Диссертация (Численное обращение интегрального преобразования Лапласа функций специального вида), страница 10

Методы, рассматриваемые в работе, были реализованы в виде программ сиспользованием математического пакета Maple; все программы представлены в разделе Программы этой работы.6. Проанализированы результаты работы программ и на основании их даны рекомендации по использованию методов обращения преобразованияЛапласа применительно к функциям специального вида.Остановимся подробнее на результатах применения рассмотренных в работе методов обращения интегрального преобразования Лапласа.Все методы изученные и предложенные в этой работе условно можно разделить на следующие группы:80- методы, в основе которых лежит построение КФНСТ для вычисленияинтеграла Римана–Меллина (ОКФНСТ, КФНСТ);- метод, основанный на теореме Виддера;- методы, использующие деформирование контура интегрирования дляинтеграла Римана–Меллина (применение параболического контура, кусочнопрямолинейного контура, метод, основанный на лемме A.

V. Bobylev, C. Cercignani [51]);- методы, использующие разложение в ряд (аддитивный метод, метод разложения оригинала в обобщённые степенные ряды).Применимость того или иного метода существенно зависит от способа задания информации об изображении искомого оригинала, а также от того прикаком значении аргумента необходимо получить значение функции–оригинала.Методы, в основе которых лежит построение КФНСТ для интеграла Римана–Меллина (ОКФНСТ, КФНСТ), могут быть применены в случае, когдаизвестны значения изображения F (p) во всей полуплоскости < p > γ. Заметим,что по сути КФНСТ — это частный случай ОКФНСТ при a = 1. В случае же,когда 0 < a < 1 и функция–оригинал f (t) хорошо приближается функциямивида ts P (ta ), изображения которых имеют вид p−s Q(1/pa ), где P, Q — многочлены, уместнее использовать ОКФНСТ, которые точны для отрицательныхстепеней pa .Значения, полученные с помощью программ, реализованных в математическом пакете Maple, подтверждают вышесказанные утверждения.

В работепредложены алгоритмы построения КФНСТ и ОКФНСТ, представлены программы для вычислений в разделе Приложение и даны результаты применения методов для получения значений дробно–экспоненциальных функций.ОКФНСТ позволяют находить значение функции–оригинала с большей точностью, по сравнению с КФНСТ. Причём наилучшие результаты достигаются привычислениях в точках 0 < t < 1. Таким образом, метод, основанный на применении ОКФНСТ для вычисления функции–оригинала по её изображению по81Лапласу, зависящего от 1/pa , где 0 < a < 1, является предпочтительным. Приэтом число узлов в ОКФНСТ достаточно брать равным n = 10.Метод, основанный на теореме Виддера, использует значения изображения F (p) и его производных в некоторой фиксированной точке, отличной отбесконечности.

Применяя метод Виддера к задаче нахождения функции–оригинала по изображению по Лапласу, можно добиться более точных значений посравнению с рассмотренными в предыдущих параграфах методами (КФНСТ,ОКФНСТ) даже при больших значениях аргумента (например, t = 106 ), чтовидно из таблиц с результатами.Методы, использующие деформирование контура интегрирования для интеграла Римана–Меллина (применение параболического контура, кусочно прямолинейного контура, метод, основанный на лемме A.

V. Bobylev, C. Cercignani)могут быть применены в случае, когда все особые точки изображения лежат влевой полуплоскости и удаётся добиться их расположения внутри контура интегрирования. В работе предложены варианты контуров — кусочно прямолинейный и параболический, а также представлены результаты вычисления функцииползучести с их помощью. Показано, что наилучших значений можно добитьсяс использованием параболического контура.

Применение же кусочно прямолинейного контура оказалось более трудоёмким в связи с необходимостью подборазначений большего числа параметров, отвечающих за границы контура.В случае вычислений значений функции–оригинала для больших значений аргумента (x > 100) целесообразно использовать методы, использующиеразложение в ряд (аддитивный метод, метод разложения оригинала в обобщённые степенные ряды).82Список литературы[1] Амербаев В. М. Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра.Алма-Ата, 1974. 181 с.[2] Амербаев В. М., Утембаев Н.

А. Численный анализ лагерровского спектра.Алма-Ата, 1982. 188 с.[3] Бахвалов Н. С., Васильева Л. Г. Вычисление интегралов от осциллирующих функций при помощи интерполяции по узлам формул Гаусса // Журн.вычислит. матем. и матем. физ. 1968. Т. 8. № 1. С. 175–181.[4] Белов М. А, Цирулис Т. Т. Асимптотические методы обращения интегральных преобразований. Рига, 1985. 286 с.[5] Васильева Л. Г., Жилейкин Я. М. О быстром вычислении узлов и весовквадратуры Гаусса // Журн. вычислит. матем. и матем. физ. 2004.

Т. 44.№ 1. С. 426–431.[6] Гайер Д. Лекции по аппроксимации в комплексной плоскости. М.,1986. 216 с.[7] Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласаи Z-преобразования. М., 1971. 288 с.[8] Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функцийв комплексной плоскости.

