Диссертация (Численное обращение интегрального преобразования Лапласа функций специального вида)

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТНа правах рукописиЛещенко Настасья ИвановнаЧисленное обращение интегрального преобразованияЛапласа функций специального видаСпециальность 01.01.07 — Вычислительная математикаДиссертация на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель:профессор, доктор физико-математических наук,Рябов Виктор МихайловичСанкт-Петербург20162СодержаниеВведение1 Обзор методов обращения преобразования Лапласа3121.1 Обращение преобразования Лапласа сведе́нием к системе линейных уравнений .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121.2 Обращение преобразования Лапласа с помощью квадратурныхформул наивысшей степени точности . . . . . . . . . . . . . . . .141.3 Обращение преобразования Лапласа с помощью обобщённых квадратурных формул наивысшей степени точности . . . . . . . . . .211.4 Обращение преобразования Лапласа с помощью метода Виддера .281.5 Деформирование контура интегрирования . . . . . . . . .

. . . .352 Задачи линейной вязкоупругости482.1 Постановка задач линейной вязкоупругости. . . . . . . . . . . . .482.2 Ядра ползучести и релаксации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .543 Обращение функций специального вида603.1 Применение методов деформирования контура к задаче обращения преобразования Лапласа дробно–экспоненциальной функции.633.2 Обращение преобразования Лапласа по значениям изображенияна вещественной оси .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .693.3 Аддитивный метод вычисления дробно–экспоненциальной функции 723.4 Метод обращения преобразования Лапласа с помощью разложения оригинала в обобщенные степенные ряды . . . . . . . . . . . .76Заключение79Список литературы82Приложение893ВведениеАктуальность работыИнтегральные преобразования, такие как преобразования Лапласа, Фурье, Абеля, Меллина и другие, помогают значительно упростить решение различных дифференциальных и интегральных уравнений, которые возникают вприкладных задачах разных областей математики, математической физики, радиотехники, механики [23], [46], [50].В общем случае интегральные преобразования имеют следующий вид:ZF (p) = K(t, p)f (t) dt,Sгде F (p) — функция изображение, f (t) — функция–оригинал, K(t, p) — ядроинтегрального преобразования, S — множество на вещественной оси.В этой работе применение преобразования Лапласа и методов его обращения рассматриваются на примере решения задачи линейной вязкоупругости —нахождения напряжения (σ(x, t)) и деформации (ε(x, t)) вязкоупругих материалов.Интегральное преобразование Лапласа F (p) функции–оригинала f (t) задаётся формулойZ∞F (p) =e−pt f (t) dt.(1)0Вязкоупругость была предложена в работах Больцмана и получила значительное развитие в работах Вольтерра как теория наследственной упругости.

Важнейшими характеристиками вязкоупругих тел являются ползучестьи релаксация. Так, под ползучестью понимается свойство материалов деформироваться во времени в зависимости от постоянного напряжения. Релаксация — перераспределение напряжения в теле в зависимости от деформации.Связь ползучести и релаксации принято описывать соотношением Больцмана–Вольтерра, которое является обобщением закона Гука. Для простоты будемговорить об одномерном случае (вязкоупругий стержень).4Ползучесть материала описывается следующим образом:Zt1 ε(x, t) =σ(x, t) + (E0 − E∞ ) K(t − τ )σ(x, τ ) dτ  ,E0(2)0где K(t) — ядро ползучести, E0 — мгновенный модуль упругости, E∞ — длительный модуль упругости, ε(x, t) — деформация в точке x в момент времениt, σ(x, t) — напряжение, x — пространственная координата.Заметим, что правая часть формулы (2) состоит из двух слагаемых, первоеиз которых — мгновенная деформация, а второе — наследственная деформация(ползучесть).Релаксация материала описывается следующим соотношением:Ztσ(x, t) = E0 ε(x, t) − (E0 − E∞ )R(t − τ )ε(x, τ ) dτ,(3)0где R(t) — ядро релаксации.

Оно является резольвентой ядра ползучести. ЯдроK(t) может быть выражено через ядро R(t).Различные авторы обращались к изучению явления вязкоупругости —Ю. Н. Работнов, А. Р. Ржаницын и другие. В современных исследованиях можно выделить работы F. Mainardi [57], [58], в которых показана связь дифференциального интеграла Римана–Лиувилля с задачей линейной вязкоупругости.Заметим, что наследственная деформация в описании задачи вязкоупругости с использованием принципа Больцмана–Вольтерра может быть описанаинтегро–дифференциальным уравнением [57] tZa (t − τ )ν−1 σ(x, τ ) dτ  = a · 0 Itν [σ(x, t)],ε(x, t) =Γ(1 + ν)0σ(x, t) =Ztb (t − τ )−ν ε0 (x, τ ) dτ  = b · 0 Dtν [ε(x, t)],Γ(1 − ν)0где ν > 0, ab = 1, 0 Itν , 0 Dtν — дифференциальный интеграл Римана–Лиувилляи его производная соответственно [57].5По определению1α0 It f (t) :=Γ(α)Zt(t − τ )α−1 f (τ ) dτ,0α0 Dt:=Dtm◦ 0 Itm−α f (t),∗ α0 Dt:=m−α0 It◦ Dtm f (t),где m − 1 < α 6 m (m ∈ N), t > 0, α ∈ R+ .В работе [57] утверждается, что теорию дифференциальных интеграловудобно использовать для описания динамических свойств линейных вязкоупругих материалов, включая задачи распространения волн и диффузии.

