Диссертация (Численное обращение интегрального преобразования Лапласа функций специального вида), страница 2

Предлагаемые методы обращения преобразования Лапласа представляют практический интерес, поскольку реализованыввиде алгоритмов, которые могут быть использованы для нахождения напряжения (σ(x, t)) и деформации (ε(x, t)) вязкоупругих материалов.9Публикации и доклады по теме диссертационной работыОсновные результаты диссертации опубликованы в статьях [27], [28], [29],[43], а также представлены в виде докладов конференций [22], [26]. Из них работы [27]–[29] опубликованы в журналах, индексируемых в реферативной базеScopus.В работе [43] соавтором была предложена идея для вычисления дробно–экспоненциальной функции и интеграла от неё, используя изображения по Лапласу этих функций. Автором реализована идея вычисления рассматриваемыхфункций с помощью деформации контура интегрирования в формуле обращения Римана–Меллина, приводящая к вещественным интегралам по полуоси.Для вычислений полученных в работе интегралов строятся специальные вещественные квадратурные формулы наивысшей степени точности.

Также в статье[43] указаны обобщённые квадратурные формулы наивысшей степени точности(ОКФНСТ), точные для дробных степеней аргумента функции изображения ипостроены асимптотические формулы для дробно–экспоненциальной функциии интеграла от неё для больших значений аргумента.В работе [27] автору принадлежит реализация аддитивного метода выделения особенности и построение квадратурных формул наивысшей степениточности для функций, зависящих от дробных степеней аргумента. Соавторупринадлежит идея применения упомянутых методов.В работе [28] соавтором предложена идея использовать деформацию контура интегрирования для вычисления интеграла Римана–Меллина.

Авторомрассмотрены два контура — параболический и гиперболический, сводящие исходную задачу к вычислению интеграла по вещественной оси от некоторойфункции, зависящей от выбора контура интегрирования. Для них установленыасимптотические скорости сходимости, рассмотрен конкретный случай обращения и выбор контура интегрирования.В работе [29] автором построены вещественные квадратурные формулы10обращения, в качестве узлов которых берутся корни многочленов Лагерра. Указан способ построения предложенных квадратурных формул (КФ).

Соавторупринадлежит идея построения упомянутых КФ. Совместные результаты работы [29] использованы в книге соавтора [42].Структура и объём диссертацииДиссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, библиографиии приложения. Общий объём диссертации составляет 104 страницы. В текстеработы содержится 24 таблицы и 2 рисунка. Библиография работы состоит из63 наименований. В приложении приведены 9 листингов программ.Основное содержаниеВ первой главе приведён обзор методов обращения преобразования Лапласа — обращение преобразования Лапласа сведением к системе линейныхуравнений, квадратурные формулы наивысшей степени точности, обобщённыеквадратурные формулы наивысшей степени точности, метод Виддера, методдеформирования контура интегрирования в интеграле Римана–Меллина.

Рассмотрены характеристики методов, такие как сходимость, скорость сходимости,ускорение сходимости и оценки погрешности методов. Предложены алгоритмыреализации методов, даны рекомендации по их области применимости и приведены результаты численных экспериментов.Во второй главе в качестве основной модельной задачи рассматривается задача линейной вязкоупругости, в которой отыскиваются напряжение идеформация вязкоупругого тела [30]. Также рассмотрена задача о распространении полубесконечного импульса нагрузки в полубесконечном вязкоупругомстержне, для которой исследована возможность применения метода квадратурных формул наивысшей степени точности для нахождения функции–оригиналанапряжения по её образу. Приведены различные ядра ползучести, их свойстваи применение.11В третьей главе предлагаются методы по обращению преобразованияЛапласа с точки зрения применимости к случаю длительно меняющихся во времени процессов, которые описываются функциями, зависящими от ta .