М., 1966. 672 с.[9] Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М., 1961. 524 с.[10] Екельчик В. С., Рябов В. М. Об использовании одного класса наследственных ядер в линейных уравнениях вязкоупругости // Механика композитных материалов. 1981. № 3. С. 393–404.83[11] Кабардов М. М. О суммировании рядов Лагерра методом Эйлера-Кноппав задаче обращения преобразования Лапласа // Вестн. С.-Петерб. ун-та.2008. Сер. 1. Вып 4.

С. 84–89.[12] Кабардов М. М., Рябов В. М. Ускорение сходимости рядов Лагерра в задаче обращения преобразования Лапласа // Журн. вычислит. математ. иматемат. физ. 2009. Т. 49. № 4. С. 601–610.[13] Колтунов М. А. Ползучесть и релаксация. М., 1976. 277 с.[14] Конторович М. И. Операционное исчисление и процессы в электрическихцепях. М., 1975. 319 с.[15] Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов. М., 1967. 500 с.[16] Крылов В. И., Скобля Н.

С. Справочная книга по численному обращениюпреобразования Лапласа. Минск, 1968. 296 с.[17] Крылов В. И., Скобля Н. С. Методы приближенного преобразования Фурьеи обращения преобразования Лапласа. М., 1974. 224 с.[18] Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексногопеременного. М., 2002. 688 с.[19] Лебедева А.

В., Рябов В. М. Об обращении преобразования Лапласа с помощью рядов Лагерра и квадратурных формул // Методы вычислений.Вып. 19. СПб., изд-во С.-Петерб. ун-та, 2001. С. 123–139.[20] Лебедева А. В., Рябов В. М. Специальные квадратурные формулы обращения преобразования Лапласа // Журн. вычислит. математ.

и математ. физ.2012. Т. 52. № 12. С. 2133–2139.[21] Лебедева А. В., Рябов В. М. О деформировании контура интегрирования вформуле обращения преобразования Лапласа // Журн. вычислит. матем.и математ. физ. 2015. Т. 55. № 7. С. 1118–1124.84[22] Лещенко Н. И. О распараллеливании решения интегральных уравнений линейной вязкоупругости // "СПИСОК-2013: Материалы всероссийской научной конференции по проблемам информатики.

23-26 апр. 2013 г. " , СПб.:изд-во ВВМ. 2013. C. 318-325.[23] Лурье А. И. Операционное исчисление и его приложение к задачам механики. М.-Л., 1951. 433 с.[24] Матвеева Т. А., Рябов В. М. Об оценках погрешности квадратурных формул численного обращения преобразования Лапласа // Вестн. С.-Петерб.ун-та. 2000. № 25. С.

7–11.[25] Мысовских И. П. Лекции по методам вычислений. СПб., 1998. 472 с.[26] Порошина Н. И. Специальные квадратурные формулы обращения интегрального преобразования Лапласа // "СПИСОК-2012: Материалы всероссийской научной конференции по проблемам информатики. 25-27 апр.2012 г.

" , СПб.: изд-во ВВМ. 2012. C. 259-266.[27] Порошина Н. И., Рябов В. М. Об обращении преобразования Лапласа некоторых специальных функций // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2009.Вып. 3. С. 50–60. (Перевод на английский язык: N.I. Poroshina andV.M. Ryabov. Inversion of the Laplace Transform for Some Special Functions// Vestnik St. Petersburg University.

Mathematics, 2009, Vol. 42, No. 3, pp.c Allerton Press, Inc., 2009.)194–203. [28] Порошина Н. И., Рябов В. М. О вычислении интеграла Римана–Меллина// Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2009. Вып. 4. С. 55–61. (Переводна английский язык: N.I. Poroshina and V.M. Ryabov. Evaluation of theRiemann–Mellin Integral // Vestnik St. Petersburg University. Mathematics,c Allerton Press, Inc., 2009.)2009, Vol. 42, No. 4, pp. 293–298.

85[29] Порошина Н. И., Рябов В. М. О методах обращения преобразования Лапласа // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2011. Вып. 3. С. 55-64. (Переводна английский язык: N.I. Poroshina and V.M. Ryabov. Methods for LaplaceTransform Inversion // Vestnik St. Petersburg University. Mathematics, 2011,c Allerton Press, Inc., 2011.)Vol. 44, No. 3, pp. 214–222. [30] Работнов Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.,1977. 384 с.[31] Работнов Ю. Н., Паперник Л. Х., Звонов Е. Н. Таблицы дробноэкспоненциальной функции отрицательных параметров и интеграла от нее.М., 1969. 132 с.[32] Рябов В.

М. О некоторых задачах, возникающих при обращении преобразования Лапласа // Методы вычислений. Вып. 16. СПб., изд-во С.-Петерб.ун-та, 1991. С. 59–68.[33] Рябов В. М. Вычисление значений и скачков оригинала методом Виддера// Вестн. Ленингр. ун-та. 1989.