Однакоклассическое представление задачи линейной вязкоупругости получило болееширокое распространение и изучение, поэтому мы будем в дальнейшем использовать и изучать именно его.Отметим, что соотношение Больцмана–Вольтерра связывает две физические величины — напряжение и деформацию, то есть описывает характеристики материала. Полная же постановка динамической задачи вязкоупругостивключает в себя ещё уравнение движения, начальные и граничные условия.С помощью интегрального преобразования Лапласа можно задачу решения различных дифференциальных и интегральных уравнений привести к задаче решения более простых алгебраических уравнений.

К тому же, изображение Лапласа является аналитической (регулярной) функцией в некоторой полуплоскости <(p) > γ, в связи с этим в исследовании решаемой задачи можноиспользовать известные результаты теории функций комплексного переменного.Сложность в применении интегрального преобразования Лапласа к решению дифференциальных и интегральных уравнений заключается в том, что напоследнем этапе встаёт задача нахождения функции–оригинала по её изображению и в большинстве случаев это является сложной задачей.6Наиболее полно возможные подходы к задаче обращения и их реализацияописаны в книге В.

И. Крылова и Н. С. Скобля [17], а в работе [16] тех же авторов приведены необходимые формулы и численные таблицы для примененияметодов обращения преобразования Лапласа. Обзор других способов обращения, не вошедших в [17], приведен в статье [27]. Теоретические основы операционного исчисления содержатся в классических работах В.

А. Диткина и А. П.Прудникова [9], D. V. Widder [63], Г. Дёч [7], М. А. Лаврентьева и Б. В. Шабата[18]. Обзор результатов теории приближения функций в комплексной плоскостипредставлен в работах В. И. Смирнова и Н. А. Лебедева [47], а также Д. Гайера [6]. Вопросам приложения операционного исчисления к решению прикладных задач, среди прочих, посвящены фундаментальные труды А. И. Лурье [23],Л. И. Слепяна и Ю.

С. Яковлева [46]. Специальные методы обращения интегрального преобразования Лапласа изучались в работах В. М. Рябова [33], [34],[39], [19], М. М. Кабардова [11], [12].Цели и задачи диссертационной работыЦелью данной диссертационной работы является разработка и исследование методов обращения преобразования Лапласа применительно к изображениям функций специального вида (дробно–экспоненциальных функций и ихобобщений). Поскольку, несмотря на достаточно большое число исследованийв области обращения преобразования Лапласа, решение практических задачво множестве случаев приводит к изображениям, к которым известные методы обращения не могут быть применены.

Например, как показано в работеМ. И. Конторовича [14], задачи, относящиеся к теории электромагнитного поля, задачи теории теплопроводности и многие другие требуют применения болееобщих методов обращения. Следовательно, возникает необходимость разработки и применения приближённых методов.Универсального метода обращения, дающего удовлетворительные результаты для произвольного изображения F (p), не существует.

Поскольку любой7конкретный метод обращения должен учитывать особенности поведения изображения (или функции–оригинала), а это приводит к соответствующему выбору подходящих систем функций в пространствах оригиналов и изображений, скоторыми легко работать и с помощью которых заданные образы и оригиналымогут быть хорошо приближены.Задачи, которые решались в диссертационной работе:1.

Исследовать различные методы обращения преобразования Лапласа иразработать алгоритмы по применению методов обращения к вычислению функций специального вида.2. Исследовать свойства ядер, которые могут быть выбраны в качестве ядерползучести и релаксации в соотношении Больцмана–Вольтерра; изучитьих свойства и рассмотреть их обобщение.3. Исследовать методы обращения преобразования Лапласа в предположении, что заданное изображение F (p) искомой функции–оригинала фактически зависит от 1/pa , где a — произвольное положительное число из интервала (0, 1); получить формулы обращения, обладающие большей точностью по сравнению с известными для определенного класса изображений и имеющие большое прикладное значение.4.

Реализовать методы, рассматриваемые в работе, в виде программ с использованием математического пакета Maple.5. Проанализировать результаты работы программ и на основании их датьрекомендации по использованию методов обращения преобразования Лапласа применительно к функциям специального вида.Положения, выносимые на защиту1. Применение известных приближенных методов обращения к обращениюизображений специального вида.82. Сравнительные характеристики известных методов.3. Разработка новых специальных методов обращения.4. Программная реализация методов обращения.5.

Решение конкретных прикладных задач линейной вязкоупругости.6. Практические рекомендации по выбору метода обращения в зависимостиот свойств образа.Научная новизнаРазработаны новые методы обращения преобразования Лапласа функций специального вида и дан сравнительный анализ применения этих методов.Определены условия применимости методов, рассматриваемых в работе.

Представлены явные алгоритмы, которые могут быть использованы для обращенияпреобразования Лапласа дробно–экспоненциальных функций и их обобщений.Личный вклад автораЛичный вклад автора заключается в выполнении исследований, изложенных в диссертационной работе, разработке и реализации алгоритмов методов обращения преобразования Лапласа, проведении численных экспериментов, анализе границ применимости методов, а также в оформлении результатовв виде статей и научных докладов.Теоретическая и практическая значимостьРезультаты, полученные в данной работе, позволяют упростить решениезадач линейной вязкоупругости.