обращения преобразования Лапласа возникает функция pФ(x, p).Ф(x, τ ) ≈nXAk (pФ(x, p))p= pk ,τk=1где pФ(x, p) = σ0 expαp− ωϕ(p).Для нахождения особых точек функции pФ(x, p) необходимо исследовать,когда функция ϕ(p) = 0,ββ/2ϕ(p) = (p + ω) − 1 + (p + ω)q(p + ω)β − 1 = 0.Сделаем замену переменной z = (p + ω)β/2 и получим уравнениеpz − 1 + z z 2 − 1 = 0.2Решая его, найдём формулу для особых точек исследуемой функции pФ(x, p)p = −ω + 11/β .В случае, если β — рациональное (β =nm,n, m — натуральные числа), то на√комплексной плоскости мы получим n значений для n 1m и все они располагаются на единичной окружности с центром в начале координат.

Если β —53иррациональное, то получим бесконечно много значений для 11/β на единичнойокружности.Поскольку по определению длительного и мгновенного модуля упругостиE∞ < E0 , следовательно ω > 1. Это утверждение следует из формулы, задающей ω: ω = (1 − E∞ /E0 )−1/β и оценок 0 < 1 − E∞ /E0 < 1, 0 < β < 1. Такимобразом все особые точки исследуемой функции находятся в левой полуплоскости, а значит КФНСТ могут быть применены для решения задачи обращенияпреобразования Лапласа функции Ф(p) и, как следствие, функции σ(p).542.2.Ядра ползучести и релаксацииДля определения ядра ползучести, а как следствие и общей зависимости между напряжением и деформацией проводят эксперимент: верхний конец образца закрепляется, а к нижнему — прикладывается напряжение.

Изэкспериментов известна кривая ползучести, то есть значение ε(t) в (34) приσ = σ0 = const. Тем самым получим уравнение зависимости функции ползучести от времени. По экспериментальным данным строится кривая изменениядеформации ε от времени t — кривая ползучести.Так как есть мгновенная деформация, то ε0 (0) = ∞. Кроме того, на бесконечности деформация должна быть конечной — это требование обусловленотем, что в случае бесконечной деформации изделие разрушается.Следовательно, имеем ограничения на ядро ползучести:1) K(0) = ∞;Rt2) K(τ ) dτ < ∞, t > 0.0Таким образом, после экспериментального определения значений деформации и напряжения, возникает задача выбора ядра ползучести таким образом,чтобы уравнение Больцмана–Вольтерра корректно описывало поведение материала, т.

е. ядро K(t) следует выбирать в соответствии с полученными экспериментальными данными.Рассмотрим ядро Абеля:tαK(t) =, − 1 < α 6 0,Γ(α + 1)(36)которое имеет интегрируемую особенность в нуле, но оно не удовлетворяет условию конечности интеграла на бесконечности.Поэтому введём другой класс ядер, которые обладают необходимыми свойствами — класс резольвентных ядер, порождаемых ядром Абеля. Для этогонадо применить преобразование Лапласа к уравнениям (34) и (35) в предположении, что все входящие в них величины обладают свойствами функции–55оригинала. Тогда получим1σ(p) 1 + βK(p) ,E0σ(p) = E0 ε(p) 1 − βR(p) .ε(p) =(37)(38)В приведённых выше уравнениях пространственные переменные опущены.Из уравнений (37) и (38) получим зависимость между образами ядер ползучести и релаксации:R(p) =βK(p).1 + βK(p)(39)Положим:K(p) =1pα+1.И из уравнения (39) находим представление образа по Лапласу для ядра релаксации:R(p) =1, где a = α + 1, β < 0.pa − β(40)Найдём функцию–оригинал для образа (40), для этого представим его ввиде суммы ряда:k X∞ ∞111βk1 X β= a·R(p) = a=↔= a·a(k+1)p −βp 1 − pβappapk=0k=0∞∞XXta(k+1)−1β k tk(α+1)↔βk= tα ·= Эα (β, t).Γ(a + k + 1)Γ((α + 1)(k + 1))k=0k=0Эα (β, t) — дробно–экспоненциальная функция, введённая Ю.

Н. Работновым[30]:Эα (β, t) = tα∞Xk=0(βt1+α )k,Γ((1 + α)(1 + k))−1 < α 6 0.(41)Дробно–экспоненциальная функция удовлетворяет обоим свойствам — имеет интегрируемую особенность в нуле и удовлетворяет ограничению на выбор56ядра ползучести — условие конечности интеграла на бесконечностиRtK(τ ) dτ <0∞ при β < 0.При β < 0 Эα (β, ∞) = 0 и образ не имеет особых точек в правой комплексной полуплоскости [30], из чего следует сходимость интеграла от Эα (β, t).Для доказательства рассмотрим функциюZtϕ(t) =Эα (β, τ ) dτ.0Её изображение равно11· a.p p −βИспользуя свойства преобразования Лапласа, получим значение функции ϕ(t)на бесконечностиZ∞ϕ(∞) =1.p→0 pa − βЭα (β, t) dt = lim pF (p) = limp→00Последний предел равен −1/β при условии, что 1/(pa − β) не имеет особыхточек в правой полуплоскости, что выполняется, как было сказано ранее, приβ < 0.Возьмём Эα (β, t) в качестве ядра ползучести (K) и найдём резольвентуэтого ядра.Применим преобразование Лапласа к уравнению (34), получим уравнение(37).

