Диссертация (Численное обращение интегрального преобразования Лапласа функций специального вида), страница 3

Как видно из приведённойвыше формулы, сумма модулей коэффициентов КФНСТ быстро возрастает приувеличении числа узлов n, т. е. с ростом n возрастает ошибка в приближенныхрешениях. Поэтому увеличение количества узлов в КФНСТ не всегда являетсяоправданным, следует брать меньшее число узлов с тем, чтобы характеристиканеустойчивости не превзошла теоретическую оценку погрешности КФНСТ.17В случае если ошибки в вычислениях изображения по Лапласу сведены кминимальным, увеличение числа узлов в КФНСТ будет приводить к хорошимрезультатам.

Однако, увеличение числа узлов приводит к увеличению временипостроения квадратурной формулы. Поэтому рассмотрим модифицированныйалгоритм нахождения узлов КФНСТ.Узлы КФНСТ удовлетворяют неравенству [53]2n + s − 1 6 |pkn | < 2n + s − ,3k = 1, 2, . . . , n,и расположены в правом полукольце (здесь зависимость узлов от n отраженадвумя индексами pkn ).Положимzkn = −(2n + s − 2)/pkn , k = 1, 2, . . .

, n.Эти числа равномерно ограничены при всех значениях n. В работе [53] показано,что при n → ∞ точки zkn стремятся к точкам кривой γ:γ = {z : |Ω(z)| = 1, <z < 0},гдеp .h ip−2−2Ω(z) = exp1+zz 1+ 1+z.Рассмотрим алгоритм построения КФНСТ, основанный на следующей теореме:Теорема 2 ([53]). Для любого фиксированного числа s ∈ R точка ẑ естьпредельная точка нормированных корней (10) при n → ∞ тогда и только тогда, когда ẑ ∈ γ. Далее, если ψ есть замкнутая дуга кривой γ \ {±i} с конечными точками µ1 , µ2 (π/2 < arg µ1 6 arg µ2 < 3π/2), и Ω(µj ) = exp(iφj ), j =1, 2, (π/2 < φ2 6 φ1 < 3π/2), и пусть τn (ψ) означает число корней многочленаPns (−x), удовлетворяющих неравенству arg µ1 6 arg(−x) 6 arg µ2 .

Тогдаτn (ψ) φ1 − φ2=.n→∞nπlim18Следовательно, аргументы корней уравнения Pns (−x) = 0 при увеличенииn равномерно распределяются в интервале (π/2, 3π/2).В итоге получим следующий алгоритм для построения КФНСТ с большимчислом узлов:1) для некоторого угла α из интервала (π/2, 3π/2) находим точку z0 ∈ γтакую, что arg(z0 ) = α;2) полагаем xα0 = −z0 и используем метод Ньютона для нахождения корняуравнения Pns (x) = 0 :xαm+1=xαmPns (xαm )− s0 α , m = 0, 1, . . .Pn (xm )3) положим xα = lim xαm , тогда искомый узел КФНСТ равен (2n+s−2)xα ;m→∞соответствующий ему коэффициент КФНСТ вычисляем по формуле (8);4) остальные узлы КФНСТ находятся аналогично, перебирая значенияугла α из интервала (π/2, 3π/2) с достаточно малым шагом, зависящим от n.Данный алгоритм позволяет строить КФНСТ даже при больших значениях числа узлов (n = 100).Рассмотрим применение КФНСТ для обращения преобразования Лапласадробно–экспоненциальных функций и интегралов от них, которые возникают вмеханике в задачах линейной вязкоупругости.

Более подробно они будут рассмотрены в Главе 2. Дробно–экспоненциальные функции берутся в качествеядер ползучести и релаксации в соотношениях Больцмана–Вольтерра (2), (3).Дробно–экспоненциальные функции задаются выражениемЭα (β, t) = tα∞Xk=0(βt1+α )k,Γ((1 + α)(1 + k))−1 < α 6 0,Изображение по Лапласу функции Эα (β, t) равноЭα (β, p) =1,−βp1+αпри α = 0 оно соответствует функции–оригиналу eβt .β < 0.19Как видно из приведённых выше формул, дробно–экспоненциальные функции зависят от двух параметров — α, β и аргумента t. С целью упрощенияприменения этих ядер были составлены таблицы функций [30], [31]Z−α1 tF1 (α, x) = x α+1 Эα (β, t), F2 (α, x) =Эα (β, τ ) dτ,x 0x = −βtα+1 ,тем самым число параметров сократилось (α и аргумент x).Не умаляя общности, положим β = −1.Текст программы на языке Maple, которая вычисляет значение функции–оригинала F2 (α, x) по её изображению, приведён в Приложении Программа 1.Значения, полученные в программе, сравнивались со значениями функцииF2 (α, x) из таблиц [30], [31].

Результаты вычислений представлены в Таблицах 1, 2.Результаты вычисления F2 (α, x) при α = −0.4.Таблица 1nxF2F2табл.20 0.2 9.5919 · 10−1 9.5907 · 10−120 0.8 6.5314 · 10−1 6.5302 · 10−1205.8679 · 10−1 5.8667 · 10−11Результаты вычисления F2 (α, x) при α = −0.65.Таблица 2nxF2F2табл.2015.512 · 10−1 5.507 · 10−11042.111 · 10−1 2.101 · 10−12042.104 · 10−1 2.101 · 10−120 400 2.496 · 10−3 2.495 · 10−320Метод построения КФНСТ для обращения интегрального преобразованияЛапласа рассматривался и изучался в работе [26]. Там же, наряду с описаниемметода, даны рекомендации по применению методов параллельных алгоритмовдля построения квадратурных формул.211.3.Обращение преобразования Лапласа с помощью обобщённыхквадратурных формул наивысшей степени точностиСуществуют функции, для которых целесообразно строить не КФНСТ, аобобщённые квадратурные формулы, точные для отрицательных степеней pa .Это связано с тем, что на практике наиболее интересным является случай, соответствующий длительным, но медленно протекающим во времени процессам(0 < a 6 1).