В качестве примера таких функций рассмотрены функции Ю. Н. Работнова (дробно–экспоненциальные функции). В области изображения им соответствуют функции от 1/pa . Также в третьей главе приводится анализ и сравнение значений,полученных с помощью этих методов, с табличными значениями, даны результаты численных экспериментов.В заключении сформулированы основные результаты работы.В приложении представлены тексты программ для вычислений значений дробно–экспоненциальной функции и функции ползучести с использованием методов, предлагаемых в данной работе.121.1.1.Обзор методов обращения преобразования ЛапласаОбращение преобразования Лапласа сведе́нием к системелинейных уравненийРассмотрим один из методов обращения преобразования Лапласа, основанный на сведении задачи к решению системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Этот метод был предложен в работе [50].Преобразование Лапласа функции–оригинала имеет видZ∞F (p) = e−pt f (t) dt.(4)0Сделаем в (4) замену переменных x = e−t , тогда уравнение (4) перепишется ввидеZ1F (p) =xp−1 ϕ(x) dx,(5)0где ϕ(x) = f (− ln x). Интеграл в правой части уравнения (5) заменим приближённой суммой, используя квадратурную формулу Гаусса–Лежандра. Получимследующее выражение:F (p) ≈NXAi xp−1i ϕ(xi )=i=1NXxp−1i ψi ,(6)i=1ψi = Ai ϕ(xi ),где xi — корни смещённого многочлена Лежандра PN∗ (x), а Ai — соответствующие веса.

Пусть p в (6) принимает значения 1, 2, . . . , N . Тогда получим системулинейных уравнений c N неизвестными ψi :F (k + 1) =NXxki ψi , где k = 0, . . . , N − 1.(7)i=1Заметим, что матрица получившейся СЛАУ — это матрица Вандермонда. Онаневырожденная при попарно различных xi , xj . Однако она является плохо обусловленной матрицей, с ростом N её число обусловленности растёт. В результате погрешность вычисления решения СЛАУ увеличивается с ростом N .13Вопрос обусловленности получающейся матрицы подробно рассматривался в работе [55]. В этой работе вместо квадратурной формулы Гаусса–Лежандраприменяется квадратурная формула Гаусса–Якоби с параметрами α и β. Дляэтого делается замена переменной x = e−vt (v > 0) и в качестве узлов квадра(α,β)турной формулы (6) берутся корни смещённого многочлена Якоби pn(α,β)Pn(x) =(2x − 1) и F (k + 1) в формуле (7) изменится в результате замены пере-менных на F ((k + 1)v).В [55] исследовался вопрос выбора параметров α и β таким образом, чтобы число обусловленности получающейся матрицы Вандермонда было минимальным.

Таким образом находилась зависимость числа обусловленности отпараметров n, α, β — µ(n, α, β). Было установлено, что µ(n, α, β) обычно больше µ(n, β, α), если β > α и n → ∞. Нижние границы µ(n, α, β) были полученывместе с его асимптотическим поведением при n → ∞. Более точные границыполучаются для специальных случаев α = β, n — нечётное и α = β = ±1/2, n— любое натуральное число.В общем случае оказывается, что µ(n, α, β) растёт как C(3 +√8)n , гдеC — постоянная величина, значение которой зависит от α, β. Её значения изменяются сравнительно медленно как функция от α, β и будут наименьшимипри α, β → −1.

Для квадратурных формул с равноотстоящими узлами числообусловленности СЛАУ растёт как величина√2 2 n3π 8 .Таким образом, из-за сильной неустойчивости матрицы (большое числообусловленности), получающейся в СЛАУ, данный метод не даёт хороших результатов и его применение для решения задачи обращения преобразованияЛапласа затруднено.141.2.Обращение преобразования Лапласа с помощьюквадратурных формул наивысшей степени точностиМетод обращения преобразования Лапласа с помощью квадратурных формул наивысшей степени точности (КФНСТ) был рассмотрен в работе [17].