С другой стороны, решение уравнения (34) можно записать в виде:σ(t) = (1 − Γ∗ )ε(t)или, в развёрнутой форме,Ztσ(t) = ε(t) −Γ(t − τ )ε(τ ) dτ,0где Γ∗ — разрешающий или резольвентный оператор Вольтерра, ядро этого оператора (Γ(t, τ )) называется резольвентой ядра K(t, τ ).57Следовательно, имеем следующее уравнение в образах по Лапласуσ(p) = (1 − Γ)ε(p).Откуда получим равенство:1= 1 − Γ.1+KПодставив вместо K(p) =1pa −βполучим, что образ резольвенты имееттакой же вид, что и образ дробно–экспоненциальной функции, но со смещённымпараметром β.

Таким образом, мы пришли к классу дробно–экспоненциальныхфункций, которые удовлетворяют необходимым свойствам ядра ползучести, вотличие от ядра Абеля.Не умаляя общности, далее считаем β = −1, и пусть символ Эα (t) означает Эα (−1, t).В наследственной механике твердого тела наряду с функцией (41) широкоиспользуется и интеграл от нее с переменным верхним пределом. Для облегчения использования этих величин составлены таблицы функций [30], [31]Z tF1 (α, x) = t−α Эα (x), F2 (α, x) = t−α−1Эα (τ ) dτ, x = tα+1 .0Заметим, чтоF1 (α, x) = E1/a (−x, a),гдеEρ (z, µ) =∞Xn=0a = α + 1,znΓ(µ + nρ−1 )— функция Миттаг–Лёффлера [8].Однако при решении конкретных задач части этих таблиц, соответствующие найденным параметрам Эα — функций, необходимо вводить в память компьютера.

Заметим, что они заранее неизвестны и определяются в процессе решения задачи (и в итоге их в таблице может не оказаться). При изменении58параметров аналогичную работу приходится проделывать заново, а это неудобно и может привести к появлению ошибок.Для более точного описания функции ползучести можно использовать ядра с большим числом параметров, например, ядро Гаврильяка–Негами, котороеявляется обобщением дробно–экспоненциальных функций.

В работе [10] предложены обобщения ядер Гаврильяка–Негами и указано их явное представлениев виде тройного ряда.Ядро Гаврильяка–Негами задаётся выражениемNα,β,γ (B, t) =∞ X∞Xi+k(−1)i=0 k=0Γ[γ(i + 1) + k]ta(γ+γi+k)−1Bβ,Γ(k + 1)Γ(γ(i + 1))Γ(a(γ + γi + k))i kгде a = α + 1.Его изображение равноN α,β,γ (B, p) = C[(pα+1 + β)γ + B]−1 .(42)В частных случаях отсюда получаем целую экспоненту (α = B = 0, γ = 1),ядро Абеля (β = B = 0, γ = 1), ядро Работнова (B = 0, γ = 1).Применение многопараметрических функций N α,β,γ (A, p) позволяет существенно расширить область применения соответствующих им наследственных слабо сингулярных ядер за счет более точного описания с их помощьюэкспериментальных данных.Составление таблиц таких ядер, аналогичных таблицам Эα –функций, нецелесообразно из-за большого количества входных параметров.

Поэтому длятого, чтобы эти ядра можно было использовать на практике для аппроксимацииэкспериментальных данных и при решении задач вязкоупругости надо разрабатывать достаточно точные и эффективные методы вычисления этих функцийи решений, определяемых ими [10].Выражения для ядер, приведённых выше, являются трудоёмкими для вычисления, поэтому естественно задавать не ядра, а их изображения, обращениекоторых описанными методами позволяет упростить нахождение самих ядер.59Отметим, что это не единственный выбор ядер.

Так, А. Р. Ржаницынымбыло предложено ядро Tα,β (t), описывающее ограниченную ползучестьTα,β (t) = e−βtIα (t) = e−βttα,Γ(1 + α)где β > 0.Резольвента ядра Ржаницына была получена в [10]:Kα,β (A, t) = e−βt Эα (A, t).Функции K(t) = AKα,β (A, t) широко применялись М. А. Колтуновым [13].Другие способы выбора ядер для решения задач линейной вязкоупругостиможно найти и в современных исследованиях [58], [54].

В обозначенных работахисследуются различные ядра для жидкообразных (жидкоподобных) материалов.В данной работе рассматриваются методы обращения преобразования Лапласа в предположении, что заданное изображение F (p) искомой функции–оригинала фактически зависит от 1/pa , где a — произвольное положительноечисло из интервала (0, 1). В случае a = 1 получаются известные методы [17], впротивном случае получаем новые формулы, обладающие большей точностьюпо сравнению с известными для определенного класса изображений и имеющиебольшое прикладное значение.603.Обращение функций специального видаРассмотрим случай длительно меняющихся во времени процессов, ониописываются функциями, зависящими от ta , в области изображения им соответствуют функции от 1/pa .

Так, в данной главе рассматривается задача вычисления дробно–экспоненциальных функций и интегралов от них различнымиметодами и сравнение значений, полученных с помощью этих методов, с табличными значениями.Существует множество способов для вычисления функций Работнова, нокаждый из них применим лишь для определённых значений параметров.