В этом случае оригинал f (t) хорошо приближается функциямивида ts P (ta ), изображения которых имеют вид p−s Q(1/pa ), где P, Q — многочлены. Поэтому возникает необходимость построения ОКФНСТ.Для приближённого вычисления интеграла в представлении1f (t) = ts−12πic+i∞Zp −se p ϕsptdp, c > 0,c−i∞строим квадратурную формулу12πic+i∞Zp −se p ϕs (p) dp ≈nXAk ϕs (pk ).(12)k=1c−i∞Пусть a — произвольное положительное число.

В области регулярности функции ϕs (p) = ps F (p) выберем любые попарно различные точки pk (k = 1, 2, . . . , n)и потребуем, чтобы формула (12) была точна для функций ϕ(p) = p−am , m =0, 1, . . . , n − 1, что равносильно выполнению равенствnXk=1Ak p−am=k1,Γ(s + am)m = 0, 1, . . . , n − 1,(13)т. е. построим интерполяционную обобщённую КФ.За счёт специального выбора узлов можно построить формулы наивысшейстепени точности. По аналогии со случаем a = 1 (что соответствует КФНСТ)для обобщённых квадратурных формул наивысшей степени точности доказанытеоремы существования и единственности [41]:Теорема 3.

Для того чтобы формула (12) была точна для функцийϕ(p) = p−aj , j = 0, 2n − 1, необходимо и достаточно выполнение двух условий:221) формула (21) интерполяционная;2) построенный по узлам формулы (12) многочленωn (x) =nYx − p−akk=1удовлетворяет условиямZ c+i∞ep p−s ωn (p−a )p−am dp = 0,m = 0, n − 1,c > 0.(14)c−i∞Доказано, что такой многочлен существует и определяется однозначно, аего корни, т. е.

узлы ОКФНСТ, удовлетворяют неравенствам < (p ak ) > 0,k=1, n.Отметим, что узлы и коэффициенты формулы (12) суть комплексные числа.Если многочлен ωn (x) записать в видеωn (x) = xn + b1 xn−1 + · · · + bn ,то условия ортогональности (14) равносильны системе уравнений относительнонеизвестных коэффициентов bk :b1bn1+ ... +=−,Γ(s + (n + k − 1)a)Γ(s + ka)Γ(s + (n + k)a)(15)где k = 0, 1, . . .

, n − 1.Многочлен ωn (x) существует и определяется однозначно. В работе [38]показано, что узлы ОКФНСТ при s > 0 удовлетворяют неравенствам <(p−ak )>0, k = 1, 2, . . . , n. При a = 1 ОКФНСТ есть КФНСТ, узлы которых pk простые;при a 6= 1 простота pk не доказана. Также для a 6= 1 не существует явноговида для многочлена ωn (x).

Поэтому постороение ОКФНСТ осуществляется внесколько этапов:1) сначала необходимо вычислить коэффициенты системы уравнений (15)относительно неизвестных bk и найти решение этой системы;232) затем необходимо найти узлы pk квадратурной формулы из уравнения−a(n−1)−an+ b 1 pkωn (p−ak ) = pk+ · · · + bn = 0;3) далее из условий интерполяционности (13) найти коэффициенты квадратурной формулы.Вопрос сходимости ОКФНСТ исследовался в работе [20].

ПогрешностьRn (ϕs ) ОКФНСТ (12) выражается через погрешность интерполяции rn−1 (ϕs , p)функции ϕs (p) по её значениям в узлах формулойZ c+i∞1Rn (ϕs , t) =ept p−s rn−1 (ϕs , p) dp.2πi c−i∞Погрешность интерполяции равнаrn−1 (ϕs , p) = ϕs (p) −nXk=1 1lkϕs (pk ),pгде ωk ( p1 )ω( p1 )11== 1lk, ωk,ppωk ( p1k )( p − p1k ) Yn 111=−.ωpp pkk=1Далее считаем, что функция ϕs (p) зависит лишь от pa , т. е. ϕs (p) = Ф(pa ).Положим w = pa и предположим, что все особые точки функции Ф(w) расположены в конечной части полуплоскости <w < 0.Рассчитывать на сходимость ОКФНСТ можно только при сходимости интерполяционного процесса (rn−1 (ϕs , p) → 0). В работе [20] доказана следующаятеорема:Теорема 4.

Пусть при некотором s > 0 все особые точки функции Ф(w)заключены в круге |w − w0 | 6 r0 , w0 < 0, w0 + r0 < 0, который виден из началакоординат под наименьшим углом. Если r0 < −3w0 /5, то последовательностьинтерполяционных многочленов для функции Ф(w) по узлам ОКФНСТ приn → ∞ равномерно сходится к Ф(w) в полуплоскости <w > 0. Тогда длялюбого t ∈ (0, T ](0 < T < ∞) выполняется условие Rn (ϕs , t) −−−→ 0.n→∞24Рассмотрим оценки погрешности ОКФНСТ, которые были подробно изучены в работе [24]. В частности в этой работе была доказанаТеорема 5. Пусть при некоторых a, s > 0 функция Pas (t) = ϕs (t−1/a )регулярна на круге |t| 6 r, r > 0, и пусть Ak , pk , (k = 1, 2, . .