В основе этого метода лежит применение различных квадратурных формул для вычисления интеграла Римана–Меллина. Преобразование Лапласа для функции–оригинала сходится в некоторой полуплоскости <p = c > γ, F (p) будет регулярной функцией [17] и для оригинала f (t) верна формула обращения Римана–Меллина1f (t) =2πic+i∞ZF (p)ept dp.(8)c−i∞Заметим, что интеграл (8) понимается в смысле главного значения, он независит от c и в случае разрыва оригинала в точке t мы получаем полусуммупредельных значений оригинала слева и справа от точки t.Положим в формуле обращения (8) p = c + iτ, тогда exp(pt) = exp(ct) ∗exp(iτ t).

При фиксированном t первый сомножитель постоянен, а второй пробегает единичную окружность на комплексной плоскости бесконечное число раз.С ростом t первый сомножитель и скорость пробегания окружности вторым сомножителем неограниченно возрастают, поэтому попытка приблизить интегралримановыми суммами вряд ли приведет к цели.Будем считать, не умаляя общности, что функция F (p) регулярная в полуплоскости <p > 0, чего всегда можно добиться, сделав замену переменной в0исходном интеграле (p = p /t + γ), что равносильно домножению оригинала наe−γt .Рассмотрим функциюϕs (p) = ps F (p), s > 0.(9)Предположим, что она регулярна в полуплоскости <p > 0.

Допустим, что ϕs (p)имеет конечное предельное значение при p → ∞.15Используя функцию (9), запишем интеграл (8) в виде:1=2πiIs,tε+i∞Zept p−s ϕs (p)dp.ε−i∞Для вычисления этого интеграла строится квадратурная формула следующеговида:Is,t ≈nXAk (t)ϕs (pk (t)).(10)k=1В формуле (10) произвольными величинами являются коэффициенты Ak и попарно различные узлы pk .

Будем выбирать их так, чтобы формула (10) былаточной для любого многочлена ϕs степени 2n − 1 от переменной 1/p, что намножестве функций–оригиналов означает точность для любой функции видаts−1 Q2n−1 (t), где Q2n−1 — любой многочлен степени не выше 2n − 1. Необходимое и достаточное условие для этого даёт следующая теорема [17]:Теорема 1. Для того чтобы квадратурная формула (10) была точнойдля всех многочленов степени 2n − 1 от переменной x = 1/p, необходимо идостаточно выполнение двух условий:1) Формула (10) должна быть интерполяционной, то есть её коэффициенты Ak должны иметь значенияAk =12πic+i∞Zc−i∞c+i∞ Z1ω()n11pept p−s lkept p−s 1dp =dp,p2πi( p − p1k )ωn0 ( p1k )гдеc−i∞ Yn 111ωn=−.pp pkk=12) Для всякого многочлена Pn−1 ( p1 ) степени не выше n − 1 должно выполняться равенство12πiε+i∞Z 11ep p−s ωnPn−1dp = 0.ppε−i∞16Введённые ортогональные многочлены ωn (x) определяются однозначно(КФНСТ существует и единственна) и обладают теми же свойствами, что иклассические ортогональные многочлены Эрмита, Лагерра, Якоби [48].В работе [42] показано, что многочлен ωn (x) с точностью до постоянногосомножителя совпадает с многочленомPns (x)=nXn−k(−1)k=0 n(n + s − 1)k xk .kВ записи многочлена Pns (x) использован символ Похгаммера1,k = 0;(a)k =a(a + 1) · · · (a + k − 1), k > 1.Корни многочлена Pns (x) попарно различны и лежат в полуплоскости <x > 0[42].После нахождения узлов КФНСТ её коэффициенты можно вычислить поформуле [56]Akn =(−1)n+1 n! (2n + s − 2)2 .s (1/p ) 2n2 Γ(n + s − 1)p2kn Pn−1knВ работе [42] показано, что устойчивость формулы (10) по отношению кошибкам вычисления функции ϕs (p) определяется суммой модулей коэффициентов AkMn =nX|Ak |k=1и доказано неравенствоMn 6 Cn1−s 3.764n ,где C — постоянная величина, не зависящая от n.